EXERCICES SUR LES LOGARITHMES ET LES EXPONENTIELLES. 1 ln 1+ = 1. x x. x x. et sh x = e

Transcription

1 Ercic EXERCICES SUR LES LOGARITHMES ET LES EXPONENTIELLES. Démontrr qu : lim + ln + =. En déduir la limit suivant : lim + + [On pourra, par mpl, posr X = ] Ercic On considèr du fonctions, notés ch t sh, définis sur par : ch = + t sh =. Démontrr qu ch' = sh t qu sh' = ch.. Résoudr, sur, ls inéquations sh 0 t ch En déduir ls tablau d variations ds fonctions ch t sh. (On justifira soignusmnt l calcul ds limits n t n + ) Ercic 3 On considèr l polynôm P défini par : P(X) = X 3 + X 5X 6.. Factorisr (au maimum) l polynôm P. (On pourra rchrchr un racin évidnt). Résoudr l'équation = Résoudr l'équation (ln ) 3 + (ln ) 5ln = 6. Ercic 4 Résoudr ls équations suivants :. ln( + ) =. ln[( )] + ln[( + )] = ln 3 3. ln( ) + ln( + ) = 0 4. (ln ) ln 6 = 0 Ercic 5 Simplifir ls prssions suivants : A = ln ln 5 B = ln + ln Ercic 6 Après avoir précisé ls contraints, résoudr :. ln (3 + ) 0. ln ln 0 4. ( ln ) ln 4 = 0 5. ln( ) = (ln ) 6. ln(5 3) = 7. ln( + ) + ln( 3) = ln( + 5) 8. ln(3 ) (ln ) + 3ln = 0 0. ln( + 3) + ln( ) Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag G. COSTANTINI

2 Ercic 7 Résoudr (dans ) l'équation : = 0. [Indication : on pourra posr X = ] Ercic 8 Soit ƒ la fonction défini sur ]0 ; + [ par : ) Calculr la dérivé ƒ '. Qul st son sign? ƒ() = +. ) En déduir si la fonction ƒ st croissant ou décroissant sur ]0 ; + [. Ercic 9 Soit ƒ la fonction défini sur ] ; + [ par : ƒ() = ln( + ) ) Calculr lim ) Calculr la dérivé ƒ '. 3) Étudir l sign d ƒ '. + ƒ() t lim ƒ(). Précisr s'il y a ds asymptots. + 4) Fair l tablau d variations d la fonction ƒ. Ercic 0 Simplifir au maimum l'prssion suivant : A() = ( + ) ( ) Ercic Résoudr ls inéquations suivants : 4 3 ( )( 3) 0 ( + )( + 3) < 0 Ercic Soint n *, ]0 ; + [t (E) l'équation : ln = n. Dans ctt qustion, n =. Drssr l tablau d variation d la fonction ƒ défini sur ]0 ; + [, par : ƒ() = ln. En déduir, qu dans l cas n =, l'équation (E) n'a aucun solution dans ]0 ; + [.. Dans ctt qustion, n st qulconqu. En choisissant la bonn fonction, démontrr, comm ci-dssus, qu l'équation (E) n'a aucun solution dans ]0 ; + [, qulqu soit n *. Ercic 3 Trouvr, mntalmnt, un solution au équations suivants : (sans chrchr à ls résoudr) ln = ln = ln = 3 ln(ln ) = ln ln = ln Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag G. COSTANTINI

3 Ercic 4 Détrminr tous ls coupls ( ; y) d nombrs réls qui vérifint simultanémnt ls du équations : ln( ) + ln( y ) = ln 6 = + y Ercic 5. Démontrr qu, pour tout + : En déduir la valur d : ln + ln( + ) = + ln ln ln( + ) lim + ln. Étudir la limit suivant : lim 0 ln ln( + ) (Indication, lorsqu non nul, on a : =...) Ercic 6 Démontrr qu : lim + = lim 0 = Ercic 7 Étudir ls variations d la fonction ƒ défini sur + par : ƒ(t) = t ln t. En déduir qu pour tous t y d ], + [ : ln < y ln y < y Ercic 8 Démontrr, sans calculatric, qu : ln < (On pourra étudir ls variations d la fonction ƒ défini sur + par : ƒ() = ln ) Problèm Étud d'un fonction avc un logarithm On considèr la fonction ƒ défini sur ]0 ; + [ par : ƒ() = + ln On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr (O, i, j ).. Étudir ls limits d ƒ n 0 + t n +.. Calculr la dérivé ƒ' d ƒ puis résoudr l'inéquation ƒ'() En déduir l tablau d variation d la fonction ƒ. (On précisra la valur act ds évntuls trmums) 4. Tracr la courb C ƒ. (On pourra s placr sur l'intrvall ]0 ; ]) 5. Précisr, à l'aid d'un calcul, ls coordonnés acts du point d'intrsction d C ƒ avc l'a ds abscisss.. Problèm Étud d'un fonction avc un ponntill On considèr la fonction ƒ défini sur * par : ƒ() = 4. On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr (O, i, j ). Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag 3 G. COSTANTINI

