Exercices Mécanique Quantique - Master Physique Matrices, rotations

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1 Matrices, rotations 1 Le moment magnétique un électron est µ e = gµ B, où µ B = e/(4m e ) est le magnéton e Bohr et g Ici m e énote la charge e l électron et e sa charge Comparer cette valeur avec celle une sphère qui porte la charge e et ont le moment cinétique intrinsèque autour e l axe z est / On suppose que la ensité e charge ρ ans la sphère est la ensité e masse sont constantes Utiliser que le vecteur u moment magnétique et le moment inertie une sphère e masse m et e rayon a sont µ = 1 3 r r (ρ v) et I s = ma /5, respectivement Où ans le plan complexe sont situées les valeurs propres une matrice unitaire? 3 Les matrices e Pauli sont onnées par ( ) ( i σ x =, σ 1 0 y = i 0 (a) Montrer qu elles vérifient les relations i [σ x, σ y ] = iσ z (cycl) ) ( 1 0, σ z = 0 1 ii tr{σ k σ j } = δ kj On note que tr{a} = n i=1 A ii si A est une matrice e imensions n n et que tr{ab} = tr{ba} (B a les même imensions que A) (b) Calculer leurs valeurs et vecteurs propres 4 On onne la matrice U(n, φ) = cos(φ/)1 + i sin(φ/)(n x σ x + n y σ y + n z σ z ) où σ x,y,z sont les matrices e Pauli et n = (n x, n y, n z ) T contient les composantes un vecteur unité n par rapport à la base un espace eucliien, tel que n T n = 1 (a) Définissant N = n x σ x + n y σ y + n z σ z, montrer que i N = 1, ii N est une matrice hermitienne iii Montrer que U est unitaire et calculer et(u) (b) On onne la représentation un vecteur ans l espace es spineurs par ξ = xσ x + yσ y + zσ z Calculer ξ = U ( n, ɛ)ξu( n, ɛ), pour ɛ 1 5 On onne la matrice K = ( (a) Montrer que K = 1 ( ) cosh(φ) sinh(φ) (b) Montrer que A(φ) = exp(φk) = sinh(φ) cosh(φ) (c) Soit la norme r e r (x, y) T (x, y R) éfinie par r = x y Montrer que r = r, où r = A(φ)r ) ) 1

2 Spin 1 On onne le champ magnétique où ϕ [0, π) B = B sin ϕ e x + B cos ϕ e z, (a) Donner la représentation matricielle H e l hamiltonien ans la base es états propres e l opérateur s z (Dans cette base les matrices e Pauli ont la forme habituelle introuite ans le cours) (b) Calculer les énergies possibles u spin (c) Calculer les spineurs propres e H Conseil : Construire B par rotation à partir e B 0 = B e z et utiliser la formule e rotation corresponante pour les spineurs On onne un champ magnétique constant, B = B e z, et on consière un spin 1/ ont l état pour t = 0 est écrit par le spineur χ(0) = cos φ χ + z + sin φ χ z = ( cos φ sin φ où φ R et χ + z et χ z écrivent, respectivement, une polarisation parallèle et antiparallèle à l axe z ans un repère cartésien (a) Calculer χ(t) pour le champ magnétique onné (b) Calculer les valeurs moyennes s i (t) pour les composantes i = x, y, z u spin Quelle trajectoire est écrite par la pointe u vecteur s(t)? 3 On onne les matrices S x = i 0 0 1, S y = i qui représentent un spin amplitue , ), S z = i (a) Construire la matrice H qui représente l hamiltonien pour un champ magnétique B = B n, où n = n x e x + n y e y + n z e z est un vecteur unité ans une irection quelconque Montrer que H est une matrice hermitienne (b) i Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres (normalisés) corresponants e la matrice H si B = B e z ii Soient λ +, λ 0, λ les valeurs propres, où λ + < λ 0 < λ, et soient χ +, χ 0, χ les spineurs propres associés Quelle est la signification physique e ces valeurs propres et à quelle orientation u spin par rapport au champ magnétique corresponent-elles? iii Calculer l énergie moyenne u spin pour l état représenté par χ = α + χ + + α 0 χ 0 + α χ, où α + + α 0 + α = 1

