1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes

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1 Comment faire pour Généralités sur les fonctions et fonctions polnômes86 Repérage 88 Dérivation90 Comportements asmptotiques et étude de fonctions9 5 Calcul vectoriel et barcentre 96 6 Produit scalaire et applications 98 7 Généralités sur les suites 00 8 Suites et limites0 9 Statistiques 0 0 Probabilités 06 Translations et homothéties08 Solution des eercices 09

2 Généralités sur les fonctions et fonctions polnômes Comment faire pour étudier un polnôme de second degré? Identification des coefficients Calcul du discriminant et reconnaissance du signe P ( ) = a + b + c : a =? ; b =? ; c =? = b ac Généralités sur les fonctions et fonctions polnômes Recherche des racines Factorisation Étude du signe > 0 Signe de = 0 < 0 b b + b = ; a = a 0 = Pas de racines dans a a ( )( ) a ( 0 ) Pas de factorisation dans + Signe Signe Signe P ( ) de a de a de a 0 + Signe Signe P ( ) de a de a a > 0 a > 0 P ( ) + Signe de a a > 0 Interprétation graphique + Signe Signe Signe P ( ) de a de a a de < 0a Signe Signe P ( ) de a a < 0 de a P ( ) Signe de a a < 0 Dans chacun des cas a) à d) : résoudre dans l équation f ( ) = 0 ; déterminer le signe de f ( ) sur et en déduire la solution des inéquations f ( ) > 0 et f ( ) 0 ; tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle I donné a) f ( ) = + + ; b) ; -- I = [ 5 ; ] f ( ) = + + I = [ ; 5] c) f ( ) = ; d) ; -- I = [ ; ] f ( ) = -- + I = [ ; 7] 86

3 Généralités sur les fonctions et fonctions polnômes c voir p Trinôme Pour chacun des trinômes indiquer à l aide de trait, la factorisation, les racines et l interprétation graphique correspondante Factorisation P ( ) = ( + ) -- P ( ) 9 = P ( ) = Solutions Courbe représentative de T ( ) = 0 d équation = T( ) Aucune solution et et a) b) c) d) P ( ) = Pas de factorisation -- Comment déterminer les conditions d eistence d une fonction? Pour déterminer l ensemble de définition d une fonction, on rencontre deu tpes de problèmes : les quotients et les racines carrées Quotient : eiste si, et seulement si, u ( ) 0 u ( ) Racine carrée : u ( ) eiste si, et seulement si, u ( ) 0 Déterminer le signe de : a) + ; b) ; c) En déduire, dans chaque cas, l ensemble de définition des fonctions f : a) f ( ) = + ; b) f ( ) + = ; c) f ( ) =

4 Repérage Comment déterminer la mesure principale d un angle orienté? La mesure principale d un angle orienté est l unique mesure appartenant à l intervalle ] ; ] Pour déterminer la mesure principale, on ajoute un multiple de à la mesure donnée afin d obtenir une mesure dans l intervalle ] ; ] Repérage Recopier établir un lien entre les différentes colonnes : Comment déterminer une mesure d un angle orienté? Mesure de l angle orienté : Appartient à l intervalle : Donc on ajoute : a) ] 5 ; ] 0 b) ] ; ] c) ] ; ] d) e) ] ; ] f) ] ; 5 ] + Mesure principale : Angles égau Angles supplémentaires ( ku ; k v ) = ( u ; v ) ( ku ; k v ) = ( u ; v ) + si k et k sont de même signe si k et k sont de signe contraire Relation de Chasles Pour tous vecteurs u, v et w non nuls : ( u ; v ) = ( u ; w ) + ( w ; v ) Soit ABCD un carré tel que ( AB ; AD ) = --- Soit I le milieu de [ AC] Déterminer une mesure de l angle ( AD ; CI ) ABC est un triangle direct rectangle et isocèle en B Soit AEB et ACD deu triangles équilatérau directs Calculer les mesures principales des angles orientés suivants : a) ( AB ; AE ) ; b) ( DA ; AB ) ; c) ( AD ; CB ) ; d) ( AE ; DC ) Comment résoudre une équation trigonométrique? Avec k : a= b+ k cos a = cos b sin a = sin b a= b+ k a= b+ k a = b + k 88

