1.2.2 Cas général d une perpendiculaire commune
|
|
- Robin Chevalier
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 1.. Cas général d une perpendiculaire commune Quand deux droites sont orthogonales Une perpendiculaire commune à deux droites orthogonales est contenue dans le plan passant par l une des droites et perpendiculaire à l autre. Dans ce plan, elle passe par le point de percée de l autre droite et est perpendiculaire à la première droite. Quand deux droites sont gauches quelconques 1. Une perpendiculaire commune à deux droites gauches est perpendiculaire aux plans parallèles les contenant.. Elle est dans le plan passant par l une des droites et perpendiculaire aux plans parallèles. 3. Elle passe par le point de percée de l autre droite dans ce plan et dans le même plan elle est perpendiculaire à la première droite.
2 1..3 Critères de perpendicularité d une droite et d un autre plan Une condition nécessaire et suffisante de perpendicularité d une droite et d un plan est que la droite soit perpendiculaire ou orthogonale à deux droites sécantes du plan Unicité de la perpendiculaire commune Il n y a qu une seule perpendiculaire commune à deux droites gauches. Π1 et π sont deux plans parallèles contenant respectivement les droites D1 et D. D est la perpendiculaire commune à D1 et D. On suppose qu il existe une seconde perpendiculaire commune aux droites D1 et D, D. La droite et une droite parallèle à D1 dans π passant par l intersection de D et π. Si D est perpendiculaire à D1 et D, D serait perpendiculaire à puisqu elle est perpendiculaire à D1 et que D1 est parallèle à. Comme D est perpendiculaire à et à D, on
3 peut dire que D est perpendiculaire à π, tout comme D. D et D sont donc parallèles puisqu elles sont perpendiculaires au même plan. Puisque D et D sont parallèles et toutes deux perpendiculaires aux droites D1 et D, et que D et D ne sont pas confondues, on peut en conclure que le plan contenant D et D contiendrait aussi les droites D1 et D et donc que celles ci seraient coplanaires, ce qui n est pas le cas. En résumé : Si D est perpendiculaire à D1 et D, et que π1 est parallèle à π, D est perpendiculaire à π1 et π. De même pour D. D et D sont dès lors parallèles, puisqu elles sont perpendiculaires aux même plans. Puisque D et D sont toutes deux perpendiculaires à D1 et D, et que D et D sont toutes deux parallèles sans être confondues, D1 et D doivent alors être parallèles Distance entre deux droites gauches La distance entre les points d intersection de deux droites gauches avec leur perpendiculaire commune est la plus petite parmi les distances entre deux points quelconques appartenant respectivement à ces deux droites. D1 et D sont deux droites gauches, π1 et π sont les deux plans parallèles contenant ces droites, D est la perpendiculaire commune de ces droites. D est une droite sécante quelconque reliant D1 à D avec d1 et a comme intersections. Le triangle ad1d est un triangle rectangle car d1d est perpendiculaire à ad, donc ad1 > d1d. od est parallèle à o1d1, et o1d1 est parallèle à od. On a donc un parallélogramme. De là, on peut déduire que o1o = d1d. Dès lors ad1 > o1o.
4 B B.4 Définitions.4.1 Coordonnées d un point P dans l espace Le point P a pour coordonnées un triplet (X P,Y P,Z P ) où X p est l abscisse d un point P repérée sur l axe OX, Y p est l ordonnée du point P repérée sur l axe OY, Z p est la cote du point P repérée sur l axe OZ..4. Composantes du vecteur B où (X,Y,Z ) et B (X B,Y B BB,Z B ). Le vecteur B a pour composantes le triplet (XB - X, Y BB - Y, Z B B - Z)..4.3 Distance d un point P (X P,Y P,Z P ) à l origine du repère O (dans un repère orthonormé) OP = X + Y + Z P P P.4.4 Distance entre deux points P (X P,Y P,Z P ) et Q (X Q,Y Q,Z Q ) (dans un repère orthonormé) ( Q P) ( Q P) ( Q P) PQ = X X + Y Y + Z Z Remarque : Critère de perpendicularité Soit (X,Y,Z ) et B (X B,Y B BB,Z B ). B ΔOB est rectangle en O X X +Y Y +Z Z =0 Demo : ( X X ) ( Y Y ) ( Z Z ) B B B B B B ΔOB est rectangle en 0 B = O + OB + + = X + Y + Z + X + Y + Z X X Y Y Z Z = 0 B B B B B B X X +Y Y +Z Z =0 B B B.4.5 Produit scalaire de deux vecteurs Dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs de même origine est égal au produit scalaire du premier vecteur par le vecteur-projection orthogonale du second vecteur sur le premier. Dans l espace, on choisit comme représentants de deux vecteurs, ceux de même origine et qui sont donc situés dans un même plan. lors la définition du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan reste valable dans l espace.
