TSTI2D Le corrigé. DEVOIR EN TEMPS LIBRE N II : Dérivées, fonctions, équation. Exercice II 1

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1 DEVOIR EN TEMPS LIBRE N II : Dérivées, fonctions, équation TSTID Le corrigé Eercice II Soit f la fonction définie pour tout réel par f ()= On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (). On a sans peine : f ()= = ( ) b) Étudier le signe de f (). f () est un trinôme du second degré qui a pour racines 0 et ; il a donc le signe de a= à l etérieur des racines et celui 0 + de a à l intérieur. c) Tableau de variations : f () Variations de f 0 +. Montrer que l équation f ()=0 admet une solution unique α. À l aide de la calculatrice, déterminer la valeur de α arrondie au centième près. Sur ] ;0] : D après l étude des variations précédente,sur ] ; 0] ; f présente un maimum en 0 qui vaut f (0) = 0, ce maimum est négatif, donc pour tout réel de ] ;0] on a f ()<0, donc l équation f ()=0 n a pas de solution sur ] ;0]. Sur ]0;+ [ : 6 α 7 f () + Variations de f f est dérivable sur [6;7] Pour tout [6;7], on a f ()>0. 0 est compris entre f (6)= 0 et f (7)=9 ; donc l équation f ()=0 a une racine unique α dans [6;7]. Encadrer α à 0 près. A laide d une calculatrice, on obtient f (6,5) 0, et f (6,6) 0,9 Donc 6,5<α<6,6

2 Eercice II Soit f la fonction définie surrpar f ()= +. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan.. Soit D la droite d équation y =.Etudier la position relative de la droite D par rapport à la courbe C f. On étudie le signe de y C f y D = f () ( )= + ( )= + Le carré d un réel étant toujours positif, on déduit que pour tout réel on a 0, puis + >0, alors comme -<0, on déduit + < 0. Donc pour tout réel on a y C f y D < 0 ; ce qui prouve :. On note f la dérivée de la fonction f, calculer f (). La courbe C f est située en dessous de D surr. f ()=, on a donc f = u+ v où u()= et v()= + + = + On a donc u ()= et v ()= ( + ) = 6 ( + ) On a utilisé la formule de dérivation On a donc f = u + v Et donc f ()= + 6 ( + ) = ( + ) ( + ) + ( a ) = a a. 6 ( + ) = + 6 ( + ). f ()== ( + ) ( + ). Etudier son signe. Pour tout réel on a ( + ) > 0 et >0 ; donc f () a le signe de +. Avec une calculatrice graphique ou un logiciel de tracé de géométrie dynamique, on conjecture que f ()<0 surr Sur ] ;0[ ; on a < 0 donc < 0 de la même façon on a <0, comme la somme de deu réels négatifs est un réel négatif, on a prouvé : Pour tout < 0; f ()<0. Sur [;+ [, on a : En ajoutant membre à membre ces inégalités de même sens on obtient si alors + Soit + 0 puis en ajoutant - : + <0, et donc on a prouvé : Pour tout ; f ()<0. Sur [0;], un tracé à l aide d une calculatrice ou un logiciel permet de voir que : Dresser le tableau de variation de la fonction f. Pour tout [0;]; f ()<0. + f ()

3 y D : y = Un tracé non demandé : C f - Eercice II - On définit la fonction f sur [0;+ [ par :f ()= + +. a) Etudier le sens de variation de f sur [0;+ [. f est dérivable sur [0;+ [ et f ()= (+ ) -6 Or si 0 on a 0; 0; 0 et >0 ;donc par somme >>0, le dénominateur est le carré d un réel non nul donc est strictement positif ; ainsi f ()>0 sur [0;+ [, ce qui prouve que f est strictement croissante sur [0;+ [. b) Calculer f () et f (). f ()= et f ()= 5 Quelle conjecture peut-on formuler sur la (ou les) solution(s) de l équation f () = 0 sur l intervalle [0; + [? Sur [;] : f est dérivable sur [;] Pour tout [;], on a f ()>0. 0 est compris entre f ()= et f (7)= 5 ; donc l équation f () = 0 a une racine unique α dans [; ]. Sur [0;] : Si 0 alors f (0) f () f () car f est strictement croissante sur [0;+ [ soit f () < 0 Ainsi f est strictement négative sur [0; ], et l équation f () = 0 n a pas de solution sur [0; ]. Sur [;+ [ : Si alors f () f () car f est strictement croissante sur [0;+ [ soit f () 5 > 0 Ainsi f est strictement positive sur [0; ], et l équation f () = 0 n a pas de solution sur [; + [.. On considère l algorithme suivant : L équation f ()=0 a une racine unique α dans [0;+ [ ; et de plus < α<.

4 Entrée : Introduire un nombre entier naturel n Initialisation : Affecter à a la valeur Affecter à b la valeur Traitement : Tant que b a> 0 n Affecter à m la valeur a+ b Affecter à p le produit f (a) f (m) Si p> 0, affecter à a la valeur m Sinon affecter à b la valeur m fin du si fin tant que Sortie : Afficher a Afficher b Fin de l algorithme On a fait fonctionner cet algorithme pour n=. Compléter le tableau donnant les différentes étapes. m ( valeur eacte) p arrondi à 0 près a (valeur eacte) b (valeur eacte) b a (valeur eacte) Initialisation Etape 0.5 Etape Etape Etape a) Epliquer ce que fait l algorithme précédent. Cet algorithme permet d encadrer l unique solution de l équation f () = 0par dichotomie. Quelle influence le nombre entier n, introduit au début de l algorithme, a-t-il sur les nombres a et b obtenus? Le nombre entier n permet de demander à l utilisateur la précision de l encadrement souhaité ou de l approimation souhaité, ici 0 n. b) (Travail non évaluable) On note α la solution de l équation f () = 0 sur l intervalle [; ] Programmer l algorithme précédent à l aide d un logiciel ou d une calculatrice afin d obtenir un encadrement de α d amplitude 0. Sous XCAS : dichotomie(n):= {local a,b,m,p; a:=; b:=; while ( b a>0^( n)) {m:=(a+b)/; p:=f(a)*f(m); if p > 0 then a:=m; else b:=m; end_if; } return evalf(a,n);}; Son utilisation : dichotomie(); renvoie : Remarque :,56

5 fsolve(f()=0,=..,bissection); renvoie :