5 Repérage c voir p 5 Résoudre les équations suivantes dans l intervalle I a) cos = -- et I = ] ; ] ; b) sin = -- et I = ] ; ] ; c) cos = cos et ; --- I = [ 0 ; [ d) sin = sin ( ) et I = [ 0 ; [ Comment faire le lien entre coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes? Point de départ n détermine : n détermine : Point d arrivée Les coordonnées polaires ( r ; ) La valeur de : = rcos La valeur de : = rsin Les coordonnées cartésiennes ( ; ) Les coordonnées La valeur de r : La valeur de : Les coordonnées cartésiennes : r= + polaires ( r ; ) cos = -- ( ; ) r sin = -- r 5 Dans chacun des cas, donner la bonne correspondance Coordonnées cartésiennes ( ; ) dans ( ; i, j) Coordonnées polaires ( r ; ) ( ; ) ( ; 0) ( 0 ; ) ( ; ) ( ; ) ; --- ; ; ( ) ; ; Comment démontrer qu un point appartient à un plan? M ( ABC) si, et seulement si : AM = AB + AC, avec et réel 6 Dans le cube ABCDEFGH, on définit le point K tel que EK = EB + CK Le point K appartient-il au plan ( ABC)? Comment utiliser les coordonnées dans l espace pour démontrer? n se place dans le repère orthonormé ( ; i, jk, ) et l on considère A ( A ; A ; z A ) et B ( B ; B ; z B ) et I le milieu de [ AB] Alors AB( B A ; B A ; z B z A ) ; I A + B et ; A + B ; z A + zb AB = ( B A ) + ( B A ) +( z B z A ) 7 n considère les points : A( ; ; ), B( ; 0 ; ), C( ; 6 ; ) et D( 0 ; ; ) Le quadrilatère ABCD est-il : a) un parallélogramme? b) un losange? c) un rectangle? 89

6 Dérivation Comment utiliser les opérations algébriques? Dérivation A B C D E Somme Produit Produit de fonctions Inverse Quotient Identifier l opération algébrique à utiliser Poser les epressions algébriques des fonctions u et v Déterminer les epressions algébriques de u et de v Appliquer la formule correspondant à l opération ( u+ v) = u + v ( ku) = ku ( uv) = u v+ uv -- = v v v u -- v u v = uv Dans chacun des cas, identifier l opération mise en œuvre (A à E), puis associer la dérivée correcte a) f ( ) = et I = f ( ) = ( ) b) f ( ) 5 -- = et I = [ ; ] f ( ) = ( ) + c) f ( ) = et I = ] ; 0 ] f ( ) = d) f ( ) = et -- I = [ ; ] f ( ) = 6 v e) f ( ) 5 = ( )( ) et I = f ( ) = f) f ( ) = et I = [ 0 ; ] f ( ) = g) f ( ) = et 6 I = * f ( ) + = h) f ( ) = et I = [ ; 5] f ( ) = i) f ( ) 50 = ( + ) et I = [ ; + [ f ( ) = ( ) j) f ( ) = et I = [ 0 ; + [ f ( ) + = ( ) Comment dériver une fonction et des composées? Pour dériver une composée de fonctions, on peut : soit déterminer f[ g( ) ], puis dériver en utilisant les formules usuelles ; soit utiliser les dérivées de composées : si f ( ) = ua ( + b), on sait que f ( ) = au ( a + b) 90