3 Espace vectoriel unitaire (I) 1 Soient u et v eux vecteurs complexes normalisés, u u = 1, v v = 1, et v = c u (c C) Quelle est la forme la plus générale pour c si u et v sont es éléments un espace vectoriel réel et complexe, respectivement? Soit u un vecteur unité ans un espace vectoriel unitaire à eux imensions Combien e vecteurs normalisés et orthogonaux à u y a-t-il? La même question si l espace vectoriel est réel (Utiliser une base orthonormée pour exprimer les vecteurs ans cet espace vectoriel ) 3 Soit { a 1, a } une base orthonormée un espace vectoriel unitaire à eux imensions ( base A ) On onne une euxième base ( base B ) ans cet espace par b 1 = 1 { a 1 + i a }, b = 1 { a 1 i a } (a) Montrer que la base B est orthonormée (b) Donner la représentation matricielle e { a 1, a } et e { b 1, b } ans la base A (c) Donner la représentation matricielle e b 1 et b ans la base A () Donner la représentation matricielle e a 1 et a ans la base B (e) Construire l opérateur unitaire U qui est éfini par b j = U a j (j = 1, ) et onner sa représentation matricielle ans la base A (f) Soit χ un vecteur ont la représentation matricielle ans la base A est onnée par χ (A) = 1 ( ) 1 0 Quelle est la représentation ans la base B? (g) Soit T un opérateur qui a la représentation matricielle ans la base A est ( ) T (A) 1 0 = 0 1 Quelle est la représentation ans la base B? 4 Soit T = u u un opérateur ans un espace unitaire à n imensions (a) Est-ce que T est hermitien? (b) Quelle propriété oit posséer le vecteur u afin que T soit un projecteur? (Rappel : Un projecteur P a les propriétés P = P et P = P) (c) Montrer que les valeurs propres e P sont ou 0 ou 1 3

4 Espace vectoriel unitaire (II) 1 La érivée un opérateur A qui épen un paramètre λ est onnée par A λ = lim A(λ + ɛ) A(λ) ɛ 0 ɛ Montrer que (a) A (AB) = λ λ B + AB λ (b) λ A 1 1 A = A λ A 1 (c) exp(λc) = C exp(λc) = exp(λc)c, si C ne épen pas e λ λ () n λ An l 1 A = A λ An l (n 1) l=1 Avec ces résultats calculer (a) (exp(λb)a exp( λb)), λ (b) (exp(λa) exp(λb)), λ où ni A ni B ne épenent e λ F(A, B, C, ) F(A + ɛ1, B, C, ) F(A, B, C, ) On éfinit = lim A ɛ 0 ɛ Montrer que (a) An A = nan 1 (n Z, n 1) (b) exp(a) = exp(a) A 3 Montrer que pour trois opérateurs A, B, C quelconques [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C 4 Soient A et B eux opérateurs qui vérifient la relation [A, B] = i1 et soit F(A, B) une fonction qui est éfinie par la série F(A, B) = où f nm C sont es constantes (a) Montrer par récurrence que (b) Montrer que n,m=0 f nm A n B m, [A, B n ] = inb n 1, [B, A n ] = ina n 1 [A, F(A, B)] = i F(A, B) F(A, B), [B, F(A, B)] = i B A 4

5 Oscillateur harmonique 1 On onne les opérateurs échelle e l oscillateur harmonique, mω0 a = x + i p, mω0 a mω0 = x i p mω0 (a) Donner la représentation matricielle e a et e a ans la base es états propres { u n } e l hamiltonien (b) La même question pour les bases { x } et { p } (c) Résoure les équations u mouvement pour les opérateurs a et a ans l image e Heisenberg (a H (t) et a H (t)) Calculer pour l oscillateur harmonique en une imension les valeurs moyennes suivantes pour les états propres { u n } e l opérateur hamiltonien : (a) x et p (Expliquer le résultat) (b) x et p (c) x p, où x = [x x ] et p = [p p ] 3 On consière un oscillateur harmonique en une imension qui porte une charge Q et qui est exposé à un champ électrique E el constant en irection e sa cooronnée e éplacement, x (On suppose que Q est choisie tel que l énergie baisse si x augmente) (a) Quelle est la forme e l opérateur hamiltonien pour ce problème? (b) Donner les niveaux énergie e cet oscillateur et les fonctions one propres u n (x) associées Conseil : Utiliser la méthoe u complément quaratique pour écrire l opérateur hamiltonien ans une forme convenable pour cet exercice (c) Comment faut-il choisir E el pour que l énergie e l état fonamental soit nulle? 5

6 Moment cinétique 1 Les relations suivantes sont à vérifier en utilisant uniquement l algèbre es commutateurs (voir exercice 3 e la feuille e TD 4) (a) Montrer que [ L, V] = i r V( r), où L = L x e x + L y e y + L z e z et r = x e x + y e y + z e z (b) Avec les relations prouvées ci-essus, montrer que le moment cinétique est une quantité conservée, si V (r) = V ( r ), ie [H, L k ] = 0, k = x, y, z, si V (r) = V ( r ) On suppose que l opérateur e Hamilton a la forme (c) Montrer que H = p m + V( r) [L x, L y ] = i L z, cycl [L k, L ] = 0 () En introuisant L ± = L x ± il y, montrer que L = L+ L + L z L z = L L + + L z + L z, [L +, L z ] = L +, [L, L z ] = L, [L ±, L ] = 0 Montrer explicitement que p [T, L k ] p = 0, où T = p /(m) 6