LEÇON N 58 : Limite finie d une fonction à valeurs réelles en un point

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1 LEÇON N 58 : Limite finie d une fonction à valeurs réelles en un point a de R. Opérations algébriques sur les ites. Continuité d une fonction en un point. Exemples. Pré-requis : Limites d une suite réelle ; Fonctions à valeurs réelles : opérations algébriques, restriction à une partie de son ensemble de définition. On note K = R ou C. Soient f : R K une fonction et D f son ensemble de définition. Si D D f, on note D = {x R ε > 0, ]x ε,x+ε[ D } le plus petit fermé de R contenant D (i.e. l adhérence de D). On se donne dans toute cette leçon un sous-ensemble D de D f et un réel a D. Remarque : En particulier, si D est borné, les bornes supérieure et inférieure de D appartiennent à D (théorème de la borne supérieure - inférieure). 58. Limite finie en un point de R Définition : On dit que f admet pour ite l K en a si ε > 0, η > 0 x D, x a < η f(x) l ε. l + ε f(a + η) l f(a η) l ε a η a f a + η Théorème : Si f admet une ite en a, alors elle est unique. démonstration : Supposons que f admette deux ites l l 2 au point a. Soit ε > 0. Alors η > 0 x D, x a < η f(x) l < ε, η > 0 x D, x a < η f(x) l 2 < ε, donc il existe η = inf(η, η ) > 0 tel que pour tout x D, on a x a < η l 2 l = l 2 f(x) + f(x) l l 2 f(x) + f(x) l < 2ε.

2 2 Limite finie d une fonction, opérations algébriques, continuité en un point Prenons alors ε = 3 l 2 l, de sorte que ε > 0. L inégalité précédente devient alors l 2 l < 2 3 l 2 l, ce qui est absurde, donc l = l 2. Grâce à l unicité de la ite, on peut introduire la notation suivante : Notation : Sous réserve d existence, l unique ite l K de la fonction f au point a sera désormais notée f(x) = l ou f(x) l. Remarque 2 : Si a D f et si f tend vers l au point a, alors l = f(a). En effet, soit ε > 0. Alors a ]a ε, a + ε[ D f ε > 0, f(a) l < ε f(a) = l. Proposition : Soient B D et b B. Si f admet une ite en b, alors sa restriction à B, notée f B, admet la même ite en b. démonstration : Triviale, en utilisant la définition et le fait que x D pour tout x B. Remarques 3 :. Avec B = V D, où V désigne un voisinage de b (donc contenant b), on a que f admet une ite finie en b est équivalent à f V D admet une ite en b : cette proposition est donc un résultat local. 2. La réciproque est fausse. Par exemple, la fonction f : R R définie par f(x) = si x Q et f(x) = 0 si x R\Q n admet aucune ite en aucun point de R. Cependant, sa restriction à Q (resp. R\Q) est la fonction constante égale à (resp. 0). Proposition 2 : Si f admet une ite finie en a, alors il existe un voisinage V de a tel que f soit bornée sur V D. démonstration : Soit M R +. Montrons que f(x) M pour tout x V D, où V désigne un voisinage de a, c est-à-dire un intervalle ouvert contenant a. f admet par hypothèse une ite finie notée l en a, donc par définition, ε > 0, η > 0 x D, x a < η f(x) l < ε. Prenons ε =. Il existe alors un tel voisinage V contenant a tel que x V D f(x) l < ε =, d où f(x) < + l. Le nombre M = + l R + vérifie la propriété.

3 Limite finie d une fonction, opérations algébriques, continuité en un point Limites à gauche et à droite en a Définition 2 : Si l on ajoute à x D l hypothèse x < a (resp. x > a) dans la définition de la ite de f en a (définition ), alors on parle de ite à gauche (resp. ite à droite) de f en a, et on note (sous réserve d existence) x < a f(x) = l et x > a f(x) = l. Exemple : Soit f la fonction définie par f : R x R { si x 0 0 si x = 0. Alors f n admet pas de ite en 0, mais x < 0 f(x) = f(x) =. Théorème 2 : f admet une ite en a si et seulement si f admet la même ite à gauche et à droite en a. Pour que cela soit possible, on suppose de plus que pour tout ε > 0, on a ]a ε, a+ε[ \{a} D et a D. démonstration : Le sens direct est immédiat. Montrons alors le sens indirect : on a x < a x > a f(x) = l ( ε > 0, η > 0 x D, x < a et x a < η f(x) l < ε), f(x) = l ( ε > 0, η > 0 x D, x > a et x a < η f(x) l < ε ). Par conséquent, ε > 0, η = min(η, η ) x D, x a et x a < η f(x) l < ε, et donc f(x) = l (car a D) Opérations algébriques Soient f,g deux fonctions telles que l ensemble A défini par D f D g soit non vide, et admettant respectivement l et l 2 pour ites en un point a A.