4 . Étudir ls limits d ƒ n, 0, 0 + t +.. Calculr la dérivé ƒ' d ƒ t précisr son sign. 3. En déduir l tablau d variation d la fonction ƒ. (On précisra la valur act ds évntuls trmums) 4. Détrminr un équation d la tangnt T à la courb au point d'absciss 0 =. 5. Tracr la courb C ƒ. (On pourra s placr sur l'union [ ; 0[ ]0 ; 5]) Problèm 3 Étud d fonctions comportant ds logarithms. Étudir l sns d variation d la fonction h défini sur l'intrvall ]0 ; + [ par : h() = ln En déduir qu h st strictmnt positiv sur ]0 ; + [.. On définit sur l'intrvall ]0 ; + [ la fonction ƒ par : ƒ() = ln a) Étudir ls limits d ƒ n 0 + t n +. En déduir ls équations ds évntulls asymptots. b) Étudir l sns d variation d la fonction ƒ. c) Tracr la rprésntation graphiqu C ƒ d ƒ dans un rpèr orthonormé. (Sur [0 ; 5]) Problèm 4 Parti A Étud d'un polynôm On considèr la fonction polynôm P défini sur par : P() = Calculr P().. Factorisr, au maimum, l polynôm P. 3. Résoudr sur l'inéquation P() 0. Parti B Étud d'un fonction comportant un ponntill On considèr la fonction ƒ défini sur * par ƒ() =. On not C ƒ sa rprésntation graphiqu.. Étudir ls limits d ƒ n, n 0, n 0 + t n +. En déduir qu C ƒ admt un asymptot vrtical t un asymptot horizontal n dont on précisra ls équations.. Calculr la dérivé ƒ'd ƒ, puis établir qu : ƒ'() = ( ) ( + ) 3. En déduir l tablau d variation d ƒ. 4. Détrminr, par calcul, ls coordonnés ds points d'intrsction d C ƒ avc l'a ds abscisss. 5. Tracr, dans un rpèr (O, i, j ) la rprésntation graphiqu C ƒ d ƒ. (Sur [ 3 ; 3]) Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag 4 G. COSTANTINI

5 Problèm 5 On considèr la fonction ƒ défini sur par : ƒ() = ( + ) On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthonormal (O, i, j ). Limits d ƒ a) Étudir la limit d ƒ n. b) Étudir la limit d ƒ n +. En déduir qu C ƒ admt un asymptot horizontal n + dont on précisra l'équation.. Variations d ƒ a) Montrr qu la dérivé ƒ' d ƒ st défini par : ƒ'() = ( ) b) Résoudr l'inéquation ƒ'() 0. c) En déduir l tablau d variation d la fonction ƒ. 3. Rprésntation graphiqu a) Détrminr un équation d la tangnt T à C ƒ au point d'absciss 0 = 0. b) Tracr la droit T puis la courb C ƒ. (On rprésntra par un doubl flèch ls évntulls tangnts horizontals) Problèm 6 On considèr ls fonctions ƒ t g définis sur ]0 ; + [ par : ƒ() = ( )(ln ) t g() = ln. Drssr l tablau d variation d g.. En déduir qu l'équation g() = 0 admt un uniqu solution dans ]0 ; + [ qu l'on précisra. 3. Drssr l tablau d variation d ƒ. 4. En déduir qu ƒ st positiv sur ]0 ; + [. Problèm 7 PARTIE A. Étudir l sns d variation d la fonction h défini sur l'intrvall ]0 ; + [ par : h () = ln Montrr qu pour tout nombr rél d l'intrvall ]0 ; + [ on a : h () > 0. On définit sur l'intrvall ]0 ; + [ la fonction ƒ par : ƒ () = a) Étudir l sns d variation d la fonction ƒ. ln b) Étudir ls limits d ƒ au borns d l'intrvall ]0 ; + [ t drssr l tablau ds variations d ƒ. 3. On considèr la fonction ϕ défini sur l'intrvall [0 ; + [ par : ϕ ( 0) = 0 ϕ ( ) = ƒ ( ) pour ] 0 ; + [ a) Montrr qu ϕ prolong ƒ par continuité n 0. Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag 5 G. COSTANTINI

