Correction des exercices

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1 Correction des exercices Chapitre EXERCICE 1 a) u 1 = = 5, u = 5 = , u 1 = 5 = , u = = b) u 1 = ( 1+1) = 0, u = (0+1) = 1, u = (1+1) =, u = (+1) = 5 1 c) u 1 = 1 = 1, u = 1 = 1, u 1 = 1 1 =, u = 1 1 d) u 1 = 1+1 =, u = +1, u = +1+1, u = = EXERCICE a) u 1 = 1, u = 1 1 = 1, u = 1 1 = 1, u = 1 1 = 1, u 5 = 1 1 = 1 5 On peut conjecturer que : n N, u n = 1 n On a bien u 0 = 1 0 = 1 et 1 n+1 = 1 1 n u n+1 = 1 u n b) u 1 = 1+5 = 6, u = 6+5 = 11, u = 11+5 = 16, u = 16+5 = 1, u 5 = 1+5 = 6. On peut conjecturer : n N, u n = 5n+1 On a bien u 0 = = 1 et 5(n+1)+1 = 5n+5+1 = (5n+1)+1 u n+1 = u n + 5 c) u 1 = = 1, u = = 1, u = = 1, u = = 1 5, u 5 = = On peut conjecturer n N, u n = 1 n+1 En effet u 0 = = 1 et 1 PREMIÈRE S

2 1 1 1+u n = n+1 = 1 n+1 n+ = n+ n 1 n+ = 1 n+ = u n+1 EXERCICE a) u n+1 u n = (n+1) (n+1)+1 n n+1 = n+1 n+ n n+1 = (n+1)(n+1) (n )(n+) (n+)(n+1) = n + n+n+1 n 6n+n+ (n+)(n+1) 5 = (n+)(n+1) or n N, (n+)(n+1) > 0 donc u n+1 u n > 0 la suite (u n ) est donc croissante. b) Comme tous les termes de la suite sont positifs, on étudie le rapport suivant : u n+1 u n = (n+1) (n+1) n n Le rapport u n+1 u n = n+ n n+ n = n n n n = = 8 9 < 1 étant inférieur à 1, la suite (u n ) est décroissante. c) u n+1 u n = ([n+1] 5) (n 5) = (n ) (n 5) = n 8n+16 n + 10n 5 = n 9 n 5 n 9 1 > 0 donc u n+1 u n > 0. La suite (u n ) est croissante. d) u n+1 = u n n u n+1 u n = n donc n N, u n+1 u n = n < 0. La suite (u n ) est donc décroissante. e) u n+1 u n = n+1 n+1 n n = n n+1 n n = n n n 1 n(n+1) = n (n 1) n(n+1) n N, n 1 0, n et n(n+1) 1 donc u n+1 u n 0 La suite (u n ) est croissante. EXERCICE (u n + Aun ) 1) Le programme définit la suite (u n ) : u 0 = 1 et u n+1 = 1 ( ) ) a) u 1 = u = 1 + = = 1 ( + ) = = 17 1 PREMIÈRE S

3 u = = 1 b) On obtient u 10 1, ( ) = = c) La suite semble calculer une approximation de 1, 1. ) On peut remplir le tableau suivant pour plusieurs valeur de A A 9 5 u 10 1,7 5 On peut donc dire que ce programme permet de calculer une approximation de A EXERCICE 5 a) u n+1 u n = (n+1)+ n = n++ n = n N, u n+1 u n =, la suite (u n ) est arithmétique de raison et de premier terme u 0 = b) u n+1 u n = n+1 (n 1)+1 = n+1 n+ 1 = n N, u n+1 u n =, la suite (u n) est arithmétique de raison et de premier terme u 1 = 1 c) u n+1 u n = (n+1) (n+1) n + n = n + n+1 n 1 n + n = n La différence entre deux termes consécutifs n étant pas constante (n), la suite (u n ) n est pas arithmétique. d) La suite (u n ) obéit à la définition d une suite arithmétique de raison et de premier terme u 0 = EXERCICE 6 a) u 1 0 = u r r = u 10 u 0 10 = On a donc u 015 = u r = = 606 b) u 1 00 = u r r = u 100 u = 1 On a donc u 0 = u 0 + 0r = = 5 c) u 0 = u 17 +(0 17)r r = u 0 u 17 On a donc = u 0 = u 17 17r = 17 = 10 EXERCICE 7 PREMIÈRE S

