Montrer que le vecteur n

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1 Polynésie juin 4 EXERCICE (5 points) Dans un repère orthonormé de l espace, on considère les points A (5 ; 5 ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ) et D (6 ; 6 ; ).. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.. a. Montrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan (BCD). b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. 4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite D et du plan (BCD) 5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que le volume d un tétraèdre est donné par la formule V = B h, où B est l aire d une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante. 6. On admet que AB = 76 et AC = 6 Déterminer une valeur approchée au diième de degré près de l angle BAC. EXERCICE (5 points) Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Dans cet eercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l année. Par eemple, pour une personne née le 4 mai, le numéro du jour de naissance est 4 et le numéro du mois de naissance est 5. Partie A Lors d une représentation, un magicien demande au spectateurs d effectuer le programme de calcul (A) suivant : «Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 7. Ajoutez les deu nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire». Un spectateur annonce 8 et en quelques secondes, le magicien déclare : «Votre anniversaire tombe le er août!». Vérifier que pour une personne née le er août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 8.. a. Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui de son mois de naissance et z le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). Eprimer z en fonction de j et de m et démontrer que z et m sont congrus modulo. b. Retrouver alors la date de l anniversaire d un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A). Partie B Lors d une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de naissance est m, le magicien demande de calculer le nombre z défini par z = j + m. Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d anniversaire du spectateur.. Première méthode: On considère l algorithme suivant : Variables : : j et m sont des entiers naturels Traitement : Pour m allant de à faire : Pour j allant de à faire : z prend la valeur j + m Afficher z Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que j + m = 5.. Deuième méthode : a. Démontrer que 7 m et z ont le même reste dans la division euclidienne par. b. Pour m variant de à, donner le reste de la division euclidienne de 7 m par. c. En déduire la date de l anniversaire d un spectateur ayant obtenu le nombre 5 avec le programme de calcul (B).. Troisième méthode: a. Démontrer que le couple ( ; 7) est solution de l équation + y = 5. b. En déduire que si un couple d entiers relatifs ( ; y) est solution de l équation + y = 5, alors ( + ) = (7 y). c. Déterminer l ensemble de tous les couples d entiers relatifs ( ; y), solutions de l équation + y = 5. d. Démontrer qu'il eiste un unique couple d entiers relatifs ( ; y) tel que y. En déduire la date d anniversaire d un spectateur ayant obtenu le nombre 5 avec le programme de calcul (B).

2 EXERCICE (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité On considère la suite (u n ) définie par u = et pour tout entier naturel n, u n + = u n + n +.. Calculer u et u.. On considère les deu algorithmes suivants : Algorithme Algorithme Variables : n est un entier naturel Variables : n est un entier naturel u est un réel u est un réel Entrée : Saisir la valeur de n Entrée : Saisir la valeur de n Traitement : u prend la valeur Traitement: u prend la valeur Pour i allant de à n : Pour i allant de à n : u prend la valeur u + i + u prend la valeur u + i + Sortie : Afficher u Sortie : Afficher u De ces deu algorithmes, lequel permet d afficher en sortie la valeur de u n la valeur de l entier naturel n étant entrée par l utilisateur?. À l aide de l algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u n en ordonnée. a. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (u n )? Démontrer cette conjecture. b. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l eistence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, u n = a n + b n + c. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l aide des informations fournies. 4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v n ) par : v n = u n + u n. a. Eprimer v n en fonction de l entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (v n )? b. On définit, pour tout entier naturel n, S n = n v k k = v + v v n. Démontrer que, pour tout entier naturel n, S n = (n + ) (n + ). c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, S n = u n + u, puis eprimer u n en fonction de n. EXERCICE (5 points) Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. Une absence de réponse n est pas pénalisée.. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 8 % des cas. Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à,6. Affirmation n : «Zoé utilise la voiture un jour sur deu.». Dans l ensemble E des issues d une epérience aléatoire, on considère deu événements A et B. Affirmation n : «Si A et B sont indépendants, alors A et B sont aussi indépendants.». On modélise le temps d attente, eprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire T qui suit la loi eponentielle de paramètre,7. Affirmation n : «La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est,7 environ.» Affirmation n 4 : «Le temps d attente moyen à ce guichet est de sept minutes.» 4. On sait que 9 % de la population française est du groupe sanguin A+. On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge 8 donneurs de sang et parmi eu, 4 % sont du groupe sanguin A+. Affirmation n 5 : «On ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 9 % comme dans l ensemble de la population.»