6 b) Étudir la dérivabilité d ϕ n 0. En donnr un intrprétation graphiqu. c) Tracr la rprésntation graphiqu C d ϕ dans un rpèr orthonormé (unité : 4 cm). PARTIE B Dans ctt parti, n désign un ntir naturl supériur ou égal à.. Étudir l sns d variation d la fonction h n défini sur l'intrvall ]0 ; + [ par : h n () = n ln En déduir qu pour tout nombr rél d l'intrvall ]0 ; + [ on a : h n () > 0. On définit sur l'intrvall ]0 ; + [ la fonction ƒ n par : ƒ n () = n ln a) On définit sur l'intrvall ]0 ; + [ la fonction g n par : g n () = + ( n) n ln i) Montrr g n st strictmnt décroissant sur l'intrvall ]0 ; + [. ii) Montrr l'istnc d'un uniqu rél a n d ]0 ; + [ tl qu g n (a n ) = 0. iii) Comparr ls nombrs a n t. Qull st la valur d a? b) Démontrr qu pour tout d l'intrvall ]0 ; + [ on a : ' ƒ n g ( ) = n ( ) ( n ln ) c) En déduir l sns d variation d ƒ n. d) Étudir ls limits d ƒ n au borns d ]0 ; + [ t drssr l tablau ds variations d ƒ n. (On n chrchra pas à calculr la valur d l'trmum). ) Montrr qu la fonction ƒ n admt un prolongmnt par continuité ϕ n n 0. Étudir la dérivabilité d ϕ n n 0. En donnr un intrprétation graphiqu. f) Précisr la valur d ƒ (a ), puis tracr la rprésntation graphiqu C d ϕ dans un rpèr orthonormé (unité : 4 cm) Problèm 8 Qustion préliminair : étudir la limit suivant : lim 0 < 0 Soit ƒ la fonction défini sur E = ] ; [ ] ; + [ par ƒ() =. Étudir ls limits d ƒ au borns d son nsmbl d définition. Donnr un intrprétation graphiqu... Étudir ls variations d ƒ sur E. Drssr l tablau d variations d ƒ. 3. On considèr la fonction ƒ prolongant ƒ n à gauch par continuité : ƒ( ) si ƒ () = 0 si = Étudir la dérivabilité à gauch d ƒ n. [On pourra posr X = t utilisr la qustion préliminair] Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag 6 G. COSTANTINI

7 4. S'il rst qulqus minuts, tracr la rprésntation graphiqu d ƒ avc ss élémnts conns (asymptots t tangnts horizontals évntulls). Problèm 9 PARTIE A Étud d'un fonction auiliair Soit g la fonction défini sur ]0 ; + [ par : g() = ln + On not C g la courb rprésntativ d g dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal.. Détrminr ls limits d g n 0 t n +. Qu put-on n déduir pour C g?. Détrminr, à l'aid d la dérivé g', l sns d variation d g. Drssr l tablau d variation d g. 3. Résoudr dans ]0 ; + [ l'équation g() =. 4. Calculr g. En déduir, pour tout appartnant à ]0 ; + [, l sign d g(). 5. Tracr C g n indiquant ls asymptots t tangnts horizontals évntulls. Fair apparaîtr sur l graphiqu l résultat d la qustion 3. PARTIE B Étud d'un fonction t tracé d sa courb rprésntativ Soit ƒ la fonction défini sur ]0 ; + [ par : ƒ() = ( ) ln +. On not C ƒ la courb rprésntativ d ƒ dans l plan rapporté à un rpèr orthogonal. (Unités graphiqus : 4 cm n absciss t cm n ordonné).. Soit appartnant à ]0 ; + [. Vérifir qu ƒ'() = g().. Détrminr ls limits d ƒ n 0 t n Drssr l tablau d variations d ƒ. 4. Détrminr un équation d la tangnt (T) à C ƒ n son point I d'absciss. Précisr la position d C ƒ par rapport à (T). 5. Tracr (T) t C ƒ. Problèm 0 On considèr la fonction ƒ défini par : ƒ() = ln pour ]0 ; + [. On not (C ƒ ) sa rprésntation graphiqu.. En écrivant ƒ() = ln, étudir la limit d ƒ n 0+. La courb (C ƒ ) admt-ll un asymptot vrtical? Si oui, précisr son équation.. Étudir la limit d ƒ n +. La courb (C ƒ ) admt-ll un asymptot horizontal n +? Si oui, précisr son équation. 3. Démontrr qu ƒ'() = ( ln ). 4. Résoudr l'inéquation ln 0. Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag 7 G. COSTANTINI