4 a) u 1 = = 1, u = = 1 = 1 De même, on trouve u = 1, u = 1 5, u 5 = 1 6 b) v 0 = 1, v 1 =, v =, v =, v = 5, v 5 = 6 c) n N, v n+1 v n = 1 1 = 1+u n 1 = u n = 1 u n+1 u n u n u n u n La suite v n est arithmétique de raison 1 et de premier terme v 0 = 1, donc v n = 1+n On revient ensuite à u n = 1 v n = 1 n+1 EXERCICE 8 a) On pose S = Il y a = 50 termes, donc S = b) Il y a n = n termes donc S = n 1+n 1 = 50 = 500 = n La somme des n premiers nombres impairs est égale au carré de n. EXERCICE 9 a) On rappelle que la hauteur d un triangle équilatéral de côté a vaut : h = L aire d un triangle équilatéral de côté a vaut : aire = a a On calcule l aire u n par différence des aires des triangles équilatéraux de côtés respectifs n et n 1. n (n 1) (n u n = = n + n 1) (n 1) = [(n+1) 1] (n 1) (n+ 1 n+1) u n+1 u n = = = = La suite (u n ) est donc arithmétique de raison et de 1er terme u 1 = b) v n représente le périmètre du trapèze isocèle de bases de longueurs respectives de n et n 1 et de côtés latéraux de 1. On a donc : v n = n+(n 1)+=n+1 On a donc : v n+1 v n = (n+1)+1 (n+1) =. La suite (v n ) est donc arithmétique de raison et de premier terme v 0 = PREMIÈRE S

5 EXERCICE 10 S = Nbre de termes somme des termes extrêmes a) S = il y a = termes S = +999 = b) S = il y a S = = c) S = il y a = 1999 termes + 1 = 16 termes S = = 88 EXERCICE 11 a) On a les représentations des nombres T 5 et T 6 T 5 = 15 T 6 = 1 b) On peut proposer l algorithme suivant : T n = n On trouve alors : T 1 = 78 et T 60 = 1 80 Variables : N, I, T entiers Entrées et initialisation Lire N 0 T Traitement pour I variant de 1 à N faire T+ I T fin Sorties : Afficher T c) On utilise la formule permettant de calculer les entiers jusqu à n : T n = n(n+1) T 1 = 1 1 = 78 et T 60 = = 1 80 d) On peut proposer l algorithme suivant permettant de calculer le plus petit entier n tel que T n P 5 PREMIÈRE S

6 Si P = 100, trouve N = 1 Si P = 1000, trouve N = 5 On peut vérifier : T 1 = 105 et T 5 = 105 Variables : N, T, P entiers Entrées et initialisation Lire P 0 T 0 N Traitement tant que T < P faire N+ 1 N T+ I T fin Sorties : Afficher N e) On doit résoudre T n 100 et T n 1000 n(n+1) 100 n + n 00 0 on a = = 801 La racine positive est n 1 = n(n+1) 1, 65 donc n n + n on a = = 8001 La racine positive est n 1 = EXERCICE 1, donc n 5 La suite (u n ) commence à u 1, il y a alors n termes dans la somme S n a) u 17 = u r u 1 = u 17 16r = = 7 S 17 = 17 u 1+ u 17 = 17(7+105) = 151 b) S = 0 u 1+ u = 0 u 1 + u 17 = 0 u 1 + u = 0 u 1 + u 1 + r = 0 u 1 = r u 1 = 16r = 11 On obtient alors u = 11 c) u n = u 1 +(n 1)r u 1 = u n (n 1)r = 1 7(n 1) S n = 1176 n u 1+ u n = 1176 n[1 7(n 1)+1] = 5 8n 7n(n 1) = 5 7n + 5n+5 = 0 On divisant par 7 : n 5n 6 = 0 d où = 5+1 = 169 = 17 La racine positive n = 5+7 EXERCICE 1 = 1. On a alors u 1 = = 16 L empilage des tuyaux correspond à un nombre triangulaire T n : somme des entiers naturel jusqu à n 1) Empilage de 5 couches : T 5 = 5 6 = 15 tuyaux Empilage de 1 couches : T 1 = 1 1 = 78 tuyaux 6 PREMIÈRE S

