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1 TD AUTOMATIQUE V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 1

2 TRANSFORMATION DE LAPLACE Exercice 1 Calculer, à partir de sa définition, la transformée de Laplace des signaux causaux (nuls pour t<0) suivants : Echelon unitaire u(t) Rampe de pente R e -at u(t) Exercice 2 Soit un signal f(t) ayant pour transformée de Laplace F(p). 1 / Montrer qu un signal g(t) = - t f(t) a pour transformée de Laplace G(p) = df(p) /dp 2 / Montrer qu un signal h(t) = k f(kt) a pour transformée de Laplace H(p) = F(p/k) Exercice 3 Exprimer la transformée de Laplace des signaux suivants : x(t) = sin ωt u(t) y(t) = sin (ωt + φ) u(t) z(t) = e -at cos ωt u(t) Exercice 4 Exprimer la transformée de Laplace d une sinusoïde redressée. Exercice 5 Un signal transitoire f(t) d énergie finie a pour transformée de Laplace F(p). Le signal g(t) est obtenu par la périodisation de f(t) de sorte qu il soit constitué de N motifs f(t). Exprimer la transformée de Laplace G(p) de g(t). Exprimer G(p) si N tend vers l infinie. Exercice 6 Soit un système de fonction de transfert F(p) = A / (p+a) où A et a sont des réels. Exprimer la réponse impulsionnelle du système (Cf table de transformées de Laplace) et discuter la stabilité du système en fonction de a. Rappel : Un système est stable si écarté de sa position d équilibre (par l action d une impulsion) il y retourne spontanément. V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 2

3 Exercice 7 F(p) = 2 / (p+3) + 5 / (p+5) Le système est-il stable? Exprimer la réponse impulsionnelle. Représenter son allure. Exercice 8 F(p) = 5 / (p+3)(p+4) Décomposer F(p) en éléments simples. Exprimer la réponse impulsionnelle. Représenter son allure. Le système est-il stable? Exercice 9 F(p) = 10/( p) Exprimer la réponse impulsionnelle en boucle ouverte. Le système est-il stable? Exprimer la réponse indicielle en boucle ouverte. Exprimer la FTBF. Exprimer la réponse impulsionnelle en boucle fermée. Le système est-il stable en boucle fermée? Exprimer la réponse indicielle en boucle fermée. Exercice 10 Soit un système ayant pour fonction de transfert F(p) = (5p+2) / (p 2 + p + 1). Exprimer la réponse impulsionnelle. Discuter de la stabilité du système. Exercice 11 Soit un signal ayant pour transformée de Laplace S(p) = (3p+2) / [ (p 2 + 8p + 16)(p+3) ]. Exprimer s(t). V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 3

4 Exercice 12 F(p) = k / p (1 + τ p) 1 / Exprimer la réponse indicielle en boucle ouverte. 2 / Exprimer la FTBF. Déterminer la pulsation propre et le coefficient d amortissement en boucle fermée. 3 / Exprimer la réponse indicielle en boucle fermée sachant que k = 10 et τ = 0.1 s Exercice 13 Soit un système décrit par sa fonction de transfert F(p) = 1 / [ 1 + 2mτp + τ 2 p 2 ] En utilisant la décomposition en élément simple, exprimer la réponse impulsionnelle du système dans différents cas fonctions du coefficient d amortissement. Exercice 14 Soit un système décrit par sa fonction de transfert F(p) = 1/ [ (p+1) 3 (p-1) p ]. Exprimer la réponse impulsionnelle. V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 4

