Correction du devoir surveillé n 6. Problème I Puissances de matrices et applications aux probabilités

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1 LEGTA Le Chesnoy TB 00-0 D Blottière Mathématiques Correction du devoir surveillé n 6 Problème I Puissances de matrices et alications aux robabilités Dans ce roblème, désigne un nombre réel strictement comris entre 0 et, différent de Partie A : Puissances d une matrice déendant d un aramètre Soit M la matrice carrée d ordre à coefficients réels définie ar : M Réduction de la matrice M a Déterminer les valeurs rores de M 0 Afin d alléger l écriture, nous noterons r b Montrer que les vecteurs, et, sont des vecteurs rores de M et forment une base de R c Notons P la matrice carrée d ordre à coefficients réels définie ar : P Montrer que P est inversible et calculer P d Calculer la matrice P MP, notée D dans la suite Calcul des uissances successives de M a Montrer, à l aide d un raisonnement ar récurrence, que our tout entier naturel n : M n P D n P b Calculer our tout entier naturel n, la matrice D n c En déduire que our tout entier naturel n : M n r n+ r n r n r n r Correction a On sait que λ R est valeur rore de M si et seulement si detm λi 0 On calcule : λ detm λi det λ λ λ λ λ Les valeurs rores de M sont donc les racines du olynôme Q X X On remarque que Q 0 Le nombre est donc racine de Q Or le roduit des racines de Q est le coefficient devant X dans Q est et cf lien entre coefficients et racines d un olynôme du second degré L autre racine de Q est donc On en déduit que les valeurs rores de M sont et r r

2 b Le vecteur,, qui est non nul, est vecteur rore de M si et seulement si les vecteurs et M sont colinéaires Ici, on a M et donc est vecteur rore de M associé à la valeur rore Le vecteur,, qui est non nul, est vecteur rore de M si et seulement si les vecteurs et M + sont colinéaires On étudie l existence éventuelle d un réel λ tel que : + λ λ λ On introduit our cela le système linéaire : La ligne L force λ à être égal à λ λ + On vérifie que si λ, alors L est satisfaite : + On en déduit que λ r est solution du récédent système Par suite, on a M r Donc est vecteur rore de M associé à la valeur rore r Remarque : Pour étudier la colinéarité des vecteurs M et système On aurait aussi u effectuer un calcul de déterminant La méthode système, on a résolu un donne une information sulémentaire : un coefficient de roortionalité qui s interrète comme la valeur rore à laquelle le vecteur rore est associé D arès le cours, la famille C, formée de deux vecteurs de R, esace vectoriel de dimension, est libre si et seulement si le déterminant de la matrice des coordonnées de C dans la base canonique de R est non nul, ie si et seulement si : det 0 On calcule : det Comme, det 0 et donc C, est une base de R c On remarque que la matrice P est la matrice des coordonnées de la famille C, dans la base canonique de R On vient de calculer son déterminant Il vaut 0 Par suite P est inversible Calcul de l inverse de P L L L

3 0 0 L L oération licite car L L L On a donc : P + On vérifie que l on a bien P I d On note B la base canonique de R La matrice P est la matrice de assage de la base B dans la base C, ie P P B,C On en déduit que la matrice P est la matrice de assage de la base C dans la base B, ie P P C,B On note f l endomorhisme de R canoniquement associé à la matrice M, ie tel que M Matf, B D arès la formule de changement de base, on a : et donc : Matf, C P C,B Matf, B P C,B Matf, C P M P D arès les calculs effectués en b, on a : f et f M r De et, on déduit que : D P M P 0 0 r Remarque : Pour déterminer le roduit matriciel P M P, nous avons aliqué la formule du changement de base, ce qui nous a évité d effectuer un calcul matriciel coûteux en tems et otentiellement source d erreurs Mais il est aussi ossible de réondre à cette question ar un calcul matriciel a De l égalité D P M P, on déduit que P D MP multilication de chacun des membres de l égalité ar P à gauche, uis P DP M multilication de chacun des membres de la récédente égalité ar P à droite 3 Pour tout n N, on note P n la roriété M n P D n P Montrons que P n est vraie our tout n N, ar récurrence Initialisation La roriété P 0 s écrit M 0 P D 0 P Comme M 0 D 0 I et P P I, P 0 se réécrit I I Cette roriété est donc vraie Hérédité On suose P n vraie our un entier n N fixé, ie : Montrons que P n+ est vraie, ie que : M n+ P D n+ P M n P D n P 4 M n+ M n M P D n P P DP d arès 3 et 4 P D n DP P P I P D n+ P 3

