Eléments de mathématiques nécessaires en macroéconomie et en croissance

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1 Elément de mathématique néceaire en macroéconomie et en croiance Francoi Fontaine Ce polycopié n et en rien un préci de mathématique. Il n en a ni l exactitude, ni la préentation rigoureue. Il agit de raembler le bae néceaire à la compréhenion de outil mathématique utilié dan vo cour de macroéconomie et de croiance. Une grande partie de la préentation et tirée de ouvrage de B. Guerrien, Analye mathématique pour économite (Economica), et D. Romer Macroéconomie Approfondie (Edicience, McGrawhill). Toute uggetion et la bienvenue pour améliorer et/ou compléter ce document. Le dérivée Définition La dérivée d une fonction f(.) en un point a et notée f (a) et correpond à: f (a) =lim x a f(x) f(a) x a La dérivée et donc la limite du rapport de accroiement de f et de x, lorquex a (partant du point a, de combien augmente f, pour un accroiement de x infinitéimal). Géométriquement f (a) et la pente de la droite tangente à f(.) au point a. On utilie aui la notation: Remarque, f (a) e note aui f(a) a. Dérivée à connaître 1) (u.v) = u v + v u 2) u v = u v v u v 2 d où 1 x = 1 x 2 f (a) = f lim x x avec x = x a et f = f(x) f(a) 1

2 Le fonction compoée Le fonction compoée ont de fonction de fonction. Par exemple, le fonction de production macroéconomique ont généralement de fonction à pluieur variable (le tock de capital phyique K, letravaill...) qui ont elle-même fonction du temp: Y (t) = F [K(t),L(t)] = K(t) α L(t) 1 α Théorème (dérivée d une fonction de fonction): Soit g(x) une fonction dérivable en a et f(x) une fonction dérivable en g(a). Alorf g et dérivable en a et on a: (f g) (a) =f (g(a)) g (a) Application Conidéron d abord le ca imple où Y (t) =F [K(t)] = K(t) α. Par rapport au théorème ci-deu, notre F [.] correpond au f(x) et K(.) au g(x). F et une fonction de K qui et une fonction du temp. On peut donc appliquer la formule: Y (t) = F [K(t)] K(t) = αk(t) α 1 K(t) On remarquera que l on note K(t) le concept de différentielle. = K(t). Le ca général néceite d abord que oit préenté Différentielle d une application Différentielle d une application en un point La différentielle peut être préentée comme l application linéaire tangente en un point d une fonction. Qu et-ce que cela peut-il bien vouloir dire? On a vu que la dérivée f (x) en x de f et donnée par, avec f(x) =f(x + x) f(x) : f f(x) (x) = lim x x =limf(x + x) f(x) x (1) f (x) meure la pente de la tangente en M =(x, f(x)) au graphe de f. L égalité (1) peut aui écrire ou la forme: f(x) x = f (x)+ ( x) où ( x) lorque x (2) Pour comprendre cela, il faut conidérer chématiquement que la dérivée correpond au rapport de accroiement f(x) x àlalimite, c et à dire quand x. Si l on éloigne de cette 2

3 f(x) M f (x) x x Figure 1: Repréentation graphique de la dérivée de f(x) en M (droite tangente) et de la différentielle de f, df = f (x)dx. limite, il faut rajouter ou retirer quelque choe, ici repréenté par ( x). Ce quelque choe et d autant plu petit que x et proche de zéro. La relation (2) implique: f(x) =f (x) x + ( x) x On peut donc conidérer que f (x) x donne une valeur approchée de f ( f(x) ' f (x) x). Cette approximation étant d autant meilleure que x et petit. f (x) x et une application linéaire et et repréentée graphiquement par une droite, la tangente de M au graphe de f. On voit ur la figure 1 que cette approximation linéaire et trè approximative pour de valeur importante de x. On note cette application linéaire df x et on a donc df x ( x) =f (x) x. Cette notation e jutifie de la manière uivante: -d pour différentielle; -df pour marquer le fait que c et la différentielle de la fonction f; -df x parce que la différentielle et définieenunpointx donnée, la différentielle étant une application linéaire de x et non de x. Dan la pratique, comme on a y = f(x), on écrit ouvent pour implifier le notation, df x = dy. Soit l application identité définie par i(x) =x. La différentielle di x au point x et donnée par : Aini: di x ( x) = i (x) x =1 x on note donc dx( x) = x = dx par implification de notation df x = dy = f (x)dx dy dx = f (x) = f(x) x 3