5 - Si les deux vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. O. O = O. O - Si les deux vecteurs sont parallèles et de sens contraire, leur produit scalaire est égal à l opposé du produit de leurs longueurs. O. O = O. O - Si les deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul. O O =. 0 Si les deux vecteurs forment un angle α, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs et du cosinus de leur angle. O. O = O. O.cosα Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme du produit des premières composantes, du produit des deuxièmes composantes et du produit des troisièmes composantes des deux vecteurs. Soit O r,s,t et O u,v,w : OO. = r. u + s. v + t. w ( ) ( ) Démonstration de la formule du produit scalaire : Dans un repère de l espace, on a 3 vecteurs de base : e1 sur OX e sur OY de longueur 1 e3 sur OZ O = re. 1+ se. + te. 3 O = ue. 1+ ve. + we. 3 O.O = ( re. 1+ se. + te. 3).( ue. 1+ ve. + we. 3) = rue rve.. 1. e + rwe.. 1. e3+ sue.. e1+ Sve.. + swe... e3+ t. ue.. e + tve... e + twe
6 O = re. 1+ se. + te. 3 O = ue. 1+ ve. + we. 3 O.O = ( re. 1+ se. + te. 3).( ue. 1+ ve. + we. 3) = rue rve.. 1. e + rwe.. 1. e3+ sue.. e1+ Sve.. + swe... e3+ t. ue. 3. e1+ tve.. 3. e + twe.. 3 Or vu que ee 1. = 0, ee 1. 3 = 0 et ee. 3 = 0, on peut supprimer les produits où ils apparaissent. Et vu que e1 = e = e3 = 1,on peut aussi les simplifier, dès lors, on obtient : O.O = ru. + sv. + tw. Somme des produits des composantes Propriété du produit scalaire : 1 Distributivité par rapport à l addition des vecteurs ( B+ CD). MN = BMN. + CDMN. MN( B+ CD) = MN. B+ MNCD. ssociativité mixte pour tout réel r, r( BCD. ) = ( r. B). CD 3 Symétrie BCD. = CDB. 4 Positivité B > 0 1) Equations d une droite 1) Equation vectorielle et B points données définissent les droites B Le point P est un point quelconque de la droite B B = P P = k. B k éq. vectorielle ) Equation paramétriques ( X ; Y; Z ) OP = O + P B( X B; YB; ZB) OP = O + k. B vecteur directeur P( X; Y; Z) On passe aux composantes des vecteurs (X ;Y ;Z) = (X,Y,Z ) + k (X B B - X, Y BB - Y, Z B B - Z) X = X + k( XB X) B Y = Y + k ( YB Y) Système déquations paramétriques de la droite paramètre=k Z = Z + k( ZB Z)
7 3) Equations cartésiennes On élimine le paramètre k X X k = ( XB X ) XB X Y Y k = ( YB Y) YB Y Z Z k = ( ZB Z) ZB Z plan β X X Y Y Z Z B = = X X Y Y Z Z B B B Équation cartésienne d B eq du plan α Exemple : 1) (0;;) et B (3;1;0) B ( 3; 1; ) vecteur directeur Eq. Vect. : P= k. B x= 3k Eq. Para. : y = k z = k Eq. Cart. : x (1) = y 3 x z B B = y = x z 3 ou = 3 () (3) x 3y 6 0 x = 1 6y = 6 3z + = ( π1) B x+ 3z 6= 0( π ) π1oy = ( 0; ;0 ) πox = ( 3;0;0) π OX = 6;0;0 π OZ = 0;0; ) ( ) ( 1 ) Equations d un plan 1) Equation vectorielle π B = k. B + h. C B et C sont les vecteurs directeurs
8 ) Equations paramétriques ( X-X );( Y-Y );( Z-Z ) = k. X -X ;Y -Y ;Z -Z + h. X -X ;Y -Y ;Z -Z X-X = k( XB-X ) + h( XC-X ) π Y-Y = k( YB-Y ) + h( YC-Y ) Z-Z = k( ZB-Z) + h( ZC-Z) X= X + k( XB-X) + h( XC-X) π Y = Y + k( YB-Y ) + h( YC-Y ) éq. paramétriques du plan π Z= Z + k( ZB-Z) + h( ZC-Z) X = X + k( ) + h ( ) π Y = Y + k( ) + h ( ) Z = Z + k( ) + h ( ) ( ) ( B B B ) ( C C C ) Coord. d 1 pt connu du plan composante des vecteurs directeurs 3) En éliminant les paramètres h et k, On obtient une équation du premier degré à 3 inconnues qui est l équation du plan. OU En développant un déterminant que l on égalise à 0, on obtient une équation premier degré à 3 inconnues qui est aussi l équation cartésienne du plan. X X X - X X -X Y Y YB - Y YC -Y Z Z Z - Z Z -Z 1 pt comp. de vect. direc de pi π ac + by + cz + d = 0 Exemple : ( 1;0;0 ) B( 0;1;0 ) C( 0;0;1) Eq. para : B C a B C ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) x= 1+ k -1 + h 1 x = 1 k h y = 0+ k 1 + h 0 y = k z 0 k 0 h 1 z = h = + + Eq. cart : x = x z + y = 0 y 1 0 = x+ y+ z 1= 0 z 0 1 = 0 (on égalise à 0 car la colonne 1 est combinaison linéaire des deux autres (comme on l a dit au point ) )