3 EXERCICE 4 (5 points) Soient f et g les fonctions définies sur R par f () = e et g() = e /. On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.. Démontrer que les courbes C f et C g ont un point commun d abscisse et qu'en ce point, elles ont la même tangente dont on déterminera une équation.. Étude de la position relative de la courbe C g et de la droite. Soit h la fonction définie sur R par h () = e /. a. Déterminer la limite de la fonction h en. b. / e Justifier que, pour tout réel, h() = / En déduire la limite de la fonction h en +. c. On note h' la fonction dérivée de la fonction h sur R. Pour tout réel, calculer h'() et étudier le signe de h'() suivant les valeurs de. d. Dresser le tableau de variations de la fonction h sur R. e. En déduire que, pour tout réel, e / +. f. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe C g et de la droite?. Étude de la position relative des courbes C f et C g. a. Pour tout réel, développer l epression (e / ). b. Déterminer la position relative des courbes C f et C g. 4. Calculer, en unité d aire, l aire du domaine compris entre les courbes C f et C g et les droites d équations respectives = et =. CORRECTION EXERCICE (5 points). BC, CD 6 5, 7 BD 5 donc BC = + = 5 CD = ( ) = 7 et BD = ( ) = 75 BD = CD + BC donc le triangle BCD est rectangle en C. Le triangle BCD est rectangle en C donc son aire est égale à CB CD soit 7 5 = a. n. BC = + = et n. CD = + 5 = Les vecteurs BC et CD sont non colinéaires donc le vecteur n est un vecteur normal au plan (BCD). b. Le vecteur n est un vecteur normal au plan (BCD) donc une équation du plan (BCD) est de la forme : + y + z + d = B est un point du plan (BCD) donc B + y B + z B + d = soit + + d = donc d = 5 Une équation cartésienne du plan (BCD) est + y + z 5 =. La droite D orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A a pour vecteur directeur n et D est l ensemble des k 5 points M ( ; y ; z) tels que AM k n (k R) donc cette droite a pour représentation paramétrique y k 5, k R. z k 4. H est le point intersection de la droite D et du plan (BCD) donc ses coordonnées vérifient ( k + 5) + ( k 5) + k + 5 = soit 4 k 8 = donc k = Les coordonnées du point H sont ( ; ; 4 ) k 5 y k 5 z k et + y + z 5 = 5. H est le point intersection de la droite D et du plan (BCD) donc (AH) la hauteur issue de A du tétraèdre ABCD.

4 AH a pour coordonnées ( 4 ; 6 ; ) donc h = AH = B = 5 4, et h = 4 donc V = B h = = Le volume du tétraèdre ABCD est égal à 7 u. v.. 6. AB. AC = AB AC cos BAC = 76 6 cos BAC AB 6 6 cos BAC = 5 6 donc AB. AC = = donc une valeur approchée au diième de degré près de l angle BAC est BAC 4, 76 6, AC EXERCICE (5 points) Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Partie A. Pour une personne née le er août, le numéro du jour de naissance est et le numéro du mois de naissance est 8. Pour une personne née le er août, le programme de calcul (A) donne le nombre = 8. a. z = j + 7 m donc z 7 m modulo or modulo et 7 = + donc 7 modulo donc z m modulo b. 474 = j + 7 m, modulo donc m 6 modulo, le spectateur est né en juin. 474 = j donc j = 5 soit j = donc le spectateur est né le juin. Partie B. Première méthode: Variables : : j et m sont des entiers naturels Traitement : Pour m allant de à faire : Pour j allant de à faire : z prend la valeur j + m Si z = 5 Afficher j Afficher m Fin Si. Deuième méthode : a. z = j + m donc z 7 m = j + 4 m donc z 7 m modulo donc z 7 m modulo 7 m et z ont le même reste dans la division euclidienne par. b. m reste de la division euclidienne de 7 m par c. 5 = 4 + donc 5 modulo donc 7 m modulo m est un mois donc m donc par lecture inverse du tableau précédent m = 5 5 = j + m donc j = 5 5 = 48 donc j = 9. Le spectateur est né le 9 mai.. Troisième méthode: a. ( ) + 7 = = 5 donc le couple ( ; 7) est solution de l équation + y = 5. y 5 b. ( ) 7 5 soit ( + ) = (7 y). donc par soustraction membre à membre ( + ) + (y 7) = c. Si le couple d entiers relatifs ( ; y) est solution de l équation + y = 5 alors ( + ) = (7 y) et sont premiers entre eu et divise (7 y) donc d après le théorème de Gauss, divise 7 y Il eiste un entier relatif k tel que 7 y = k En remplaçant : ( + ) = k donc + = k donc = k et y = 7 k (k ) Vérification : si = k et y = 7 k (k ) alors + y = k + + ( k) + 7 = 5 donc les solutions de l équation + y = 5 sont les couples ( k ; 7 k) avec (k ) d. y donc 7 k soit 7 k 7 soit 5 k 6, k donc k =