4 Conclusion De l initialisation à n 0, de l hérédité et de l axiome de récurrence, on déduit que our tout entier naturel n, M n P D n P b Soit n N La matrice D étant diagonale, our calculer sa uissance n-ième, il suffit d élever chacun des ses coefficients diagonaux à la uissance non a donc : D n 0 0 r n c Soit n N Des questions c, a et b, on déduit que : M n P D n P 0 0 r n 0 0 r n On calcule ce dernier roduit matriciel our trouver que : M n rn+ r n r n r n r Partie B : Calcul des termes successifs d une suite récurrente sur deux termes On désigne ar u n n N la suite numérique définie ar ses deux remiers termes u 0, u et la relation de récurrence : n N, u n+ u n+ + u n Pour tout entier naturel n, on ose : X n un+ u n a Montrer que our tout entier naturel n : X n+ MX n b Montrer que our tout entier naturel n : X n M n X 0 En utilisant la artie A, exrimer our tout entier naturel n, u n en fonction de n,, r, u 0 et u Correction a Soit n N MX n 0 u n+ + un+ u n+ u n+ un+ u n u n X n+ b Pour tout n N, on note P n la roriété X n M n X 0 Montrons que P n est vraie our tout n N, ar récurrence 4

5 Initialisation La roriété P 0 s écrit X 0 M 0 X 0 Comme M 0 I, P 0 se réécrit X 0 X 0 Cette roriété est donc vraie Hérédité On suose P n vraie our un entier n N fixé, ie : Montrons que P n+ est vraie, ie que : X n+ M n+ X 0 X n M n X 0 5 Conclusion X n+ MX n d arès a M M n X 0 d arès 5 M n+ X 0 De l initialisation à n 0, de l hérédité et de l axiome de récurrence, on déduit que our tout entier naturel n, X n M n X 0 Notons que X 0 u u 0 Soit n N D arès la question b et la question A c, on a : X n M n X 0 r n+ r n r n r n r u u 0 On calcule ce dernier roduit matriciel our obtenir : un+ X u n r n+ u + r n u 0 n r n u + r n ru 0 Par suite, on a : u n rn u + r n ru 0 Partie C : Probabilités Un joueur souhaite acheter une voiture de luxe au-dessus de ses moyens et our cela il se rend au casino Le rix de la voiture corresond à N jetons N N et le joueur reçoit une mise initiale de n jetons 0 n N Le crouier effectue alors une suite de lancers indéendants avec une ièce truquée La robabilité que PILE aaraisse est égale à Lorsque le résultat est PILE, le joueur reçoit un jeton, dans le cas contraire, il erd un jeton Le jeu se termine soit ar la ruine du joueur, dès qu il n a lus de jeton il n y a donc aucun lancer si n 0, soit ar sa victoire, dès qu il a obtenu N jetons On notera α n la robabilité que le joueur soit ruiné avec une mise initiale de n Calculer α 0 et α N On suose ici : n 0, N En considérant le résultat du remier lancer de la ièce, justifier la relation : α n+ α n+ + α n 3 En déduire our tout n 0, N, l exression de α n en fonction de n,, r et α 4 À l aide de α N, calculer la valeur de α 5 En déduire our tout n 0, N, l exression de α n en fonction de n,, r et N Correction 5

6 Si n 0, alors le joueur n a aucun jeton au début du jeu et aucun lancer n est effectué Il est donc ruiné dès le début du jeu On a ainsi α 0 Si n N, alors le joueur a gagné dès le début du jeu et aucun lancer n est effectué Il ne eut donc as être ruiné On a donc α N 0 Soit n 0, N On note L P l événement PILE aaraît lors du remier lancer et our tout n N on note R n l événement le joueur est ruiné avec une mise initiale de n On a donc α n P R n D arès la formule des robabilités totales, aliquée relativement au système comlet d événements L P, L P, on a : P R n+ P R n+ /L P P L P + P R n+ /L P P L P 6 {{{{ Si le joueur ossède n + jetons au déart et si PILE est aaru au remier lancer, alors le joueur disose de n + jetons arès le remier lancer Sa robabilité d être ruiné est alors la même que s il avait eu dès le déart n + jetons On a ainsi : P R n+ /L P P R n+ 7 Si le joueur ossède n + jetons au déart et si PILE n est as aaru au remier lancer, alors le joueur disose de n jetons arès le remier lancer Sa robabilité d être ruiné est alors la même que s il avait eu dès le déart n jetons On a ainsi : De 6, 7 et 8, on déduit que : P R n+ /L P P R n 8 P R n+ P R n+ + P R n ie α n+ α n+ + α n 3 Soit n 0, N D arès la question récédente on a : et donc : α n+ α n+ + α n α n+ α n+ + α n Les N + termes α 0, α,, α N sont les remiers termes d une suite u n n N dont les termes vérifient la relation de récurrence considérée dans la artie B du roblème On eut donc aliquer le résultat de la question B On obtient ainsi : n 0, N α n r n α + r n r α 0 {{ rn α + r n r 4 On sait que α N 0 D arès la question récédente, on a : On en déduit que : α {{ N r N α + r N r 0 α rn r r N rn r r N 5 Des questions 3 et 4 on déduit que : n 0, N α n rn α + r n r r n rn r r N + rn r 6