5 REPRESENTATION DES FONCTIONS DE TRANSFERT Exercice 15 Soit T(p) = 1 / [1 + 10p] [ p] la FTBO d un système. Représenter les diagrammes de Bode de cette FT. En déduire l allure du diagramme de Black. Le système est-il stable en boucle fermée? Exercice 16 Soit T(p) = k / [1 + 10p] [ p] [ p] la FTBO d un système. Représenter les diagrammes de Bode de cette FT. En déduire l allure du diagramme de Black. Déterminer la pulsation pour laquelle arg(t) = -180 Discuter la stabilité du système en boucle fermée en fonction de k? Déterminer la pulsation pour laquelle arg(t) = -135 Exercice 17 Soit T(p) = k / p [ p] [ p] la FTBO d un système. Représenter les diagrammes de Bode de cette FT. En déduire l allure du diagramme de Black. Déterminer la pulsation pour laquelle arg(t) = -180, discuter la stabilité du système en boucle fermée en fonction de k, déterminer la pulsation pour laquelle arg(t) = -135 Exercice 18 Soit C(p) = k (1 + aτp) / (1 + τp) la FT d un correcteur. (avec a >1) Tracer les diagrammes de Bode de ce correcteur pour a = 10 et k = 1 Même chose pour C(p) = k (1 + τp) / (1 + aτp) Exercice 19 Soit T(p) = k / p [ p] [ p] la FTBO d un système. Etudier la stabilité du système en boucle fermée à l aide du critère de Routh. V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 5

6 Exercice 20 Soit C(p) = k ( 1 + 1/τ i p + τ d p ) Ecrire la fonction de transfert sous une forme permettant de tracer facilement ses diagrammes de Bode. Tracer les diagrammes de Bode pour τ i = 4 τ d. Exercice 21 Soit une FTBO : T(p) = k / [ (1 + τp) 2 (1 + nτp) ] avec n > 0 En utilisant le critère de Routh, déterminer la plage des valeurs de k assurant la stabilité du système en boucle fermée quel que soit n. Pour k > 8, quelle est pour n faible, la valeur maximum de n assurant la stabilité en boucle fermée Exercice 22 On considère le système suivant : consigne E(p) ε(p) Ampli : A Process F(p) S(p) On donne : F(p) = 0,05 / [ p 2 + 0,15 p + 0,005 ] 1 / Pour A = 1, exprimer la réponse impulsionnelle en boucle ouverte. Le système est-il stable, justifier. 2 / Pour A = 1, exprimer la réponse indicielle en boucle ouverte (entrée échelon) 3 / Exprimer la FTBF en fonction de A 4 / Exprimer la réponse impulsionnelle en boucle fermée pour A = 20. (arrondir le discriminant à l entier le plus proche). Comparer au 1 / 5 / Dessiner l allure des diagrammes de Bode (diagrammes asymptotiques) pour A = 20. Le système, au vu de ces diagrammes, sera t-il stable en boucle fermée (justifier)? Rappels : tl ( échelon) = 1/p tl(impulsion) = 1 tl(e a t ) = 1 / (p+a) sin ϕ = [ e jϕ - e -jϕ ] / (2j) V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 6

7 Exercice 23 On considère un système dont la fonction de transfert est : F(p) = [ 12 p 2 + 4,3 p + 0,05 ] / [ p ( p 2 + 0,55 p + 0,025 ) ] Exprimer la réponse impulsionnelle de ce système. Les détails des calculs sont exigés. Le système est-il stable? justifier. Exercice 24 consigne e(t) ε(t) Ampli : A Process F(p) On donne F(p) = 1 / [ p ( 1+0,2 p ) (1 + 0,002 p ) ] Représenter les diagrammes de Bode asymptotique (gain et phase) Déterminer graphiquement la pulsation pour laquelle arg(f(p)) = -180 Déterminer la condition de stabilité sur A par le calcul. Exercice 25 consigne e(t) ε(t) Ampli : A Process F(p) On donne F(p) = 1 / [ p ( 1+0,2 p ) ] Exprimer la FTBF En déduire les paramètres de la FTBF. V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 7