5 k = donc y = 7 = 5 et = = 9 donc il eiste un unique couple d entiers relatifs (9 ; 5) tel que y. La date d anniversaire d un spectateur ayant obtenu le nombre 5 avec le programme de calcul (B) est le 9 mai. EXERCICE (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité. Pour n = : u = u + = Pour n = : u = u + + = 6. Algorithme si n =, pour i =, u prend la valeur + + = 4 L algorithme ne permet pas de calculer u donc ne convient pas. Algorithme L algorithme permet de calculer u n + n + donc convient.. a. Il semblerait que la suite (u n ) soit strictement croissante. u n + u n = n +, n donc u n + u n >, la suite (u n ) est strictement croissante. b. u = donc c =, donc u n est de la forme a n + b n u = donc a + b = u = 6 donc 4 a + b = 6 soit a + b = a b donc a = et b =, u n = n + n. a b 4. a. v n = u n + u n = n + de la forme v + n r avec v = et r = donc (v n ) est une suite arithmétique de raison de premier terme v =. b. On peut démontrer par récurrence cette propriété ou bien : n (v n ) est une suite arithmétique de raison de premier terme v = donc S n = ( v n v ) = n ( n 4 ) = (n + ) (n + ). c. On peut démontrer par récurrence cette propriété ou bien : v = u u v = u u v n = u n u n v n = u n + u n Par addition terme à terme S n = u n + u = (n + ) (n + ) donc u n = n (n + ) EXERCICE (5 points). Soit P l événement «il pleut» et V l événement «Zoé utilise la voiture» Affirmation n : VRAIE p(v) = p(v P) + p(v P ) =,5,8 +,75,4 =,5. Affirmation n : VRAIE Si A et B sont indépendants, p(a B) = p(a) p(b) D après la propriété des probabilités totales : p(a) = p(a B) + p(a B ) p(a) = p(a) p(b) + p(a B ) donc p(a B ) = p(a) p(a) p(b) p(a B ) = p(a) ( p(b)) = p(a) p( B ) donc A et B sont aussi indépendants.. Affirmation n : FAUSSE p(t 5) = e,7 5 = e,5 donc p(t 5),

6 Affirmation n 4 : FAUSSE Le temps d attente moyen à ce guichet est soit,7 donc environ,4 soit min 6 secondes 4. Affirmation n 5 : VRAIE Conditions : n = 8 donc n, n p = 8,9 = 7,7 donc n p 5 et n ( p) =,6 donc n ( p) 5,9,6,9,6 Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%,9,96 ;,9,96 soit 8 8 approimativement [,9 ;,46] Dans l échantillon considéré, 4 % sont du groupe sanguin A+.,4 [,9 ;,46] donc on ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 9 % comme dans l ensemble de la population. EXERCICE 4 (5 points). f () = g() = donc les courbes C f et C g ont un point commun d abscisse. f () = e donc f () =, g () = e = e donc g () = Les tangentes au point commun ont même coefficient directeur donc sont confondues. La tangente commune a pour équation y = +.. a. lim e / = donc lim h() = + / / e e b. Pour tout réel non nul, = / lim lim e donc lim = donc lim / e / / e = + donc lim h() = + = e / = h() c. Pour tout réel, h'() = e donc h'() = e e > e > > + h () + d. + h () h e. Pour tout réel, h() donc e / donc e / + donc e / + soit g() + f. Pour tout réel, g() + donc la courbe C g est toujours au dessus de la droite.. a. Pour tout réel, (e / ) = ( e / ) e / + = e e / + b. f () g() = e e / + = (e / ) donc f () g() Pour tout réel, f () g() donc la courbe C f est toujours au dessus de la courbe C g. 4. Pour tout réel, f () g() donc l aire demandée est égale à A = e e d e 4 e A = e 4 e,5 + ( 4) donc A = e 4 e,5 + 4 u. a. [ f ( ) g( )] d