7 Problème II Une racine cubique de matrice Soit A la matrice de M 3 R définie ar : A Déterminer les valeurs rores de A La matrice A est-elle diagonalisable? 3 Donner une base de chacun des sous-esaces rores de A 4 Donner une matrice P M 3 R inversible et une matrice D M 3 R diagonale telles que : A P DP 5 Calculer P 6 Donner une matrice diagonale M 3 R telle que 3 D 7 En déduire une matrice B M 3 R telle que : B 3 A On donnera exlicitement les coefficients de la matrice B Correction On sait que λ R est valeur rore de A si et seulement si deta λi 3 0 On calcule : 3 λ deta λi 3 det 0 8 λ λ 3 λ + 8 λ det 4 3 λ 8 λ 3 λ 3 λ 4 8 λ λ 8 λλ λ + Les valeurs rores de A sont donc, et 8 déveloement suivant la ème ligne La matrice A est une matrice carrée d ordre 3 et ossède 3 valeurs rores distinctes La matrice A est donc diagonalisable et chacun des sous-esaces rores de A est de dimension 3 Base du sous-esace rore E associé à la valeur rore Le sous-esace vectoriel E est l ensemble des solutions de : x x A y y z z Pour déterminer une base de E, on résout le système : 3x + y + z x S : 8y y 4x + 4y + 3z z On a : S x + y + z 0 9y 0 4x + 4y + 4z 0 x + z 0 y 0 4x + 4z 0 Le système S est de rang On choisit : { x + z 0 y 0 L 3 L 7

8 nombre d inconnues {{ rang {{ 3 aramètre Ici on rend z L ensemble des solutions de S est donc : z E 0 : z R Vect 0 z Le vecteur u 0 forme donc une base de E Base du sous-esace rore E associé à la valeur rore Le sous-esace vectoriel E est l ensemble des solutions de : x x A y y z z Pour déterminer une base de E, on résout le système : 3x + y + z x S : 8y y 4x + 4y + 3z z On a : S 4x + y + z 0 7y 0 4x + 4y + z 0 4x + z 0 y 0 4x + z 0 Le système S est de rang On choisit : { 4x + z 0 y 0 L 3 L nombre d inconnues {{ 3 rang {{ aramètre Ici on rend x L ensemble des solutions de S est donc : x E 0 : x R Vect 0 x Le vecteur u 0 forme donc une base de E Base du sous-esace rore E 8 associé à la valeur rore 8 Le sous-esace vectoriel E 8 est l ensemble des solutions de : x x A y 8 y z z Pour déterminer une base de E 8, on résout le système : 3x + y + z 8x S 8 : 8y 8y équation vérifiée quelle que soit la valeur de y 4x + 4y + 3z 8z 8

9 On a : S 8 { x + y + z 0 4x + 4y 5z 0 L L 4L { x + y + z 0 63z 0 Le système S 8 est de rang On choisit : nombre d inconnues {{ 3 rang {{ aramètre Ici on rend y L ensemble des solutions de S 8 est donc : E 8 y y : y R Vect 0 0 Le vecteur u 8 forme donc une base de E On note B la base canonique de R 3 D arès le cours, la famille C u, u, u 8 formée de trois vecteurs de R 3, esace vectoriel de dimension 3, est libre si et seulement si le déterminant de la matrice des coordonnées de C dans B est non nul, ie si et seulement si : det On calcule : det det 0 déveloement suivant la deuxième ligne 0 La famille C u, u, u 8 est donc une base de R 3 On note f l endomorhisme de R 3 canoniquement associé à la matrice A, ie tel que A Matf, B D arès la formule de changement de base, on a : où P B,C Matid R 3, C, B est la matrice de assage de B à C Matf, B P B,C Matf, C P B,C 9 {{ A Comme u E, on a fu Au u On calcule de même fu u et fu 8 8u 8 Ainsi a-t-on : Matf, C Si on ose et P P B,C D Matf, C alors 9 se réécrit : A P DP matrice inversible matrice diagonale 9

10 5 On calcule P et on trouve : P Pour calculer la uissance n-ième d une matrice diagonale, il suffit d élever ses coefficients diagonaux à la uissance n n N D arès cette remarque, on a : {{ D Ainsi, en osant on a 3 D On remarque que : Ainsi, en osant on a B 3 A B P P P P 3 P P {{ P P {{ P P P 3 P P DP {{ I 3 I 3 A