4 4 Limite finie d une fonction, opérations algébriques, continuité en un point Théorème 3 : (i) Les fonctions f +g, λf (λ R) et fg sont définies sur A et admettent pour ites respectives l + l 2, λl et l l 2 en a ; (ii) Si l 2 0, alors il existe un voisinage V de a tel que f/g soit définie sur V A et admette l /l 2 pour ite en a. démonstration : (i) Rappelons que (proposition 2) il existe M R + tel que pour tout x V D f (V voisinage de a), f(x) < M. Soit un tel M. Par définition, ε > 0, η > 0 x A, x a < η f(x) l < ε k, ε > 0, η > 0 x A, x a < η g(x) l 2 < ε k, où les nombres k et k vont être définis pour chacun des cas suivants. fg : En choisissant k = 2 l 2 et k = 2M, on a l existence d un réel η = min(η, η ) > 0 tel que pour tout x A, l inégalité x a < η implique f(x)g(x) l l 2 = f(x)g(x) f(x)l 2 + f(x)l 2 l l 2 f(x) g(x) l 2 + l 2 f(x) l < M ε 2M + l ε 2 2 l 2 = ε. f + g : En choisissant k = k = 2, on prouve l existence d un réel η = min(η, η ) > 0 tel que pour tout x A, l inégalité x a < η implique f(x) + g(x) l l 2 = f(x) l + g(x) l 2 f(x) l + g(x) l 2 < ε/2 + ε/2 = ε. λf : Enfin, en choisissant k = λ, on conclut en montrant que pour tout x A, l inégalité x a < η implique λf(x) λl = λ f(x) l < λ ε λ = ε. (ii) l 2 0 implique qu il existe η > 0 tel que x A, x a < η g(x) l 2 < l 2 /2 (choix particulier de ε > 0). Il vient que sur A ]a η, a + η[, on a g(x) > l 2 /2 et /g est définie sur ce voisinage de a. Sur ce voisinage, on a g(x) l 2 = g(x) l 2 g(x)l 2 2 g(x) l 2 l 2. 2 Or g admet une ite finie l 2 en a, donc en appliquant la définition, on trouve que ε > 0, η > 0 x A, x a < η g(x) l 2 < ε l On conclut alors que pour tout x A, x a < η = min(η, η ) g(x) l 2 < ε. Ceci achève notre démonstration.

5 Limite finie d une fonction, opérations algébriques, continuité en un point 5 Proposition 3 : Si l on suppose de plus que f(x) g(x), alors l l 2. démonstration : D après ce qui précède, on peut écrire que ( ) g(x) f(x) = l2 l. Supposons alors que l 2 l < 0. Il existe alors un intervalle I ouvert contenant a tel que pour tout x I A, on a g(x) f(x) < 0. On aboutit ainsi à une contradiction, prouvant que l 2 l 0. Remarque 4 : La réciproque est fausse. En effet, les fonctions f(x) = 0 et g(x) = xsin x deux = 0 g(x) = 0 sans que f g au voisinage de 0! x 0 x 0 vérifient toutes les Théorème 4 (d encadrement) : Soit h une fonction telle que A D h et admettant l 3 pour ite en a A D h. Si pour tout x A D h, on a f(x) h(x) g(x), alors (l = l 2 = l) l 3 = l. démonstration : Soit ε > 0. Il existe deux voisinages ouverts V et V 2 contenant a tels que x V (A D h ), l ε f(x) l + ε et x V 2 (A D h ), l ε g(x) l + ε. Sur V V 2 (A D h ), on a donc l ε f(x) h(x) g(x) l + ε, ce qui se traduit par h(x) = l. Exemple : Par développement ité, on a au voisinage de 0 : x3 }{{ 3! } < sin x x < }{{}, d où sinx x =. Théorème 5 (de composition) : Soient D et D 2 deux parties de R, f : D D 2, g : D 2 R et a D. (i) Si f(x) = b, alors b D 2, (ii) Si f(x) = b et g(x) = l, alors (g f)(x) = l. x b démonstration : (i) Soit V 2 un voisinage de b. Comme f(x) = b, il existe un voisinage V de a tel que f(v D ) V 2. Or V D (car il contient a), donc f(v D ) et puisque f(v D ) V 2 D 2, V 2 D 2. D où b D 2. (ii) Soit W un voisinage de l. Il existe un voisinage V de b tel que g(v D 2 ) W puis un voisinage U de a tel que f(u D ) V. D où f(u D ) V D 2, d où finalement g ( f(u D ) ) g(v D 2 ) W, et il vient que (g f)(x) l.