9 4) Vecteur normale du plan π π ax + by + cz + d = 0 1 () P( xp; yp; zp) π ax. P + b. yp + cz. P + d = 0 ( ) ( 3:1 ) ( ) ( : ) a( x xp) + b( y yp) + c( z zp) = 0 ( P; P; P) ( ; ; ) V( abc ; ; ) ( 3 ) exprime que le produit scalaire est nulle PR x x y y z z oùr x yz estunptqcqdeπ PR V = 0 (produit scalaire) V PR V( abc ; ; ) est un vecteur orthogonal à tous les vecteurs du plan π. Il sappelle le vecteur normal du plan π Exemple : (;3;-1) π Vect. normal de π = V ( 1; 1;3 ) π x y+ 3x+ d = 0 π :4 3+ ( 3) + d = 0 d = π x y+ 3x+ = 0 Remarque : Deux plans parallèle ont même vecteur normal. 3) Distance d un point à un plan π ax + by + cz + d = 0 P( xp; yp; zp) d ( P, π ) =? R x; y; z ; π PR ( ) x= xp + ka PR y = y p + kb z = zp + kc ( p ) ( p ) ( p ) R π a x + ka + b y + kb + c z + kc + d = ax + ka² + by + kb² + cz + kc² + d = 0 p p p ( ² ² ² ) k a + b + c = axp byp czp d axp byp xz p d k = a² + b² + c² ( ; π ) = d( P; R) = ( ka) + ( kb) + ( kc) = k ( a² + b² + c² ) d P = k a² + b² + c² axp by p xz p d d( P; π ) =. a² + b² + c² a² + b² + c² axp by p xz p d d( P; π ) = a² + b² + c²
10 Exemple π x 3y+ z = 0 P ;1;5 (, π ) d P 4 4 = = ( ) ( ) 4) Condition de parallélisme et de perpendicularité ou orthogonalité entre droites, plans, 1 droite et 1 plan. 1) U( r, s, t) V ( u, v, w) U // V k : V = ku. ( uvw,, ) = k. ( rst,, ) u = k. r r s t ou v = k. s ou k = = = u 0; v 0; w 0 u v w w = kt. Les composantes des vecteurs U et V sont proportionnelles ) U V U.V = 0 produit scalaire est nul r.u+s.v+t.w=0 1) Condition de parallélisme 1 ) Entre deux plans : π1 ax + by + cz + d = 0 U ( a, b, c) π1 π a x+ b y+ c z+ d = 0 V ( a, b, c ) π a b c π1// π U // V = = a b c ( ) ) Entre deux droites x xa y ya z z a d = = U ( xu; yu; zu) vect. direct. de d xu yu zu x xb y yb z z b d = = V ( xv; yv; zv) xv yv zv xu yu zu d1// d U // V = = x y z 1 1 v v v 3 ) Entre une droite et un plan π ax + by + cz + d = 0 V ( a, b, c) π x xa y ya z z a d = = U ( xu; yu; zu) vect. direct. de d xu yu zu d // π V U axu + byu + czu = produit scalaire nul
11 ) Condition de perpendicularité ou d orthogonalité 1 ) Entre deux plans π1 ax + by + cz + d = 0 U ( a, b, c) π1 π a x+ b y+ c z+ d = 0 V ( a, b, c ) π π π U V aa + bb + cc = 0 1 ) Entre deux droites x xa y ya z z a d1 = = U ( xu; yu; zu) vect. direct. de d1 xu yu zu x xb y yb z z b d = = V ( xv; yv; zv) vect. direct. de d xv yv zv d d U V x x + y y + z z = 0 1 Remarque : Pour prouver que d et d sont perpendiculaires, il faut alors prouver quelles sont coplanaires 1 u v u v u v 3 ) Entre une droite et un plan π ax + by + cz + d = 0 V ( a, b, c) π x xa y ya z z a d = = U ( xu; yu; zu) vect. direct. de d xu yu zu a b c π d V//U = = x y z u u u Positions relatives de trois plans 3 plans parallèles distincts S= O plans parallèles distincts et 1 sécant S= O 3 plans sécants sur une même droite infinités simple de solutions (livre ouvert) 3 plans confondus infinité double de solution 3 plans sécants sur un point S = singleton 3 plans sécants à suivant des droites parallèles S = O (la tente)
Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailGéométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailChapitre 3 : Repères et positionnement 3D
Chapitre 3 : Repères et positionnement 3D Modélisation 3D et Synthèse Fabrice Aubert fabrice.aubert@lifl.fr Master Informatique 2014-2015 F. Aubert (MS2) M3DS/ 3 - Repères et positionnement 3D 2014-2015
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailPlan du cours : électricité 1
Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailComment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailExercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :
Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?
