Les fonctions cosinus et sinus

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1 TS Les fonctions cosinus et sinus ) Application à la dérivée de la composée d une fonction affine suivie de la fonction sinus ou cosinus Rappel I. Dérivées des fonctions cosinus et sinus ) Formules (admises sans démonstration) La fonction u : cos est dérivable sur et La fonction v : sin est dérivable sur et ) Autre écriture cos sin ' ' sin cos cos ' sin sin ' cos ) Remarque cos sin ' ' cos sin Avec la notation de LEIBNIZ : d cos sin d d sin cos d (souvent en Pysique, d cos t sin t et d sin t cos t ) dt dt u' sin. v' cos. a et b sont deu réels tels que a. u est une fonction définie et dérivable sur. f est la fonction définie sur par f ( ) u a b. La fonction f est dérivable sur et f '( ) a u ' a b Application. La fonction f : cos (a + b) est dérivable sur et f '( ) a sina b. La fonction g : sin (a + b) est dérivable sur et g '( ) a cosa b On retient : a b a a b cos ' sin a b a a b sin ' cos Généralisation u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.. Les fonctions cos u et sin u sont dérivables sur I et les dérivées sont données par : cos u ' u' sin u sin u ' u' cos u 5 ) Remarque d écriture (très utiles pour les dérivées) f : cos Calculons f ' ().

2 f cos (réécriture) On pose : u cos. f u. u est dérivable sur et On en déduit que f est dérivable sur. u ' sin. D où MM' Ti. Par suite, M est l image de M par la translation de vecteur u Ti. C f M Ti M' f ' u ' u f ' sin cos f ' sin cos j O i +T II. Fonctions périodiques ) Eercice ) Définition f : cos f est une fonction définie sur. T est un réel strictement positif. On dit que f est périodique de période T pour eprimer que (On dit alors que T est une période de f ). ) Représentation grapique Propriété La représentation grapique dans un repère O, i, j invariante par la translation de vecteur u Ti. f T f. Démonstration On note M un point de C f d abscisse et M le point de C f d abscisse + T. d une fonction f périodique de période T est globalement D f = Démontrer que f est périodique de période T. f T f cos cos cos X cos f M M y f M et M' T M' M' y f T f Donc f est périodique de période T. f périodique de période T Donc MM' T

3 ) Une règle à savoir (en eercice, on refait la démonstration) ) Parité a et b sont deu réels tels que a. Les fonctions f : cos a b et g : sin a b Plus généralement, on a la propriété suivante : a et b sont deu réels tels que a. sont périodiques de période T. a u est paire. D u = centré en. u cos cos u On peut donc étudier u et v sur l intervalle [. v est impaire. D v = centré en. v sin sin v Les fonctions f : cos a b et g : sin a b sont périodiques de période T. a ) Variations La fonction u est dérivable sur et u '( ) sin. 5 ) Remarque Lorsqu une fonction est périodique de période T, on peut limiter l étude sur une période c est-à-dire sur un intervalle d amplitude T. III. Étude des fonctions cosinus et sinus SGN de u '( ) Variations de u ) Définition u : v : cos sin Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur mais sont à valeurs dans [ ; ]. u cos u cos La fonction v est dérivable sur et v'( ) cos. ) Périodicité u et v sont périodiques de période. u cos cos u v sin sin v On peut donc étudier u et v sur l intervalle [. v sin v sin v sin SGN de v'( ) + Variations de v 5 6

4 5 ) Représentations grapiques C v admet la droite d équation réduite pour ae de symétrie. C u admet le point A ; pour centre de symétrie. C v C u j i IV. Quelques limites à connaître ) Une limite fondamentale 5 O i A 5 sin On s intéresse lim. sin donc on rencontre une forme indéterminée du type. Les courbes C u et C v sont «sinusoïdes». 6 ) Justification des symétries On va lever l indétermination. Un encadrement de sin pour On considère un cercle C de centre O et de rayon. On note A un point fié de C. On note la tangente en A à C. C u admet l ae des ordonnées pour ae de symétrie dans le plan muni d un repère ortogonal car u est paire. C v admet l origine O du repère pour centre de symétrie car la fonction car v est impaire. C v est l image de C u par la translation de vecteur i. Soit un réel quelconque de l intervalle ;. On note A un point de C tel que AOM. On note T le point d intersection de la droite (OM) et de la droite et H le projeté ortogonal de M sur (OA). cos sin cos sin cos sin u v C O B M H T A tan Rappel : g f a C g = t ai ( C f ) 7 8