7 Dérivation c voir p 85 Dériver les fonctions suivantes, après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité : a) f : ; b) g : ; c) ; 5 h : f g( ) Dériver les fonctions suivantes, après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité : a) f : ; b) g : 5 7 ; c) h : f g( ) ; d) i : g f( ) Comment déterminer graphiquement un nombre dérivé? Déterminer graphiquement un nombre dérivé, c est déterminer le coefficient directeur d une tangente au point d abscisse considéré Pour cela, il suffit d appliquer la formule : a B A = , B A où ( A ; A ) et ( B ; B ) sont les coordonnées de points de la tangente a est le coefficient directeur cherché n donne ci-contre la courbe représentative suivante de la fonction f Déterminer graphiquement : f ( ), f ( 0), f ( ) et f ( ) Comment déterminer une équation de tangente? Une équation de la tangente à la courbe f au point d abscisse a est donnée par : = f ( a) ( a) + f( a) Il suffit donc de calculer f ( a) et fa ( ), puis de les remplacer par leur valeur dans l epression ci-dessus 5 5 f est une fonction dérivable en avec f ( ) = -- n sait que sa courbe représentative passe par le point A( ; ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 6 Déterminer une équation de la tangente à la parabole d équation : = +, au point d abscisse Représenter graphiquement la parabole ainsi que sa tangente 7 Déterminer une équation de la tangente à l hperbole d équation = , au point d abscisse Représenter graphiquement l hperbole ainsi que sa tangente 9

8 Comment encadrer une epression algébrique? Dérivation Pour établir, sur un intervalle I, une inégalité du tpe : f ( ) m ou f ( ) M, on peut : soit dresser le tableau de variations de la fonction f, dans le but de montrer que f admet un minimum ou un maimum sur I, suivant la nature de l inégalité ; soit étudier le signe de la différence : ( ) = f ( ) M ; pour cela on détermine directement son signe ou on étudie les variations de la fonction, dans le cas où l étude directe se révèle difficile 8 n définit la fonction f ( ) = 6 + Encadrer f ( ) sur chacun des intervalles [ 0 ; ], [ 6 ; ] et [ 6 ; ] 9 n définit la fonction f ( ) = Encadrer f ( ) sur chacun des intervalles [ ; ] et [ 0 ; 5] Montrer que la fonction f est négative sur \ { } Pourquoi est-il fau de dire que : f( ) f ( ) f( ) sur l intervalle [ ; ] { }? 0 Montrer que, pour tout > 0, on a + -- L avantage de cette dernière méthode apparaît notamment lorsque la quantité M est variable en fonction de Montrer que, pour tout >, on a < Montrer que, pour tout < --, on a Comment faire pour étudier la dérivabilité d une fonction? Pour étudier la dérivabilité de la fonction f au point d abscisse a : on forme le tau d accroissement de f en a : f( a+ h) f( a) t a ( h) = , pour h 0 ; h ensuite, lorsque le calcul est rendu eplicite, on cherche la limite éventuelle de t a ( h) lorsque h tend vers 0 Si la limite eiste et vaut L, alors la fonction f est dérivable en a et f ( a) = L Sinon elle n est pas dérivable en a f est la fonction définie par : f ( ) = Déterminer son epression algébrique sur chacun des intervalles et ] 0 ; + [ Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé Déterminer t 0 ( ) le tau d accroissement en 0 de la fonction f La fonction f est-elle dérivable en 0? Si oui, quel est son nombre dérivé? ] ; 0[ 9

9 Comportements asmptotiques et étude de fonctions Dans cette fiche, on détaille le plan d étude d une fonction f, en distinguant les différentes étapes permettant d établir son tableau complet des variations et le tracé de sa courbe représentative n prendra en eemple la fonction : f : --, Sa courbe représentative est notée f Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité Comportements asmptotiques et étude de fonctions c voir p 7 n eamine les cas où la fonction n est pas définie (quotient et racine) C est aussi le moment où il faut étudier la parité de la fonction n rappelle à ce sujet que : l ensemble de définition D f doit être smétrique par rapport à 0 ; pour tout D f, on calcule f( ) Si f( ) = f ( ), alors la fonction f est paire Si f( ) = f ( ) alors la fonction f est impaire Pour une fonction paire ou impaire, on peut restreindre l étude de la fonction à D f [ 0 ; + [ Par smétrie aiale ou centrale, on obtient la courbe sur D f Eemple : f est définie sur et, comme pour tout, f( ) n est égal ni à f ( ), ni à f ( ), alors f n est ni paire, ni impaire Préciser les ensembles de définition et dérivabilité des fonctions g et h définies par : + g : et h : Les courbes représentatives seront notées respectivement g et h Déterminer les limites au bornes de son ensemble de définition Utiliser à bon escient les tableau sur les opérations algébriques de limite Eemple : f ( ) -- = lim et lim = = -- Donc lim f ( ) = De même, lim f( ) = + + a) Étudier les limites de la fonction g en, en +, en à gauche ainsi qu en à droite b) Étudier les limites de la fonction h en, en +, en à gauche ainsi qu en à droite 9