7 ) Il faut résoudre T n = 15 T n = 15 n(n+1) = 15 n + n 06 = 0 = 1+1 = 15 = 5 la racine positive est n = couches représente un empilage de 15 tuyaux. = 17 ) Il faut résoudre T n 00 T n 00 n(n+1) 00 n + n 00 0 = = 1601 la racine positive est n 1 = Pour ranger 00 tuyaux, il y a un empilage de 19 couches. Il reste = 10 tuyaux 19, 5 EXERCICE 1 Le nombre u i de cases sur la ligne i correspond à un terme d une suite arithmétique de raison (on ajoute deux cases à chaque couche) et de 1 er terme u 1 = 1. On a alors u i = 1+(i 1) = i 1 Le nombre S i de cases de la ligne 1 à la ligne i correspond à la somme des nombres impairs de 1 à (i 1) S i = (i 1) = i 1+(i 1) = i Pour trouver la ligne où se trouve 01. Le nombre de ligne entièrement remplies : partie entière de 01 = Le nombre 01 se trouve sur la 5 e ligne et au rang 01 = 77 Le nombre 01 se trouve sur la 5 e ligne au rang 77 EXERCICE 15 1) On pose comme variable : N le nombre de mètres forés, U le coût du N e mètre et S la somme nécessaire pour forer N mètres. On trouve alors N = 16 On peut forer 16 m avec e Variables : N, U, S entiers Entrées et initialisation 1 N 1000 U 1000 S Traitement tant que S < faire N+ 1 N U+ 50 U S+U S fin Sorties : Afficher N ) a) La suite (u n ) est une suite arithmétique car on obtient le terme suivant en ajoutant 50 au précédent.(u n ) est une suite arithmétique de raison 50 et de premier terme u 1 = PREMIÈRE S

8 b) On pose S n la somme nécessaire pour forer N mètre : S n = u 1 + u + +u n u n = (n 1) et S n = S n = n u 1+ u n = n[1000+( (n 1)] = n+50n(n 1) = 0 50n n = 0 En divisant par 50 : n + 9n = 0 c) = = = 91 On prend la racine positive n = 9+91 = 16 On retrouve ainsi le résultat trouver avec un algorithme. EXERCICE 16 1 re méthode : suite arithmétique Soit (u n ), la suite dont u n représente le temps, en seconde, mis pour effectuer le n e tour. (u n ) est une suite arithmétique de raison 1 et de 1 er terme u 1. On a alors u n = u 1 +(n 1). Soit S 5 la somme des cinq premiers termes : mn 0 = 160 s, on a : S 5 = 160 S 5 = u 1 + u + +u 5. Comme S 5 = u 1+ u 5 = 160 5[u 1 +(u 1 + )] = 0 10u = 0 u 1 = 0 Le premier tour est donc effectué en 0 secondes, les autres tours sont donc effectués respectivement en 1 s, s, s et s. e méthode : par le temps moyen Le temps moyen des cinq tours est donné par le e tour t. Pour trouver le temps total, il suffit de multiplier ce temps moyen par 5. Si le temps est donné en seconde, on a alors : 5t = 160 t = 160 = s. 5 En retranchant les secondes nécessaires on obtient les quatre autres temps : t 1 = t = 0 s, t = t 1 = 1 s, t = t + 1 = s, t 5 = t + = s EXERCICE 17 On passe du nombre d allumettes nécessaires pour construire un étage au suivant en rajoutant allumettes ( de chaque côtés) au nombre d allumettes de l étage précédent. Soit la suite (u n ) dont u n représente le nombre d allumettes nécessaires pour construire le n e étage. (u n ) est alors une suite arithmétique de raison et de premier terme u 1 =. On a donc u n = +(n 1) Soit S n le nombre d allumettes nécessaires pour construire n étages. On a donc S n = u 1 + u + +u n 8 PREMIÈRE S

