DEVELOPPEMENTS LIMITES

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1 DEVELOPPEMENTS LIMITES 1 Définitions Voici quelques notions utiles pour étudier une fonction numérique au voisinage d un point et donc pour aborder les développements limités. 1.1 Voisinage d un point Définition 1 Soit a R, on appelle voisinage de a toute partie V R contenant un intervalle ouvert contenant a. Définition 2 Soit a R, on appelle voisinage à droite (resp. gauche) de a toute partie V R contenant un intervalle ouvert de la forme ]a, α[, a < α (resp.]α, a[, α < a), α R. Noter que dans cette définition a n appartient pas nécessairement au voisinage à droite ou à gauche. Définition 3 On appelle voisinage de + (resp. ) toute partie de R contenant un intervalle de la forme ]α, + [ (resp. ], α[), α R a. Notation : R désignera l ensemble R = R {+, } Pour a R on désignera par V a (resp. V + a, V a ) l ensemble des voisinages (resp. voisinage à droite, à gauche) de 1.2 Etude au voisinage de a R Définition 4 On dit qu une fonction numérique de la variable réelle à valeurs dans K (K désigne R ou C) est définie au voisinage d un point a R si et seulement si l ensemble de définition de la fonction contient un voisinage de a Définition 5 On dit qu une fonction numérique de la variable réelle à valeurs dans K est définie sur voisinage à droite (resp. à gauche) d un point a R si et seulement si l ensemble de définition de la fonction contient un voisinage à droite (resp. à gauche ) de a Pour une fonction numérique de la variable réelle f et a R on pose f a (h) = f(a+h). f est définie au voisinage de a si et seulement si f a est définie au voisinage de. Etudier f au voisinage de a est équivalent à étudier f a au voisinage de. Pour une fonction numérique de la variable réelle f et a = + (resp. a = ) on pose f a (h) = f( 1 h ). f est définie au voisinage de a si et seulement si f a est définie sur un voisinage à droite de (resp. à gauche de ). Etudier f au voisinage de a est équivalent à étudier f a sur un voisinage à droite de (resp. à gauche de ). Dans la suite les fonctions considérées seront des fonctions numériques de la variable réelle définies au voisinage de sauf peut-être en, le lecteur adaptera les définitions et les résultats pour une fonction définie sur un voisinage à droite ou à gauche de. 1.3 Comparaison des fonctions Domination Définition 6 Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de, on dit que f est dominée par g (on dit parfois que f est bornée devant g) au voisinage de si et seulement si il existe un voisinage V de et un réel M > tel que x V, f(x) M g(x) On note : f g (notation de Hardy), ou f = O(g) (notation de Landau) Définition 7 On dit qu une fonction f est bornée au voisinage de si et seulement si f = O(1), c est à dire qu il existe M > et un voisinage V de tel que x V, f(x) M Proposition 1 Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de, on suppose que g ne s annule pas au voisinage de, sauf peut-être en et si g() = alors f() =. f = O(g) si et seulement si f g voisinage de est une fonction bornée au LGT Baimbridge 1 C.Susset