4 Différentielle à connaître Elle e déduient immédiatement de celle de la dérivée. Soit f(x) et g(x): 1) d(f + g) x = df x + dg x 2) d(fg) x = g(x)df x + f(x)dg x 3) d(f/g) x = g(x)dfx f(x)dgx (g(x)) 2 4) d(f g) x =(f g) (x)dx = f [g(x)] g (x)dx Différentielle d une fonction à pluieur variable Soit f(x) une fonction à pluieur variable X =(x 1,...,x n ). La différentielle de f en un point ( vecteur ) e note df X et df X ( X) = nx fx i (X) x i (3) Cette formule n et que la généraliation de ce que l on a pu voir précédemment. Exemple: i=1 Conidéron Y = F (K, L) =K α L 1 α avec K et L deux variable dont on uppoera préalablement qu elle ne dépendent pa du temp. On a: dy = FKdK + FLdL = αk α 1 L 1 α dk +(1 α)k α L α dl = α Y K dk +(1 α)y L dl dy Y = αdk K +(1 α)dl L Maintenant reprenon la même fonction, mai en conidérant que le variable K et L dépendent du temp Y (t) =F (K(t),L(t)) = K(t) α L(t) 1 α. Formellement, on va appuyer ur la formule de fonction compoée (F et une fonction de K et L qui ont eux-même fonction du temp). On note ẋ(t) =x t(t). On a donc: dy t ( t) = Ẏ (t)dt = F k K (t)dt + FL L(t)dt Ẏ (t) =F k K (t)+f L L(t) Ẏ (t) =αk(t)α 1 L(t) 1 α K (t)+(1 α)k(t) α L(t) α L(t) Y (t) Ẏ (t) =α K(t) K (t)+(1 α) Y (t) L(t) L(t) Ẏ (t) Y (t) = αk (t) L(t) +(1 α) K(t) L(t) Comme certain d entre-vou le avent, lorque l on a affaire avec de fonction de type Cobb- Dougla (i.e. A x B y ), il exite une manière imple de dériver le même réultat, en log-linéariant la fonction Y (t) pui en la dérivant par rapport au temp: log Y (t) =α log K(t)+(1 α)logl(t) 4

5 Enuite on dérive le tout par rapport au temp, en e rappelant que [ln x(t)] t = ẋ(t) x(t) encore une fonction compoée). (ln x(t) et [log Y (t)] t = α [log K(t)] t +(1 α)[logl(t)] t Ẏ (t) Y (t) = αk (t) L(t) +(1 α) K(t) L(t) Réolution d équation différentielle linéaire Un ca imple Une équation différentielle et une équation qui contient de dérivée de variable. exemple: a 1 ẏ(t)+a 2 y(t)+x(t) = Quand x(t) =on dit que l équation et homogène. On va conidérer le ca: Par ẏ(t)+ay(t) = On multiplie d abord le tout par e at,onobtient: e at ẏ(t) = e at ay(t) On intègre enuite le deux membre entre et t : e a ẏ()d = e a ay()d e a (ẏ()+ay()) d = (4) Le terme e at et appelé facteur d intégration. Nou multiplion par le facteur d intégration parce que le terme qui et à l intérieur de l intégrale devient la dérivée par rapport au temp de e at y(t) 1 : e at y(t) t = eat (ẏ(t)+ay(t)) Puique nou connaion la primitive du terme de l intégrale 2, (4) implique: e at y(t) y() = et donc (car 1 e at = e at ) y(t) =e at y() 1 En réalité, la primitive de e at (ẏ(t)+ay(t)) n et pa unique. Si l on voulait être plu rigoureux, on aurait e at y(t)+b t = eat (ẏ(t)+ay(t)) avec b une contante arbitraire. 2 On rappelle que la primitive d une fonction dérivée f (.) et cette fonction f(.). D où, par exemple, R b a f (x)dx =[f(x)] b a = f(b) f(a). 5