9 On peut proposer l algorithme suivant : On trouve alors N = 7 et S = 10 0 On peut donc faire 7 étages avec 10 0 allumettes et il ne reste plus d allumettes. Variables : N, U, S entiers Entrées et initialisation 1 N U S Traitement tant que S < 10 0 faire N+ 1 N U+ U S+U S fin Sorties : Afficher N, S Par le calcul S n = 10 0 n u 1+ u n = 10 0 n[++(n 1)] = n+n(n 1) = n + n = 0 n + n 10 0 = 0 = = 8 51 = 89, la racine positive est alors n = 1+89 = 7 On peut donc construire 7 étages avec 10 0 allumettes. EXERCICE 18 a) La suite(u n ) est arithmétique car on ajoute au terme précédent pour trouver le suivant (U+ U) et de premier terme u 0 = 1 b) Le but de cet algorithme est de calculer la somme S = u 1 + u + +u 10. on somme les termes à partir de u 1 car la somme S est initialisée à 0. On obtient par cet algorithme S = 175 c) S = u 1 + u + +u 10 = 10 u 1+ u 10 On a : u 1 = 1+ = et u 10 = 1+10 = 1 D où S = EXERCICE 19 = 175 Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant pour tout n. Pour montrer qu une suite n est pas géométrique, un contre exemple montrant deux rapports inégaux suffit. a) n N, u n+1 u n = 5(n+1)+ 5 n+ = 5 5n+ 5 n+ = 5 La suite (u n ) est géométrique de raison 5 et de premier terme u 0 = 5 = 15 b) u 0 = 1, u 1 = 5 et u = 7. On a : u 1 u 0 = 5 et u u 1 = 7 5. Donc u 1 u 0 = u u 1 La suite (u n ) n est pas géométrique. 9 PREMIÈRE S

10 c) u 0 = 1, u 1 = 6 et u = 1. On a : La suite (u n ) n est pas géométrique. u 1 u 0 = 6 et u u 1 =. Donc u 1 u 0 = u u 1 d) 5u n+1 u n = 1 5u n+1 = u n + 1 u n+1 = u n+ 1 5 On a alors : u 1 = ( 1)+1 5 = 1 5 et u = = 5 u 1 u 0 = 1 5 et u u 1 = 5 donc u 1 u 0 = u u 1. La suite (u n ) n est pas géométrique. EXERCICE 0 a) u n = q n u 0 = 5 n b) u = q u u = u q = 8 = et u 6 = q u = 8 = c) u 5 = q 5 u 0 u 0 = u 5 q 5 = 10 ( 1 ) 5 = 10 5 = 0 u 10 = q 5 u 5 = ( 1 ) 5 10 = 10 5 = 5 16 d) u 7 = q u 5 q = u 7 u 5 = 56 6 =. Comme q > 0, q = = u 10 = q u 7 = 56 = 096 e) u 7 = q u 5 q = u 7 u 5 = 7 86 = 9. Comme q > 0, q = 9 = u 0 = u 5 q 5 = 86 5 = et u 10 = q u 7 = 7 = 9 66 EXERCICE 1 a) u n+1 = qu n et u n+ = q u n. On a donc : u n+ = u n+1 + u n q u n = qu n + u n u n (q q 1) = 0 Comme u n = 0 q q 1 = 0. On a : = 1+ = 5 La racine positive est q = 1+ 5 b) 1) La suite (u n ) est géométrique donc u n = q n 1 u 1 Tous les termes de la suite sont négatifs donc u 1 < 0 La suite u n est croissante donc les termes q n sont décroissants 0 < q < 1 ) On a u = qu 1 et u = q u 1 10 PREMIÈRE S

11 u 1 u = 9 q u 1 = 9, u 1 < 0 et q > 0 alors qu 1 = (1) u 1 + u + u = 19 9 u 1(1+q+q ) = 19 9 qu 1(1+q+q ) = 19 9 q En remplaçant par la relation (1) : (1+q+q ) = 19 9 q ( 9) 6(1+q+q ) = 19q 6q 1q+6 = 0 = = 5 = 5. Il faut prendre la racine positive inférieure à 1 : q 1 = = > 1 et q = = < 1 Seul q convient. u 1 = q = = 1 et u =, u = 9 ) On a alors : n 1, u n = ( ) n 1 EXERCICE a) On calcule les premiers termes : u 1 = 9, u =, u = 51, u = 107 b) Les 1 er termes de (v n ) : v 0 = 7, v 1 = 1, v = 8, v = 56, v = 11 c) Exprimons v n+1 en fonction de v n : v n+1 = u n = u n = u n + 10 = (u n + 5) = v n n N, v n+1 v n 1 er terme v 0 = 7 =, donc la suite (v n ) est géométrique de raison q = et de On a alors : v n = 7 n comme u n = v n 5 u n = 7 n 5 EXERCICE Dans les somme suivante, on applique la formule de la somme des premiers termes d une suite géométrique : S = 1 er terme 1 qnbre de termes 1 q a) S = = = (7 1) = 1 8 b) Il faut déterminer le nombre de termes en trouvant la puissance n telle que : n = Sachant que 10 = 10 10, on essaye 0 = S = = 1 ( ) 18 Il y a 19 termes. ( ) 1 19 S = = 1 ( 1 1 ) 19 0, 5 11 PREMIÈRE S