2 1.3.2 Prépondérance Définition 8 Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de, on dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérante devant f au voisinage de si et seulement si pour tout ɛ > il existe un voisinage V de tel que x V, f(x) ɛ g(x). On note : f g (notation de Hardy), ou f = o(g) (notation de Landau) Définition 9 On dit qu une fonction f a pour limite en si et seulement si f = o(1), c est à dire que ɛ >, V V, x V, f(x) ɛ On note : lim f = ou lim f(x) = x Proposition 2 Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de, on suppose que g ne s annule pas au voisinage de, sauf peut-être en et si g() = alors f() =. On a l équivalence suivante : f f = o(g) si et seulement si lim g = Equivalence Définition 1 Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de, on dit que f est équivalente à g au voisinage de si et seulement si f g = o(g) On note : f g Proposition 3 On a : f g si et seulement si g f. Définition 11 On dit qu une fonction f a pour limite l, l R en si et seulement si f l, c est à dire que ɛ >, V V, x V, f(x) l ɛ On note : lim f = l ou lim f(x) = l x Proposition 4 Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de, on suppose que g ne s annule pas au voisinage de, sauf peut-être en et si g() = alors f() =. On a l équivalence suivante : f g si et seulement si f lim g = 1 2 Développements limités Les développements limités permettent de préciser le comportement d une fonction numérique au voisinage d un point. S il n y a pas d indication les fonctions considérées seront des fonctions numériques à valeurs dans K définies au voisinage de. 2.1 Définition Définition 12 La fonction f admet un développement limité d ordre n (n N) au voisinage de (on notera f admet un DL n ()) si et seulement si, il existe un polynôme P n de degré inférieur ou égal à n à coefficients dans K, P n (x) = a + a 1 x + + a n x n a k K, k {,, n} tel que au voisinage de, f(x) = P n (x) + o(x n ). Définition 13 la fonction f admet un développement limité d ordre n en, f(x) = P n (x) + o(x n ), le polynôme P n s appelle partie régulière du développement limité de f à l ordre n en, on dit aussi développement limité de f à l ordre n en. Remarque 1 Suivant le contexte l expression développement limité de f à l ordre n désigne aussi bien l égalité : f(x) = P n (x) + o(x n ) que le polynôme P n. Exemple 1 e it = 1 + it + o(t) est un DL 1 () LGT Baimbridge 2 C.Susset

3 Proposition 5 f admet un DL n () Celui-ci est unique c est à dire que le polynôme P n est unique. f admet un DL k (), k n, celui-ci est obtenu en prenant le reste de la division euclidienne du développement de f par X k+1 Définition 14 f admet un DL n (), f(x) = P n (x) + o(x n ) avec P n (x) = a p x p + + a n x n, p n, a p, p est la valuation de P n et a p x p est la partie principale du développement limité. Proposition 6 1. f admet un DL () si et seulement si lim f existe dans K, on a alors f(x) = lim f + o(1) 2. f admet un DL 1 () si et seulement si f est dérivable en, on a alors f(x) = f() + xf () + o(x) Remarque 2 1. On peut parler de DL() même si f() n existe pas du moment que f est définie au voisinage de sauf peut-être en on a alors : f admet un DL () si et seulement si f se prolonge par continuité en f admet un DL 1 () si et seulement si f se prolonge par continuité en et le prolongement est dérivable en. 2. Pour n 2, f peut admettre un DL n () sans que f (n) () existe. Exemple : f(x) = x 3 sin( 1 x ) admet un DL 2 () mais f (2) () n existe pas. 3 Propriétés 3.1 Fonctions de classe C n Formule de Taylor avec reste de Young Théorème 1 f est de classe C n au voisinage de n f admet un DL n () et f(x) = x k k! f k () + o(x n ). Remarque 3 f définie et de classe C n au voisinage de a admet un DL n (a) car g(h) = f(a + h) admet un DL n () n (x a) k et on a : f(x) = f k (a) + o((x a) n ) k! Remarque 4 En fait le théorème s applique avec des hypothèses plus faibles : Théorème 2 f (n 1) est définie au voisinage de et f n () existe n x k f admet un DL n () et f(x) = k! f k () + o(x n ). Remarque 5 On peut parfois alléger les calculs, c est à dire économiser un terme dans le développement en utilisant le théorème suivant : Théorème 3 f est de classe C n au voisinage de f admet un DL n 1 () et f(x) = n 1 x k k! f k () + O(x n ). On dit que f admet un développement limité d ordre n 1 au sens fort. Une fonction qui est un O(x n ) est un o(x n 1 ). De façon imagée, en terme de rapidité de convergence un o(x n 1 ) converge vers moins vite qu un O(x n ) qui lui-même converge moins vite qu un o(x n ) LGT Baimbridge 3 C.Susset