8 MOTEUR A COURANT CONTINU Exercice 26 : MOTEUR A COURANT CONTINU, COMMANDE DE VITESSE PAR L INDUCTEUR V j r l J f Ω I U cste La vitesse de rotation du moteur est réglable par action sur V, la tension d alimentation de l inducteur. Exprimer la fonction de transfert Ω(p) / V(p). Exprimer la fonction de transfert θ(p)/v(p). Exercice 27 : MOTEUR A COURANT CONTINU, COMMANDE DE VITESSE PAR L INDUIT V cste j r l J f Ω I U La vitesse de rotation du moteur est réglable par action sur U, la tension d alimentation de l induit. Exprimer la fonction de transfert Ω(p) / U(p). Exprimer la fonction de transfert θ(p)/u(p). Rappel des équations du moteur : Inducteur : V = rj + l dj/dt Induit : U = R I + L di/dt + E Fem : E = k k j Ω Mécanique : EI/Ω - Cp = J dω/dt V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 8

9 Exercice 28 : LE REDUCTEUR DE VITESSE A VIDE Ω 1 R1 Ω 2 R2 1 / Exprimer la fonction de transfert Ω 2 (p) / Ω 1 (p). 2 / C 1 est le couple moteur disponible sur l axe 1. C 2 est celui disponible sur l axe 2. Exprimer la fonction de transfert C 2 (p)/c 1 (p) à vide. Exercice 29 : LE REDUCTEUR DE VITESSE EN CHARGE Couple moteur : C 1 f 1 J 1 Ω 1 Couple Résistant : C r1 J 2 f 2 Couple moteur : C 2 Ω 2 1 / Donner la relation entre C 2, couple moteur disponible sur l axe 2 et le couple résistant (par rapport à l axe 1) opposé par l axe 2 sur l axe 1. 2 / Ecrire l équation mécanique relative à l axe 2 3 / Ecrire l équation mécanique relative à l axe 1 4 / En déduire la fonction de transfert C 1 (p)/ω 1 (p) Exercice 30 : MOTEUR A COURANT CONTINU AVEC REDUCTEUR Exprimer la fonction de transfert Ω 1 (p)/u(p) puis Ω 2 (p)/u(p). j V cste r l f 1 J 1 Ω 1 Couple Résistant : C r1 I U Couple moteur : C 2 Ω 2 J 2 f 2 V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 9

10 EXAMEN PARTIEL D AUTOMATIQUE n 2 (04/05) Durée 1h30 Sorties interdites Tous documents et calculatrices perso sont interdits Téléphones portables interdits Veuillez soigner la présentation. Tout contrôle continu est soumis au règlement des examens de l université. Toute tentative de fraude ou fraude avérée, sous quelque forme que ce soit, met immédiatement fin à l examen, est immédiatement sanctionnée par la note zéro et est passible du conseil de discipline de l université. CORRECTEUR D ASSIETTE DE VEHICULE ( d après sujet d examen) I 1 ère partie : Modélisation d un ressort de suspension air F S M, V x H H 0 Un ressort de suspension automobile est constitué d un piston de section S permettant de comprimer une masse M d air dans un cylindre. L air contenu dans le cylindre est assimilé à un gaz parfait. La pression P à l intérieur du cylindre de volume V, à une température donnée obéit à l équation : P V = b 0 M avec b 0 = 84 N.m.g -1 I.1 Exprimer la force F exercée par l air emprisonné dans le cylindre sur la face inférieure du piston, en fonction de H et M. I.2 La hauteur du piston varie autour d une position d équilibre H 0 : H = H 0 + x. De même, la masse d air emprisonné est variable autour d une valeur moyenne M 0 car l amortisseur possède un système d échappement d air contrôlé par une électrovanne : M = M 0 + m. On rappelle que qu une fonction F(M,X) admet comme développement limité au 1 er ordre : F(M,X) = F(M 0,X 0 ) + (M M 0 ) ( F/ M) M=M0 et H=H0 + (H H 0 ) ( F/ H) M=M0 et H=H0 F/ M et F/ H sont les dérivées partielles de F par rapport à M et à H. a) Montrer que l on peut écrire F sous la forme F 0 + b 1 m b 2 x b) Calculer les valeurs numériques de F 0, b 1 et b 2 pour M 0 = 14,3 g, H 0 = 25 cm et b 0 = 84 N.m.g -1 V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 10