12 c) S = Somme des termes d une suite géométrique de raison 1. Pour déterminer le nombre de termes, il faut déterminer n tel que n = Sachant qu il y a un " " devant le dernier terme, n est pair, et sachant que = 81, on teste 6 = 79 puis 8 = S = S = 1 1 ( 1 ) Il y a 8 termes. = 1 (1 1 ) 8 = 1 ( 1 1 ) = , 5 ( ) 1 8 d) S = = = 10 9 ( 1 1 ) , 111 Remarque : S est une somme qui peut s écrire : S = 1+0, 1+0, , = 1, EXERCICE a) u 1 = q u 10 q = u 1 = 00 u 10 5 = 8 q = u 0 = u 10 5 = b) La somme S correspond à la somme des termes de deux en deux. On passe d un terme au suivant, en multipliant par q. On peut observer qu il y a 11 termes. S = u 10 + u 1 + u 1 + +u 0 = u 10 + q u 10 +(q ) u (q ) 5 u 10 = u 10 [ 1+q +(q ) + +(q ) 5] = u 10 1 (q ) 6 = = 5(1 6 ) 1 q = 5 (6 1) = 15 EXERCICE 5 1) a) Si le loyer a augmenté de 5 %, il a donc été multiplié par on a donc : u 1 = 1, = 500 b) Pour u n, on aura multiplié n fois par 1,05, on obtient donc : = 1, 05, u n = 1, 05 n 800 donc u 8 = 1, = 7091, 79 c) S = u 0 + u u 8 = , , 05 = 5 97,51 1 PREMIÈRE S

13 ) a) Comme l augmentation est constante, il s agit d une suite arithmétique v 1 = = 5080 b) v n = n donc v 8 = = 700 ( ) c) S = v 0 + v 1 + +v 8 = 9 = 5 80 S < S. C est donc le premier contrat qui est le plus avantageux sur 9 ans. Cependant sur une plus longue période, le contrat deux deviendrait plus avantageux EXERCICE 6 1) w 0 = 1+ =, w 1 = + =, w = + =. On a donc : w 1 w 0 = 1 et w w 1 = 0. Donc w 1 w 0 = w w 1. (w n ) n est pas arithmétique. w 1 w 0 = et w w 1 = 1. Donc w 1 w 0 = w w 1. (w n ) n est pas géométrique. ) a) n N, u n+1 u n = (n+1)+ ( n+) = n ++n = La suite (u n ) est arithmétique de raison r = et de 1 er terme u 0 = v n+1 b) n N, = n+1 v n n = n n = La suite (v n ) est géométrique de raison q = et de 1 er terme v 0 = 1 ) S = w 0 + w 1 + +w 10 = (v 0 + u 0 )+(v 1 u 1 )+ +(v 10 u 10 ) = (v 0 + v 1 + +v 10 )+(u 0 + u 1 + +u 10 ) = v 0 1 q11 1 q + 11 u 0+ u 10 = = = 1959 EXERCICE 7 a) On règle la calculette : z : suite (français) ou seq (anglais). : esc (français) ou web (anglais) On prendra soin de rentrer la suite comme u(n) = u(n 1) 1+u(n 1) La suite (u n ) semble décroissante et converger vers 0. 1 PREMIÈRE S