6 Application On va réoudre la quetion 3) de l exercice 2 du TD 3. Je vou propoe de vou aider du corrigé (n héitez pa à me poer de quetion i vou avez de difficulté) pour montrer que: v(t) =(1 α) (1 α)(δ + γ + n)v(t) (5) La variable v(t) =k(t) 1 α et une tranformation de la variable k(t) et nou permet d étudier plu aiément la dynamique de cette dernière. Avec k(t), l équation n était pa linéaire, ce qui et toujour plu délicat à manier. On remarque que lorque v(t) et à on équilibre tationnaire, k(t) l et aui. (5) et une équation différentielle du type ẏ(t)+ay(t)+b =. Comme précédemment on multiplie tout par le facteur d intégration. Par rapport, au ca imple préenté ci-deu on a: Enuite on intégre entre et t: e (1 α)(δ+γ+n)x v(x)dx =(1 α) a = (1 α)(δ + γ + n) et donc e at = e (1 α)(δ+γ+n)t e (1 α)(δ+γ+n)x dx (1 α)(δ+γ+n) e (1 α)(δ+γ+n)x v(x)dx On remarque h e (1 α)(δ+γ+n)t i v(t) = t e(1 α)(δ+γ+n)t v(t)+(1 α)(δ + γ + n)e (1 α)(δ+γ+n)t v(t) On a donc: h i t e (1 α)(δ+γ+n)x v(x) =(1 α) e (1 α)(δ+γ+n)x dx t e (1 α)(δ+γ+n)t 1 v(t) v() = (1 α) (1 α)(δ + γ + n) e(1 α)(δ+γ+n)x e (1 α)(δ+γ+n)t v(t) =v() + (δ + γ + n) e(1 α)(δ+γ+n)t (δ + γ + n) µ v(t) = (δ + γ + n) + v() e (1 α)(δ+γ+n)t (6) (δ + γ + n) Or vou aurez préalablement montré que la valeur de v à l équilibre tationnaire, v, et Donc (6) peut e réécrire: (δ+γ+n). v(t) = v +(v() v)e (1 α)(δ+γ+n)t (7) L ouvrage de Barro et Sala-i-Martin ur la croiance donne, en annexe, une trè bonne introduction à la réolution de équation différentielle, aux diagramme de phae et plu largement à l analye de ytème dynamique utilié en croiance. Selon la terminologie de Barro et Sala-i-Martin [1995], la vitee de convergence de v(t) ver v et égale à (1 α)(δ + γ + n)t =(1 α)(δ + γ + n)t. La convergence et d autant plu rapide que α, la part du capital dan la production, et faible et que (δ + γ + n) et élevé. La vitee ne 6

7 dépend ni de la valeur initiale v() ni de celle du taux d épargne. La durée (en année ) du procee de convergence pour que v, partant d une valeur initiale v() quelconque, ait comblé x% de la ditance entre v() et la valeur d équilibre de long terme v, ett telle que: v v(t )=(1 x%)( v v()) (8) L équation (7) nou permet d avoir l expreion de v(t ) v (= (v() v)e (1 α)(δ+γ+n)t ).En utiliant cette expreion et l équation (8) on obtient: ln( v v(t )) = ln(1 x%) + ln( v v()) ln( v v()) + ln e (1 α)(δ+γ+n)t =ln(1 x%) + ln( v v()) (1 α)(δ + γ + n)t =ln(1 x%) 1 T = ln(1 x%) (1 α)(δ + γ + n) 7

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