11 II 2 ème partie : Système Modélisation de la suspension air F M v M, V x H H 0 f La suspension est constituée du ressort précédent et d un amortisseur introduisant un frottement visqueux s opposant au mouvement matérialisé par une force f = -ρ.dx/dt dans laquelle dx/dt est la vitesse du piston. La masse M v représente la fraction de la masse totale du véhicule rapportée à une roue, elle engendre une force M v g agissant sur le piston. On remarque que la pression atmosphérique P a engendre une force F a agissant sur la face supérieure du piston du ressort. II.1 Ecrire, en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, l équation différentielle régissant la position x(t) du piston en fonction de la masse d air m(t). II.2 Mv = 200 kg, P a = 10 5 Nm -2, g = 10 ms -2, S = 2, m 2 et ρ = Nsm - 1 Calculer la valeur de x au repos c est à dire quand d 2 x/dt 2 = dx/dt = m = 0. On constate que x << H 0. Dans la suite, on considère donc que x=0 au repos. II.3 En déduire que l équation différentielle reliant x(t) et m(t) s écrit : d 2 x/dt dx/dt + 96 x = 1,68 m II.4 Déduire de l équation différentielle la fonction de transfert de la suspension X(p)/M(p) dans laquelle X(p) = tl ( x(t) ) et M(p) = tl ( m(t) ) II. 5 - Déterminer les deux constantes de temps de la suspension. Déterminer en justifiant votre réponse une fonction de transfert équivalente du 1 er ordre. III 3 ème partie : ASSERVISSEMENT Un électrovanne proportionnelle permet de régler le débit massique D(t) d air en gs -1 entrant ou sortant dans le cylindre du ressort. (La masse d air dans le cylindre est toujours exprimée en grammes). Un capteur de position délivre une tension s(t) de mesure de la position x(t) du piston. La tension s(t) est comparée à une consigne e(t) pour élaborer la tension de commande ε(t) de l électrovanne. La FT du capteur est S(p)/X(p) = 1. La FT de l électrovanne est D(p)/ε(p) = k La FT de la suspension est X(p)/m(p) = 0,0175 / (1 + p/3) V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 11

12 M v Electrovanne proportionnelle Reserve gaz air D(t) m(t) x(t) Capteur de niveau : mesure de x Consigne e(t) ε(t) III.1 Quelle est la relation instantanée liant d(t) et m(t)? En déduire la FT : m(p)/d(p). III.2 Représenter le schéma bloc de l asservissement avec les FT de chaque bloc. III.3 Exprimer la FTBO. III.4 Exprimer la FTBF sous forme normalisée du second ordre (Cf annexe 1). Exprimer le coefficient d amortissement z et la constante de temps propre en boucle fermée. Calculer k pour que z = 0,5. IV 4 ème partie : Correction du système ε (p) E(p) k 0,0175 / [p (1 + p/3)] S(p) IV.1 Représenter l allure des diagrammes de Bode de la FTBO IV.2 Déterminer la pulsation pour laquelle ϕ = -135 IV.3 Déterminer k pour avoir une marge de phase de 45 IV.4 Erreurs statiques (Cf annexe 2). On garde la valeur de k calculée. Déterminer l erreur statique pour une entrée échelon unitaire. Déterminer l erreur statique de traînage pour une entrée rampe de pente unitaire. Quel type de correcteur faudrait-il utiliser pour annuler l erreur statique de traînage? (justifier). V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 12

13 ANNEXE 1 : FORME NORMALISEE FT DU 2 ème ORDRE F(p) = A / [ z τ p + τ 2 p 2 ] avec z : coef. d amort. et τ cste de temps propre ANNEXE 2 : ERREURS STATIQUES T(p) = X(p) / p α α représente le nombre d intégration du système appelé classe du système. Classe 0 Classe 1 Classe 2 Classe 3 Echelon A Erreur de position A / [ 1+T(0) ] Entrée rampe Rt Erreur de vitesse R / X(0) 0 0 Entrée parabolique Ct 2 Erreur d accélération C / X(0) 0 V. Chollet - TD-autom-07.doc - 12/01/2009 page 13