4 3.2 Opérations sur les DL Addition Théorème 4 f admet un DL n (), f(x) = P n (x) + o(x n ) g admet un DL n (), g(x) = Q n (x) + o(x n ) f + g admet un DL n () (f + g)(x) = (P n + Q n )(x) + o(x n ) Le développement limité de f + g en à l ordre n est la somme des développements limités de f et g à l ordre n Multiplication Théorème 5 f admet un DL n (), f(x) = P n (x) + o(x n ) g admet un DL n (), g(x) = Q n (x) + o(x n ) f g admet un DL n () (f g)(x) = R n (x) + o(x n ) où R n est le reste de la division euclidienne de P n Q n par X n+1. Exemple 2 Déterminer le DL 5 () de la fonction h(x) = (1 cos(x)) ln(1 + x). On a : 1 cos(x) = x2 2 x o(x5 ) et ln(x + 1) = x x2 2 + x3 3 x4 5 + o(x5 ). P 5 Q 5 (x) = ( x2 2 x4 x2 ) (x x3 3 x4 5 ) = x3 2 x4 8 + o(x5 ) h(x) = x3 2 x4 8 + o(x5 ) Rapport Théorème 6 f admet un DL n (), f(x) = P n (x) + o(x n ) g admet un DL n (), g(x) = Q n (x) + o(x n ) g() f g admet un DL f(x) n() g(x) = R n(x) + o(x n ) où R n est le quotient de la division suivant les puissances croissantes à l ordre n de P n par Q n. Exemple 3 Déterminer le DL 5 () de tan on a : sin(x) = x x3 6 + x o(x5 ) cos(x) = 1 x2 2 + x o(x5 ) x x3 6 + x5 x2 = ( x4 24 tan(x) = x + x x5 + o(x 5 ) ) (x + x x5 ) + o(x 5 ) de sorte que : LGT Baimbridge 4 C.Susset

5 3.2.4 Composée Théorème 7 f admet un DL n (), f(x) = P n (x) + o(x n ) g admet un DL n (), g(x) = Q n (x) + o(x n ) g() = f g admet un DL n (), P n Q n (X) par X n+1. Exemple 4 h(x) = e sin(x),déterminer le DL 3 () de h sin(x) = x x3 6 + o(x3 ) e x = 1 + x + x2 2 + x3 6 + o(x3 ) d où : h(x) = 1 + (x x3 6 ) + 1 x3 (x 2 6 )2 + 1 x3 (x 6 6 )3 + o(x 3 ) soit : h(x) = 1 + x + x2 2 + o(x3 ) Primitive f g(x) = R n (x) + o(x n ) où R n est le reste de la division euclidienne de Théorème 8 f est une fonction continue au voisinage de f admet un DL n () f(x) = P n (x) + o(x n ) F est une primitive de f au voisinage de F admet un DL n+1 () F (x) = Q n+1 (x) + o(x n+1 ) avec Q n+1(x) = P n (x) et Q n+1 () = F () Conséquence : Théorème 9 f est de classe C 1 au voisinage de et f admet un DL n 1 (), n 1 (par exemple c est le cas si f est de classe C n au voisinage de ), f (x) = Q n 1 (x) + o(x n 1 ) f admet un DL n (), f(x) = P n (x) + o(x n ) et P n = Q n 1 avec Q n 1 = P n LGT Baimbridge 5 C.Susset

6 4 Quelques développements limités au voisinage de 1 1 x x = = n x k + o(x n ) n ( 1) k x k + o(x n ) ln(1 + x) = x x2 2 + x3 xn + + ( 1)n 1 3 n + o(xn ) ln(1 x) = x x2 2 x3 3 xn n + o(xn ) e x = 1 + x 1! + x2 2! + + xn n! + o(xn ) cos x = 1 x2 2! + x4 x2n + + ( 1)n 4! (2n)! + o(x2n ) sin x = x x3 3! + x5 x2n ( 1)n 5! (2n + 1)! + o(x2n+1 ) (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x ! chx = 1 + x2 2! + x4 4! + + x2n (2n)! + o(x2n+1 ) shx = x + x3 3! + x5 5! + + x2n+1 (2n + 1)! + o(x2n+2 ) α(α 1) (α n + 1) x n + o(x n ) avec α R n! LGT Baimbridge 6 C.Susset