6 6 Limite finie d une fonction, opérations algébriques, continuité en un point Exercice : Calculer x 0 sin(3x) 2x. Solution : Posons f(x) = 3x et g(x) = 3 2 sin x, de sorte que x f(x) = 0 et g(x) = 3 (cf. exemple précédent). x 0 x 0 2 Cet exemple est bien choisi car il est difficile de bien voir sur la calculatrice que cette fonction n est pas définie en 0 : Puisque (g f)(x) = 3 2 sin(3x) 3x = sin(3x), on a 2x sin(3x) (g f)(x) = = 3 x 0 x 0 2x 2. Nous avons évidemment utilisé le théorème de composition donné cidessus. Théorème 6 (caractérisation séquentielle) : Une fonction f tend vers l au point a si et seulement si pour toute suite réelle (u n ) de points de D qui converge vers a, f(u n ) converge vers l. démonstration : " " : Pour tout voisinage ouvert V 2 de l il existe un voisinage ouvert V de a tel que f(v D) V 2. Or il existe un entier naturel N tel que u n V D pour tout n N. Donc f(u n ) V, c est-àdire f(u n ) " " : n l. Montrons ce résultat par contraposée : supposons que f n admette pas l pour ite. Alors ] ε > 0 n N, x a n, a + [ D et f(x) l ε. n On note alors x n l élément x associé à chaque entier n, de sorte que l ont ait construit une suite tendant vers a, sans pour autant que f(x n ) l. n Exercice : Montrer que f(x) = sin x n admet pas de ite en 0. Solution : Pour cela, considérons la suite (u n) de terme général u n = π + nπ 0. n 2 Alors sin u n = ( ) n n admet pas de ite en 0, donc f(x) non plus par le théorème précédent Continuité en un point À partir d ici, on considérera un réel a D. Définition 3 : On dit que f est continue en a si f admet une ite finie en ce point (nécessairement égale à f(a)). Symboliquement, ε > 0, η > 0 x D, x a < η f(x) f(a) < ε. On dit que f est continue sur D D si f est continue en chaque point de D. Si f n est pas continue en a, on dit qu elle est discontinue en a.

7 Limite finie d une fonction, opérations algébriques, continuité en un point 7 Théorème 7 : (i) Si f et g sont deux fonctions continues en un point A de l ensemble D f D g supposé non vide, alors f + g, kf (k R) et fg sont continues en a. De plus, si g(a) 0, alors il existe un voisinage V de a tel que f/g soit définie sur V (D f D g ) et la restriction de f/g à V (D f D g ) soit continue en a. (ii) Soient D, D 2 R, f : D R et g : D 2 R. On suppose que f(a) D 2. Si f est continue en a et g en b = f(a), alors g f l est en a. (iii) Une fonction f définie sur D est continue en a si et seulement si pour toute suite (u n ) de D convergeant vers a, f(u n ) converge vers f(a). démonstration : Grâce à la définition 3, on peut directement affirmer que ces trois résultats sont respectivement la conséquence directe des théorèmes 3, 5 et 6. Théorème 8 : Soit a D. Si f : D f R admet une ite finie l en a, alors il existe une unique fonction ϕ définie sur D f {a} qui coïncide avec f sur D f, et continue en a. La valeur de ϕ en a est l. démonstration : Soit ε > 0. Il existe alors η > 0 tel que pour tout x D\{a}, on a x a < η f(x) l < ε. Donc ϕ(x) l < ε, et donc par définition, ϕ est continue en a et ϕ(a) = l. L unicité provient de celle de la ite de f en a. Exemples : D = R, f(x) = sinx/x. On choisit a = 0 et l = (d après un exemple précédent). On pose alors { sin x si x 0 ϕ(x) = x si x = 0. g :]0, ] R : x sin est continue et bornée sur cet intervalle, mais n admet pas de ite en 0, donc x il n existe pas de fonction ϕ comme dans le théorème. Définition 4 : La fonction ϕ définie par le théorème précédent est appelée prolongement (par continuité) de f en a. Définition 5 : Une fonction f : [a, b] R est dite continue par morceaux si elle admet sur [a, b] un nombre fini de points de discontinuité et qu elle y admet des ites finies à gauche et à droite.