Plus en détailExercices de géométrie
Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCorrigés Exercices Page 1
Corrigés Exercices Page 1 Premiers algorithmes Questions rapides 1 1) V ; ) F ; 3) V ; 4) F. 1) a ; ) b ; 3) a et b ; 4) b. 3 L'algorithme répond à la question : "le nombre entré estil positif?". 4 a (remarque
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCinétique et dynamique des systèmes de solides
Cinétique et dynamique des systèmes de solides Page 2/30 CINÉTIQUE des systèmes matériels... 3 1.) Notion de masse...3 2.) Centre de masse d'un ensemble matériel...4 3.) Torseurs cinétique et dynamique...6
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailILT. Interfacultair Instituut voor Levende Talen. T@@lvaardig. Actes de communication. Serge Verlinde Evelyn Goris. Katholieke Universiteit Leuven
IL If I L S V Ey G Khk U L 13/02/02 pé? xp qé xp pz à pz p héhq pé p à q z p à p héhq fé à p à q pz xp q 'p (è) f, '-à- p. x. ' é ff. N xp à py qq' q z b ( f) P xp pô pp L p - pé pz ': z qq', q -? Bj,
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailBougez, protégez votre liberté!
> F a Bgz, pégz v bé! www.a-. CAT.ELB.a240215 - Cé ph : Fa Daz à v p aé N az p a v gâh a v! Aj h, p g évq v ; Pa, p 4 aça q, v, éq qaé v. Ca ax é ç, b pa évé ax p âgé a h a p j. E pè v, h pa épagé. Pa
Plus en détailLes Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.
Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailMichel Henry Nicolas Delorme
Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailCHAPITRE 2 SYSTEMES D INEQUATIONS A DEUX INCONNUES
CHAPITRE 2 SYSTEMES D INEQUATIONS A DEUX INCONNUES Exercice 1 Dans un repère orthonormé on donne les points A( 1;2 ), ( 5; 6) et les droites a 3x + 2y = 5 et b 4x 3y + 10 = 0. B, 1 C 5; 2, 1 D 7; 2 1)
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailPropriétés électriques de la matière
1 Propriétés électriques de la matière La matière montre des propriétés électriques qui ont été observées depuis l antiquité. Nous allons distinguer les plus fondamentales de ces propriétés. 1 Propriétés
Plus en détail1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..
1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailFamille continue de courbes terminales du spiral réglant pouvant être construites par points et par tangentes
Famille continue de courbes terminales du spiral réglant pouvant être construites par points et par tangentes M. Aubert To cite this version: M. Aubert. Famille continue de courbes terminales du spiral
Plus en détailLe seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailSylvain Meille. Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa microstructure.
Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa microstructure Sylvain Meille To cite this version: Sylvain Meille. Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailVision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007
Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailL AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES :
RAPPORT DAVID LANGLOIS-MALLET SOUS LA COORDINATION DE CORINNE RUFET, CONSEILLERE REGIONALE D ILE DE FRANCE L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES : PROBLÉMATIQUES INDIVIDUELLES, SOLUTIONS COLLECTIVES? DE L ATELIER-LOGEMENT
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailDécouverte du tableur CellSheet
Découverte du tableur CellSheet l application pour TI-83 Plus et TI-84 Plus. Réalisé par Guy Juge Professeur de mathématiques et formateur IUFM de l académie de Caen Pour l équipe des formateurs T 3 Teachers
Plus en détailSéquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire
Séquence 8 Fonctions numériques Conveité Objectifs de la séquence Introduire graphiquement les notions de fonctions convees et de fonctions concaves. Établir le lien entre le sens de variation d une fonction
Plus en détail