14 b) n N, v n+1 v n = 1 u n ( ) = 1+u n = u n u n u n donc la suite (v n ) est arithmétique de raison r = et de 1 er terme v 0 = c) On a v n = n+. v n = 1 u n u n = v n 1 u n = 1 v n 1 On a donc u n = 1 d) lim n + n+ 1 n+ 1 = 1 n+ = 0 donc lim n + u n = 0 1 Remarque : On pourrait étudier la fonction f(x) = qui donne x+ f (x) = (x+) < 0. La fonction f est décroissante, donc la suite (u n) est décroissante, comme conjecturée au a). EXERCICE 8 1) On a le graphe suivant : y = x f(x) = 1 x O u u u 1 u On peut conjecturer que la suite converge vers l abscisse du point d intersection des deux droites, soit vers 0,5. ) a) v n+1 = u n+1 1 = 1 u n+ 1 1 = 1 u n 1 = 1 ( u n 1 ) = 1 v n n N, v n+1 v n = 1. La suite (v n) est géométrique de raison q = 1 et de 1 er terme v 0 = u 0 1 = 1 b) v n = q n v 0 = ( ) 1 n+1 donc u n = v n + 1 = ( ) 1 n PREMIÈRE S

15 c) lim n + ( ) 1 n+1 = 0 car 1 < 1 < 1 donc par somme lim n + u n = 1 EXERCICE 9 1) On a le graphe suivant : 1. y = x f(x) = x+ x u 0 u 1 u u O On peut conjecturer que la suite converge vers l abscisse du point d intersection entre la droite et la courbe, soit vers 1. ) a) v n+1 = u n+1 1 u n+1 + = v n N, n+1 v n 1 er terme v 0 = u 0 1 u n = v n 1 v n 1 u n + u n + 1 = u n + u n + + u n + u n u n + u n + +u n + 6 u n + = u n 1 (u n + ) = 1 v n = 1. La suite (v n) est géométrique de raison q = 1 u 0 + = 1 b) v n = q n v 0 = 1 ( ) 1 n v n = u n 1 u n + u nv n + v n = u n 1 u n v n u n = v n 1 ( ) 1 n + 1 c) lim n + = v n+ 1 1 v n = ( ) 1 n = 0 car 1 < ( ) 1 n et de < 1 donc par produit et quotient lim n + u n = 1 EXERCICE 0 1) On obtient le tableau suivant : n 0 1 c n 5,5 1,5 0,65 0,1 5 l n 5 7,5 8,75 9,75 9,687 5 a n 5 6,5 1,56 5 0, , s n 5 1,5,81 5,0 15, PREMIÈRE S

16 On peut proposer l algorithme suivant permettant de calculer les 5 premiers termes de l n et c n Les liste L 1 et L correspondent respectivement aux suites (l n ) et (s n ) Comme les indices des listes ne commence qu à 1. On met 5 et 5 dans respectivement L 1 (1) et L (1). Il y a ensuite un décalage d indice de 1 par rapport à l indice des suites. On édite ensuite les suites : puis Edit Variables : I entier et L 1, L listes Entrées et initialisation Effacer liste L 1, L 5 L 1 (1) 5 L (1) Traitement pour I de 1 à faire L 1 (I)+ 5 I L 1(I + 1) ( ) 5 L (I)+ I L (I + 1) fin Sorties : Afficher L 1, L ) a) Les suites (c n ) et (a n ) sont géométriques de raisons respectives 1 et 1. Leurs premiers termes sont respectivement 5 et 5. Les sommes l n et s n ont chacune (n+1) termes. ( 1 1 l n = c 0 + c 1 + +c n = ) n+1 = 10 [ 1 ( ) ] 1 n+1 ( ) 1 n+1 1 s n = a 0 + a 1 + +a n = = 100 b) Il n existe pas d entier p tel que l n 10 car 1 c) lim n + ( ) 1 n+1 = lim n + Par somme et produit [ 1 ( ) ] 1 n+1 ( ) 1 n+1 < 1 ( ) 1 n+1 = 0 car 1 < 1 < 1 < 1 lim l n = 10 et n + lim s n = 100 n + EXERCICE 1 a) On peut tracer la figure suivante pour déterminer le rapport entre v n et v n+1 Dans le triangle rectangle OA n 1 A n A n tan π = v n OA n donc OA n = v n OA n = v n tan π A n+1 v n+1 π π O v n A n 1 16 PREMIÈRE S