10 Déterminer les éventuelles asmptotes horizontales et verticales Comportements asmptotiques et étude de fonctions Si lim f ( ) = b, avec b réel, alors la droite d équation = b est asmptote horizontale à f Si lim f ( ) =, avec a réel, alors la droite d équation = a est asmptote verticale à f a Eemple : f n admet aucune asmptote verticale, car f est définie sur f n admet aucune asmptote horizontale, car la limite de f en ou en + n est pas finie En utilisant les résultats précédemment trouvés sur les limites, déterminer les différentes asmptotes horizontales et verticales des courbes g et h Déterminer les éventuelles asmptotes obliques n forme l écart algébrique f ( ) ( a + b) = ( ) Si lim ( ) = 0, alors = a+ b est l équation de la droite asmptote à f au voisinage de + (respectivement en ) Si + ( ) > 0, alors f est au-dessus de ( ) < 0, alors f est au-dessous de a) Montrer que la courbe h admet la droite d équation = au voisinage de et + b) Étudier la position relative des courbes h et Il faut étudier la quantité h ( ) ( ) a) pour justifier l asmptote, déterminer la limite en et en + de : hf( ) ( ) ; b) pour les positions relatives de f et son asmptote, trouver le signe de : h ( ) ( ) Calculer la dérivée n applique les méthodes vues p 90 5 Déterminer les fonctions f, g et h, dérivées respectives de f, g et h Déterminer le signe de la dérivée Déterminer le signe de la dérivée revient, en général, à faire un tableau de signe Donc on réduit au même dénominateur les quotients et on factorise les epressions Eemple : f ( ) = , et f ( ) = = ( + ) ( ) + f ( ) a) Justifier que g est négative sur \{ } b) Déterminer le signe de N ( ) = + +, puis celui de h sur \{ } 9

11 Dresser le tableau complet des variations Comportements asmptotiques et étude de fonctions 7 n rassemble tous les résultats obtenus Eemple : Pour chacune des fonctions g et h, dresser son tableau de variation Établir les propriétés géométriques de la courbe + f ( ) f( ) f( ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I centré en a, est sa courbe représentative Pour démontrer que le point Ia ( ; b) est centre de smétrie de la courbe : on montre que, pour tout h 0 tel que a+ h et a h sont dans I, on a : fa ( h) + fa ( + h) = b Pour démontrer que la droite d équation ( = a) est ae de smétrie de : on montre que, pour tout h 0 tel que a+ h et a h sont dans I, on a : fa ( h) = fa ( + h) ou encore fa ( h) fa ( + h) = a) Pour tout h 0, montrer que f -- h + f -- + h = 0 En déduire alors que le point est centre de smétrie de f -- ; 0 b) Pour tout h 0, montrer que g( h) g( + h) = 0 En déduire alors que la droite d équation ( = ) est ae de smétrie de g Rechercher les éventuels antécédents de 0 n détermine les antécédents de 0 pour connaître les abscisses des points d intersection de f avec l ae des abscisses Pour cela, on résout f ( ) = 0 9 a) Justifier que f -- En déduire la factorisation en produit de trois facteurs du premier degré de f ( ) = 0 Puis donner les antécédents de 0 par la fonction f b) Résoudre l équation + = 0 En déduire le(s) antécédent(s) de 0 par la fonction g c) Résoudre l équation + = 0 En déduire le(s) antécédent(s) de 0 par la fonction h 0 Pour chacune des représentations graphiques f, g et h : a) tracer toutes les asmptotes de la courbe ; b) placer les points de la courbe admettant une tangente horizontale ; c) placer les points d abscisses, puis d ordonnées, nulle ; d) à l aide du tableau de variation, représenter la courbe associée 95