8 5. En déduir qu : ƒ'() Drssr l tablau d variations d ƒ. Précisr l maimum d la fonction ƒ. 7. Tracr, sur un fuill séparé, la courb C ƒ. Problèm PARTIE A Étud d'un fonction g On considèr la fonction g défini par : g() = ln +, pour ]0, + [.. Calculr g() t g().. Étudir la limit d g lorsqu tnd vrs Étudir la limit d g lorsqu tnd vrs Calculr la dérivé g' d g. En déduir l tablau d variations d g. (On précisra la valur ds évntuls trmums). 5. Justifir qu g st positiv sur ]0, + [. 6. Tracr soignusmnt la courb C g d la fonction g. PARTIE B Détrmination d'un primitiv On considèr la fonction ƒ défini pour ]0, + [ par : ƒ() = + ln En vous aidant ds résultats d la parti A, détrminr la primitiv F d la fonction ƒ vérifiant F() =. Problèm On considèr la fonction ƒ défini sur par : ƒ() =. On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr (O,i, j ).. Étudir la limit d ƒ quand tnd vrs +.. Étudir la limit d ƒ quand tnd vrs. 3. Calculr la dérivé ƒ'd ƒ puis étudir l sign d ƒ'. En déduir l tablau d variations d ƒ. 4. Calculr lim [ƒ() ( )]. En déduir qu C ƒ admt un asymptot obliqu n dont on précisra l'équation. Qull st la position d C ƒ par rapport à? 5. Détrminr l'équation d la tangnt T à C ƒ au point d'absciss. Problèm 3 On considèr la fonction ƒ défini sur ]0 ; + [ par : ƒ() = ( + ) ln On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthonormé (O, i, j ) PARTIE A Étud d'un fonction auiliair Soit g la fonction défini sur ]0 ; + [ par :. Étudir ls limits d g n 0 t n +. g() = + + ln. Calculr g'() puis établir l tablau d variation d g. 3. En déduir qu, pour tout rél strictmnt positif, g() > 0. Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag 8 G. COSTANTINI

9 PARTIE B Étud d la fonction ƒ. Étudir ls limits d ƒ n 0 t n +. Précisr ls évntulls asymptots.. Calculr ƒ'() puis établir l tablau d variation d ƒ (On pourra utilisr l résultat d la qustion A.3.) 3. Détrminr un équation d la tangnt T à C ƒ au point A d'absciss. 4. Tracr très soignusmnt T t C ƒ. Problèm 4 On considèr la fonction ƒ défini sur * par : ƒ() = + On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans l plan rapporté à un rpèr orthogonal (O, i, j ). ) Epliqur pourquoi la fonction ƒ st défini sur *. ) Détrminr ls limits suivants : lim 0 + ƒ() t lim ƒ(). 0 En déduir qu C ƒ admt un asymptot vrtical dont on précisra l'équation. 3) Détrminr ls limits suivants : lim ƒ() t lim ƒ(). + 4) Détrminr ls limits suivants : lim [ƒ() ( )] t lim [ ƒ() ( )] + En déduir qu C ƒ admt un asymptot obliqu + n + t un asymptot obliqu n dont on précisra ls équations. 5) Montrr qu la fonction dérivé ƒ ' d ƒ st défini par : ƒ '() = 5 + ( ) 6) Résoudr l'inéquation : 5 + > 0. 7) Drssr l tablau d variations d la fonction ƒ sur *. pour tout *. 8) Tracr ls droits +, puis la courb C ƒ dans l rpèr (O, i, j ). Problèm 5 Parti A Étud d'un fonction "simpl" Soit u la fonction défini sur par : u() =. ) Étudir ls limits d u n + t n. ) Calculr u'(). Parti B Étud d'un fonction comportant un ponntill On considèr la fonction ƒ défini sur par : ƒ() = ) Étudir ls limits d ƒ n t n +. Précisr ls évntulls asymptots horizontals. ) Calculr ƒ'(). En déduir l tablau d variations (complt) d ƒ. 3) Tracr (soignusmnt) la courb C ƒ rprésntant ƒ dans un rpèr orthonormal. (Unités : 4 cm) 4) Soit A l point d C ƒ d'absciss 0 =. Calculr l'ordonné d A. 5) Détrminr un équation d la tangnt à C ƒ n A. Tracr dans l rpèr.. Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag 9 G. COSTANTINI