17 Dans le triangle rectangle OA n A n+1 sin π = v n+1 OA n v n+1 = sin π OA n = v n = 1 v n. Donc n 1, v n+1 = 1 v n, la suite (v n ) est géométrique de raison q = 1 et de 1 er terme v 1 = A 0 A 1 = sin π OA 0 = Remarque : On aurait pu aussi trouver ce rapport de 1 en considérant les deux triangles OA n 1 A n et 0A n A n+1. Comme ce sont deux triangles rectangles avec un angle de π, ces deux triangles sont semblables. Pour trouver le rapport des distances entre ces deux triangles, on peut calculer : OA n = cos π OA n 1 = 1 qui correspond aussi au rapport v n+1 v n b) u n = A 0 A 1 + A 1 A + +A n 1 A n (n termes) ( ) 1 n u n = v 1 + v +... v n = c) lim n + ( ) 1 n = 0 car 1 < 1 = [ 1 ( ) 1 n ] < 1 par somme et produit lim n + u n = EXERCICE 1) a) L aire de la partie coloriée ne peut pas être supérieur à l aire du triangle équilatéral de côté 10. a On sait que l aire d un triangle équilatéral de côté a vaut : L aire A d un triangle équilatéral de côté 10 vaut : A = 100 = 5 donc S n A S n 5 b) De façon immédiate S n et P n sont croissantes car on ajoute à chaque étape des triangles. Comme la surface S n est bornée par l aire du triangle équilatéral de côté 10, on peut s attendre à ce que sa limite tende vers l aire de ce triangle soit 5. Quant au périmètre, sans en avoir une certitude, les triangle se multipliant, sa valeur augmente sans être borné, on peut alors s attendre à ce qu il diverge vers + ) De l étape n à l étape (n+1) : tous les triangles de l étape n engendrent nouveaux triangles dont le côté est divisé par ces nouveaux triangles ont un périmètre divisé par et une aire divisée par = On pose u n la surface totale des triangles rajoutés à l étape n. On a alors : u n+1 = 1 u n = u n 17 PREMIÈRE S

18 (u n ) est donc une suite géométrique de raison q = et de 1er terme u 1 = 5 Le premier triangle colorié est de côté 5. S n = u 1 + u + +u n = 5 ( 1 1 ) n = 5 [ 1 ( ) n ] ( ) n lim = 0 car 1< <1 par somme et produit lim n + S n=5 n + On retrouve notre conjecture, l aire de la surface coloriée tend vers l aire du triangle équilatéral de côté 10. On pose v n le périmètre total des triangles rajoutés à l étape n. On a alors : v n+1 = 1 u n = u n (v n ) est donc une suite géométrique de raison q = et de 1er terme v 1 = 15 Le premier triangle colorié est de côté 5. ( ) n 1 [( ) n P n = v 1 + v + +v n = 15 1 = 0 1] ( ) n lim = + car > 1 par somme et produit lim n + P n = + n + On retrouve notre conjecture, le périmètre de la surface coloriée diverge vers +. Remarque : On a ainsi fabriqué une surface dont l aire est finie et le périmètre infini (cf fractal) EXERCICE a) De l étape n à l étape (n+1) : le nombre de côtés est multiplié par la longueur des côtés est divisée par On a le périmètre p n+1 en fonction de p n : p n+1 = 1 p n = p n La suite (p n ) est une suite géométrique de raison q = ( ) n 1 p 1 = a. On a alors : p n = q n 1 p 1 = a et de premier terme lim n + ( ) n 1 = + car > 1 par produit lim n + p n = + b) De l étape n à l étape (n+1) : le nombre de côtés est multiplié par l aire est augmentée de l aire d un triangle par côté 18 PREMIÈRE S