12 5 Calcul vectoriel et barcentre Comment construire le barcentre de deu points pondérés? A et B sont deu points donnés distincts de l espace Les coefficients sont de mêmes signes, alors G [ AB] (eercices et ) Les coefficients sont de signes opposés, alors G ( AB) et G [ AB] (eercices à 5) Calcul vectoriel et barcentre n pose G = Bar {( A, ) ; ( B, ) } Pour tout point M de, eprimer le vecteur MG en fonction des vecteurs MA et MB Montrer alors que AG = -- AB, puis construire le point G n pose G = Bar {( A, ) ; ( B, ) } Pour tout point M de, eprimer le vecteur MG en fonction des vecteurs MA et MB Montrer alors que AG = -- AB, puis construire le point G 5 n pose G = Bar {( A, ) ; ( B, ) } Pour tout point M de, eprimer le vecteur MG en fonction des vecteurs MA et MB Montrer alors que AG = AB Comment doit-on alors procéder pour construire le barcentre de deu points pondérés connaissant leurs coefficients, sachant qu ils sont de mêmes signes? Décrire les étapes Construire M = Bar {( A, 5) ; ( B, ) } et N = Bar {( A, 6) ; ( B, ) } n pose G = Bar {( A, ) ; ( B, ) } Pour tout point M de, eprimer le vecteur MG en fonction des vecteurs MA et MB Montrer alors que AG = AB Construire le point G 5 n pose G = Bar {( A, ) ; ( B, ) } Pour tout point M de, eprimer le vecteur MG en fonction des vecteurs MA et MB Montrer alors que AG = -- AB, puis construire le point G 96

13 Calcul vectoriel et barcentre c voir p 57 5 Comment construire le barcentre de trois points pondérés ou plus 6 Regrouper en sstèmes de deu points pondérés Utiliser le théorème d associativité Construire les barcentres partiels Construire le barcentre final ABC est un triangle du plan donné Quel(s) regroupement(s) intéressants du sstème ( S) peut-on faire pour faciliter la construction du point G barcentre du sstème : ( S) = {( A, ) ; ( B, ) ; ( C, ) } Même question avec cette fois G barcentre du sstème : ( S ) = {( A, ) ; ( B, ) ; ( C, ) } n note I = Bar {( A, ) ; ( B, ) }, I = Bar {( A, ) ; ( B, ) }, J = Bar {( A, ) ; ( C, ) }, J = Bar {( A, ) ; ( C, ) } et K = Bar {( B, ) ; ( C, ) } Montrer que : G = Bar {( I, ) ; ( C, ) } = Bar {( J, ) ; ( B, ) } = Bar {( K, ) ; ( A, ) } et G = Bar {( I, ) ; ( C, ) } = Bar {( J, ) ; ( B, ) } Reproduire deu triangles (identiques) comme ci-contre A A Sur l un d eu, construire les points I, J et K, puis sur l autre les points I et J B C B C 5 Construire (par eemple) : G = Bar {( I, ) ; ( C, ) } ainsi que G = Bar {( J, ) ; ( B, ) } 6 Pour aller plus loin a) Montrer que G est à l intersection de trois droites passant par les sommets du triangle ABC, que l on précisera Est-ce le cas pour le point G? b) Soit D le quatrième sommet du parallélogramme ACBD Justifier que D = Bar {( A, ) ; ( B, ) ; ( C ; ) } Montrer que G est le milieu du segment [ DA], puis que ( AG ) // ( BC) c) Soit ( S) = {( A, ) ; ( B, ) ; ( C ; ) } de masse totale non nulle Quelles questions doit-on se poser et quelles étapes doit-on valider lorsque l on est amené à construire le barcentre du sstème ( S)? Énoncer ces questions et donner les étapes de la construction 97

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