10 Problèm 6 L but du problèm st l'étud d'un fonction t l tracé d sa rprésntation graphiqu. ) Soit g la fonction défini sur [0 ; + [ par : g() = + ( ). a) Calculr g'(). Étudir son sign. b) Démontrr qu la limit d g n + st égal à. c) Drssr l tablau d variation d la fonction g. (On précisra g(0)) d) Démontrr qu pour tout d [0 ; + [ on a : g() 0. ) Soit ƒ la fonction défini sur [0 ; + [ par : ƒ() = + 4. Soit C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthonormal (O, i, j ). (Unité : cm) a) Vérifir qu, pour tout d [0 ; + [, on a : ƒ'() = g(). b) Étudir ls variations d ƒ sur [0 ; + [. Précisr la limit d ƒ n +. c) Montrr qu la droit d'équation y = + 4 st asymptot à C ƒ. Étudir la position d C ƒ par rapport à. d) Construir la courb C ƒ t précisr la tangnt à ctt courb au point d'absciss 0. 3) Soit h la fonction défini sur [0 ; + [ par : h() = + 4. a) Tracr sa rprésntation graphiqu D dans l mêm rpèr qu C ƒ. b) Calculr ls coordonnés ds points d'intrsction d C ƒ t D. 4) Démontrr qu l'équation ƒ() = admt un uniqu solution α dans l'intrvall [ ; 3]. Détrminr un valur approché d α à 0 près. Problèm 7 Soit ƒ la fonction défini sur ]0 ; + [ par : ƒ() = + ln ) Démontrr qu la limit d ƒ n 0 st égal à. ) Démontrr qu : ƒ() = (ln ) + ln En déduir qu la limit d ƒ n + st égal à +. 3) Calculr la dérivé ƒ'd ƒ. Démontrr qu l'on a : 4) En déduir l tablau d variation d la fonction ƒ. ƒ'() = ( )(ln ) 5) Tracr la courb C ƒ rprésntant ƒ dans un rpèr orthonormé. (On s limitra à l'intrvall ]0 ; 0]. Unités graphiqus : cm) Problèm Soit ƒ la fonction défini sur ]0 ; + [ par : ƒ() = + ln +. On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthogonal (O, i, j ). ) Démontrr qu la limit d ƒ n + st égal à +. La courb C ƒ admt-ll un asymptot horizontal n +? Si oui, précisr son équation. ) Démontrr qu, pour tout d ]0 ; + [, on a : Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag 0 G. COSTANTINI

11 En déduir qu la limit d ƒ n 0 st égal à. ƒ() = ln + 4 ln + 8 La courb C ƒ admt-ll un asymptot vrtical? Si oui, précisr son équation. 3) Calculr la dérivé ƒ'd ƒ. Démontrr qu, pour tout d ]0 ; + [, on a : ƒ'() = ( 4)(ln + ) 4) En déduir l tablau d variation d la fonction ƒ. (Précisr ls valurs acts ds évntuls trmums) 5) Détrminr un équation d la tangnt T à C ƒ n son point d'absciss 0 =. 6) Tracr la tangnt T t la courb C ƒ. (On s limitra à l'intrvall ]0 ; 5]. Unités graphiqus : cm n absciss t 0,5 cm n ordonné) 7) Résoudr l'équation : ƒ() = ln. Problèm 9 Parti A On considèr un fonction ƒ défini, sur, par : ƒ() = (a + b + c) (a, b t c sont ds réls) On not C sa rprésntation graphiqu dans un rpèr (O, i, j ). On sait qu la courb C pass par l point A(0 ; ) t qu'll admt un tangnt parallèl à (O) au point d'absciss. On sait aussi qu ƒ'(0) = 6.. Eprimr, n fonction d a, b t c la dérivé ƒ d ƒ.. Détrminr ls cofficints a, b t c. Parti B On considèr la fonction ƒ défini, sur, par : ƒ() = ( 5 + ) On not C sa rprésntation graphiqu dans un rpèr (O, i, j ).. Calculr ƒ(0).. Étudir ls limits d ƒ n t n +. Intrprétr graphiqumnt. 3. Calculr la dérivé ƒ d ƒ puis la factorisr. 4. En déduir l tablau d variation (complt) d la fonction ƒ. 5. Détrminr un équation d la tangnt T à C au point d absciss 0. Problèm 0 Soit ƒ la fonction défini sur ]0 ; + [ par : ƒ() = ln( ) ln( ). Démontrr qu : ƒ() = ln ln. Calculr ƒ() t ƒ(4). 3. Calculr la dérivé ƒ' d ƒ. En déduir l tablau d variations d ƒ. 4. À l'aid ds qustions t 3, précisr l sign d ƒ. 5. Détrminr l'nsmbl ds ntirs n pour lsquls on a : n n. Ercics sur ls logarithms t ls ponntills pag G. COSTANTINI