19 la longueur des côté est divisée par L aire d un triangle équilatéral de côté a vaut : a À l étape n, l aire est augmentée d un nombre de triangles équilatéraux égal au nombre de côtés de l étape (n 1) soit n. a La longueur des côtés de ces triangles vaut ) n 1 ( a ( a ) a A n = n a ] 1 n = [ n ( a = 1+ 1 ( ) ]) n [ ( ) n 1 a = ( [ a 1 = ( ) ]) n 1 9 ( a n 1 ) le calcul est un peu délicat, bien faire attention aux puissances. On a un terme plus une somme de termes d une suite géométrique de raison 9 lim n + ( ) n 1 = 0 car 1< 9 9 a lim A n = n + ( 1+ 5 ) = a <1 on a alors : c) Voici encore une surface dont l aire est finie et le périmètre infini. 5 EXERCICE 1) a) On peut proposer l algorithme suivant : Variables : N, entier et U, V, W réels Entrées et initialisation Lire N 1 U V Traitement pour I de à N faire 1, 5V 0, 5U W V U W V fin Sorties : Afficher V b) On obtient le tableau suivant : n u n,5,97 5, PREMIÈRE S

20 c) La suite semble converger vers ) a) v n+1 = u n+ u n+1 = 1, 5u n+1 0, 5u n u n+1 = 0, 5(u n+1 u n ) = 0, 5v n n N, v n+1 v n 1 er terme v 0 = u 1 u 0 = 1 = 0, 5, la suite(v n ) est géométrique de raison q = 0, 5 et de b) v n = q n v 0 = 0, 5 n ) a) On peut écrire les lignes suivantes que l on additionnent : u 1 u 0 = v 0 u u 1 = v 1 u u = v =... u n u n 1 = v n 1 u n = v 0 + v 1 + v + +v n 1 + u 0 = v 0 1 qn 1 q + u 0 1 0, 5n = 1 0, = (1 0, 5 n )+1 u n u 0 = v 0 + v 1 + v + +v n 1 b) lim n + 0, 5n = 0 car 1<0, 5<1 par somme et produit lim n + u n = ) On peut proposer l algorithme cicontre. Comme u n <, on remplace la condition : u n < 10 6 par u n < 10 6 On trouve alors : P = 1 Variables : P, entier et U réel Entrées et initialisation 0 P 1 U Traitement tant que U 10 6 faire P+1 P (1 0, 5 P )+1 U fin Sorties : Afficher P EXERCICE 5 a) u 1 = 1+ 1 = u = = 1+ 1 = 1+ = 5 1 u = = = 1+ 1 = = 8 5 b) Au vu de la construction des termes, on a : u n+1 = 1+ 1 u n avec u 0 = c) On peut proposer l algorithme suivant : 0 PREMIÈRE S

21 n u n 1,615 1, , ,618 0 Variables : N, I entiers et U réel Entrées et initialisation Lire N U Traitement pour I de 1 à N faire fin 1+ 1 U U Sorties : Afficher U d) La suite semble converger vers 1,618 0 Remarque : Si(u n ) converge versl, d après le théorème du point fixe, l = l. La racine positive est alors l = , qui n est autre que le nombre d or φ EXERCICE 6 a) u 1 = 1+ 1 = u = = 1+ 1 = = u = = = = = 17 1 Au vu de la construction des termes, on a : u n+1 = 1+ 1 u n + 1 avec u 0 = 1 b) On peut proposer l algorithme suivant : n u n 1,1 1,1 1,1 1,1 Variables : N, I entiers et U réel Entrées et initialisation Lire N 1 U Traitement pour I de 1 à N faire 1+ 1 U+ 1 U fin Sorties : Afficher U c) La suite semble converger vers 1,1 Remarque : Si(u n ) converge versl, d après le théorème du point fixe, l+1 = l. La racine positive est alors l =. Cette suite correspond au développement en fraction continue de EXERCICE 7 1 PREMIÈRE S

22 a) On peut remarquer que si n est pair, u n est alors une proposition de Pierre, et si n est impair, u n est une proposition de Paul. Le procédé est de prendre le milieu des deux proposition antérieures. On a donc : u n+ = u n+1+ u n avec u 0 = 1000 et u 1 = 500 b) Il faut programmer une suite récurrente à deux termes : Variables : N, entier et U, V, W réels Entrées et initialisation Lire N 1000 U 500 V Traitement pour I de à N faire V + U W V U W V fin Sorties : Afficher V On peut alors remplir le tableau suivant : n u n 656,5 666,99 666,67 666,67 Pierre et Paul vont donc tomber d accord pour le prix de 666,67e. Ce nombre est atteint après 16 propositions u , 67 On pourrait montrer que la limite exacte est 000 PREMIÈRE S