5 Rappels de formules : sin L inégalité < tan () donne soit cos sin cos (tout est positif). longueur d un arc de cercle R où R désigne le rayon du cercle et la mesure en radian de l angle au centre associé. On en déduit que ; sin cos. R aire d'un secteur circulaire où R désigne le rayon du cercle et la mesure en radian de l angle au centre associé. On démontre cette formule en utilisant le fait que l aire d un secteur circulaire est proportionnelle à la mesure en radians de l angle au centre associé. On peut effecteur une vérification pour. On obtient que l aire du secteur circulaire vaut R qui correspond bien à l aire d un disque de rayon R. aire d un triangle ABC quelconque sin A bc où b désigne la longueur AC, c la longueur AB et A l angle BAC. Autre métode : L encadrement sin < < tan peut être obtenu directement en comparant la longueur du segment [HM], de l arc AM, du segment [AT]. HM < long AM < AT Donc sin < < tan. Autre métode : On peut se passer du cercle C. Soit OAT un triangle rectangle en A tel que OA. Le cercle de centre O et de rayon coupe le segment [OT] en un point M. A (secteur OAM R ) Limite de sin on écrit ) quand tend vers par valeurs supérieures (c est-à-dire en restant strictement positif ; OA AT tan A (triangle OAT) cos sin donc (téorème des gendarmes pour les fonctions). OAHM sin sin A (triangle OAM) Grapiquement, on a : A (triangle OAM) < A (secteur OAM ) < A (triangle OAT). Limite de sin écrit ) quand tend vers par valeurs inférieures (c est-à-dire en restant strictement négatif ; on sin tan D où () D où sin < < tan () L inégalité sin < () donne sin (tout est positif). 9 sin sin sin Donc

6 sin Conclusion : On retiendra : sin Interprétation : sin lim sin sin sin sin donc l égalité lim permet de dire que la fonction sinus est dérivable en et le nombre dérivé de la fonction sinus en est. On retiendra que le résultat de la limite de sin en est à relier au nombre dérivé de la fonction sinus en. ) Deu autres limites importantes qui se déduisent de la limite fondamentale cos Démonstration : sin cos sin sin V. Démonstrations des dérivées de fonctions cosinus et sinus ) Dérivée de la fonction cosinus On considère un réel fié. On désire étudier la dérivabilité de la fonction cosinus en. est un réel non nul. cos cos cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin On en déduit que la fonction cosinus est dérivable en ) Dérivée de la fonction sinus On considère un réel fié. On désire étudier la dérivabilité de la fonction sinus en. est un réel non nul. sin sin sin cos sin cos sin et cos' cos sin sin cos sin cos Conséquence : Démonstration : cos cos sin sin cos On en déduit que la fonction cosinus est dérivable en sin' et cos.

7 VI. Arccosinus et Arcsinus d un réel ) Arccosinus d un réel Définition cos y Eemple : Arcsin ) Commentaires 6 Les fonctions Arcsinus et Arccosinus sont des fonctions importantes. Elles seront étudiées l année procaine. Leur étude sera complétée par la fonction Arctangente. Les fonctions Arccosinus, Arcsinus, Arctangente seront définies en termes de bijection. Ce sont des fonctions transcendantes ; on ne peut pas les eprimer à l aide des symboles usuels. D après le corollaire du TVI, pour tout réel y [ ; ], il eiste un unique réel [ ; ] tel que cos y (y [ ; ] [ ; ] / cos y ). Ce réel est appelé «Arccosinus de y». On note Arccos y. ) Illustration B Il est possible de donner une formulation de cette propriété en utilisant le mot «antécédent». Touce de la calculatrice TI 8-Plus : nde cos (Arccos) (mode radian) M Eemples : Arccos ( est l unique réel de l intervalle Arccos,, (avec la calculatrice). ; dont le cosinus est égal à ). A' O y A ) Arcsinus d un réel Définition B' sin y Arccos D après le corollaire du TVI, pour tout réel y [ ; ], il eiste un unique réel ; (y [ ; ] ; / sin y ). Ce réel est appelé «Arcsinus de y». On note Arcsin y. tel que sin y 5 ) Eemples pour comprendre la définition Arccos est l unique réel de l intervalle ; tel que cos. Touce de la calculatrice TI 8-Plus : nde sin (Arcsin) (mode radian) Arcsin est l unique réel de l intervalle ; tel que sin.

8 6 ) Eemple d utilisation Imaginons que dans un eercice on ait besoin du réel ; tel que cos. Comme n est pas le cosinus d une valeur connue, on peut définir comme l arccosinus de. C est même l unique manière de définir. On écrira Arccos. Cette égalité définit complètement ; Arccos est l unique réel de l intervalle ; tel que Arccos est la seule écriture de la valeur eacte de. cos. La calculatrice est indispensable pour obtenir le début de l écriture décimale de. Il est possible de construire très facilement sur le cercle trigonométrique le point M image de et donc de faire apparaître comme mesure en radian d un angle orienté. VII. Rappels sur les équations trigonométriques ) Équations du type cos = a a fié On s intéresse à l équation cos = a (). ) Équations du type sin = a a fié On s intéresse à l équation sin = a (). er cas : a On note un réel tel que sin a. () e cas : a > k k ou k ' k ' L équation () n a pas de solution. VIII. Conséquence de la limite de sin en : approimations du sinus et de la tangente au voisinage de ) Propriété Pour «proce» de, on a : sin et tan. er cas : a On note un réel tel que cos a. () e cas : a > k ou k ' k k ' L équation () n a pas de solution. ) Démonstration La tangente en O à la courbe de la fonction sinus a pour équation y (démonstration facile). Au voisinage de O, la courbe de la fonction sinus est donc quasiment confondue avec la droite d équation y. ) Utilisation Ces approimations sont utilisées en pysique (cf. calcul du rayon de la terre selon la métode d Ératostène, diffraction des ondes). Elles sont relativement peu utilisées en matématiques, du moins sous cette forme. Elles seront en revance reprises sous une autre forme dans le supérieur. On peut toutefois mentionner une application évidente au calcul mental pour la détermination du sinus ou de la tangente d un réel proce de sans calculatrice. L énoncé n est pas très précis. Que veut dire en effet «proce de»? Tout ce que l on peut dire c est que plus est proce de, plus l approimation est bonne. En pysique, les conditions d approimation sont précisées dans les énoncés. 5 6

9 ) Remarques On peut retrouver ces approimations géométriquement très simplement en considérant la longueur d un arc d un cercle de rayon intercepté par un angle au centre de radians. Il s agit d approimations linéaires (affines). Dans l enseignement supérieur, on verra des approimations polynomiales plus précises. IX. Utilisation en pysique En pysique, on utiliser couramment des fonctions trigonométriques associées au fonctions cosinus et sinus de la forme t A cos (t + ) et t A sin (t + ) où A, et sont des réels tels que A et. Ce sont des fonction composées de la fonction affine t t + et des fonctions cosinus et sinus. Ces fonctions sont périodiques de période T pulsation et la période T. (on retrouve la formule bien connue en pysique liant la Apendice Appendices : À propos de la périodicité des fonctions du type cos a b et sin a b réels tels que a Propriété générale [composée d une fonction affine suivie d une fonction périodique] Soit f une fonction périodique définie sur de période T T. Soit a et b deu réels tels que a. La fonction g : f a b T est périodique de période T '. a où a et b sont deu Elles sont à valeurs dans l intervalle A ; A. Leur maimum est A et leur minimum est A. Ces fonctions interviennent dans deu nombreu domaines : ondes, électricité, oscillateurs armoniques, marées Démonstration très facile laissée en eercice. L application de cette propriété donne immédiatement que les fonctions f : cos a b g : sin a b sont périodiques de période T. a et Appendice À propos des unités dans les formules de longueur d un arc et de l aire d un secteur. longueur d un arc de cercle R où R désigne le rayon du cercle et la mesure en radian de l angle au centre associé. est toujours en radian. La longueur de l arc est dans la même unité de longueur que R. Par eemple, si R est eprimé en centimètres, la longueur sera eprimée en centimètres. Que se passe-t-il lorsque «l on n a pas d unité»? 7 C est le cas ici, où l on considère le cercle trigonométrique a pour rayon. On sait que, par définition, le cercle trigonométrique a pour rayon. Cela signifie qu il a pour rayon pour l unité de longueur coisie. 8

10 R aire d'un secteur circulaire où R désigne le rayon du cercle et la mesure en radian de l angle au centre associé. est toujours en radian. L aire du secteur circulaire est dans l unité d aire correspondant à l unité de longueur dans laquelle est eprimée R. L unité d aire est égale à l unité de longueur au carré. Par eemple, si R est eprimé en centimètres, l aire du secteur circulaire sera eprimée en cm. Appendice Question d Alliette Ravillion le 9--5 «Ça fait qu une fonction soit paire ou impaire?» Réponse : Lorsqu une fonction est paire ou impaire, on limite (réduit) l étude à la «partie positive» de son ensemble de définition. 9