Fiche méthodologique Fonctions usuelles

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1 Fiche méthodologique Fonctions usuelles BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: = Pelletier Sylvain On liste ici les fonctions à connaître et leur propriétés. Fonction puissance n-ième et racine n-ième { R R Fonction puissance entière Les fonctions x x n, pour n N : réalisent une bijection de R + dans R + si n pair, réalisent une bijection de R dans R si n impair, En + : divergent vers + d autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que si n m et x est grand, x n est très grand devant x m (on note parfois cela : x n x m ). En : «s écrasent» sur l axe horizontal d autant plus que n est grand, ce qui signifie que si n m et x, x n est négligeable devant x m (on note parfois cela : x n x m ). la dérivée en est nulle (tangente horizontale), un point d inflexion en, si n est impair. Figure Les fonctions x x et x x 5 Fonction puissance négative Les fonctions sont strictement décroissante sur R +. { R R x x n, pour n N.

2 En + : on a lim + x n =, tendent vers d autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que si n m et x grand, x n est négligeable devant x m (on note parfois cela : x n x m ). En + : on a lim + x n = + d autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que si n m et x, x m est négligeable devant x n (on note parfois cela : x m x n dépend de la parité de n), ). (en le signe Figure Les fonctions x x et x x Fonction racines cas pair Si n est pair, la fonction x x n est continue et croissante de R + dans R +. On peut donc définir une fonction réciproque : n : { R + R + x n x. Cette fonction est croissante et continue. Elle est définie par : x R +, y R +, x n = y x = n y. cas impair Si n est impair, la fonction x x n est continue et croissante de R dans R. On peut donc définir une fonction réciproque, cette fois-ci définie sur R : { R R n : x n x. Cette fonction est croissante et continue. Elle est définie par : x R +, y R +, x n = y x = n y. Note: Attention avec la fonction puissance : la notation x a est réservée au cas où x > et désigne dans ce cas exp(a ln(x)).

3 En effet, si x R et si n est entier, on peut toujours définir x n par x } x {{ x x }. Ainsi, la fonction n fois x x n est bien définie pour x R et n N en n utilisant que le produit. On a alors les relations x n+m = x n x m et (x n ) m = x nm. En passant par l inverse, on peut définir si (x ) et n N, x n = x. Ainsi, la fonction x x k est bien n définie pour x R et k Z en n utilisant que le produit et le passage à l inverse. Les relations x n+m = x n x m et (x n ) m = x nm restent alors vraies. La situation se complique si on veut définir x p q pour p Z, q N et x < : déjà n est pas défini ] puisqu il n existe pas de solution à l équation x =. De plus, si on considère [( ), on a d un côté : [( ) ] = ( ) et de l autre [( ) ] = ( ) =. On se restreint donc à x >, et on définit x p q pour p Z, q N : comme (x p ) q, c est-à-dire comme la solution de l équation en y q = x p d inconnue ( y (cette ) équation a toujours une solution unique). Notons que l on a la relation : (x p ) p ) q = x p q = x q. En effet, (x q est la solution de l équation y q = x [ ] ( ) q [ ] p ( ) pq ( ) p q (d inconnue y), et on a donc : x q = x q = x q = x p. Ainsi, x p q est parfaitement défini si x >, p Z et q N, par la composée de fonction puissance et de réciproque de fonction puissance. Par contre, si on considère x ou x, on ne peut plus écrire cela en utilisant des fonctions puissances et leur réciproque. On est donc amené à définir x comme e ln(x). On retiendra : ne pas écrire x a sans être assuré que x >, dans ce cas la notation x a désigne e a ln(x). Note: Pour une suite de la forme (u n ) vn il faut aussi systématiquement revenir à la forme exponentielle pour calculer la limite. Les propriétés de ces fonctions sont : en : elles vérifient n =, avec de plus tangente verticale en, plus n est grand, plus les fonctions sont verticales, en + : elles vérifient lim n + x = +, d autant plus vite que n est petit. Ce qui signifie que n si n m, x est négligeable devant m n x (on note parfois cela : x m x). en, on a n = et elles sont d autant plus plates que n est grand. Figure Les fonctions x x et x x

4 Fonctions trigonométriques Définition. On dit qu une fonction f : D R est T périodique si [ ] x R, x D x + T D et f(x + T ) = f(x). Autrement dit son ensemble de définition est invariant par translation de vecteur T et sa courbe représentative aussi. Dans ce cas on a par récurrence immédiate n Z, f(x + nt ) = f(x). Fonction sinus La fonction sinus est définie sur R, périodique et impaire, sa dérivée vaut : sin (x) = cos(x). La tangente en a pour coefficient directeur. Ce qui signifie que : sin(x) lim =. x x La fonction est en-dessous de sa tangente pour x > donc x >, sin(x) < x. Tangente horizontale aux points tels que [ ]. Fonction cosinus La fonction cosinus est définie sur R, périodique et paire, sa dérivée vaut : cos (x) = sin(x). La tangente en est horizontale. On a : cos(x) lim x x = Figure Fonctions cosinus et sinus

5 Fonction tangente par La fonction tangente est définie sur { } R \ + k k Z = ] + k, [ + k, k Z x, tel que cos(x), tan x = sin x cos x. Elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition avec : En, la tangente est y = x : tan (x) = + tan (x) = tan x lim = x x cos (x). et la fonction est au dessus de sa tangente : x >, tan(x) > x. Enfin, la fonction est impaire. 5 5 Figure 5 Fonction tangente Valeurs à connaître x sin x cos x tan x + Fonctions trigonométriques réciproques Fonction arcsinus Notons s la restriction de la fonction sin à l intervalle [, ]. Sur cet intervalle, la fonction s est croisante strictement et continue à valeur dans [, ]. Donc on peut définir sa fonction 5

6 réciproque : arcsin : c est une fonction continue et strictement croissante. Elle est définie par : x { [ [, ], ] x arcsin(x) [, ], y [, ], sin(x) = y x = arcsin(y) On a donc : et x [, ], arcsin(sin(x)) = x y [, ], sin(arcsin(y) = y. Attention : la première relation a un sens si x / [, ], mais elle n est pas vraie alors : par exemple, arcsin(sin())) = arcsin() =. Proposition. La fonction arcsin est impaire. Démonstration. Soit y [, ], et soit x = arcsin(y) [, ]. On a : sin( x) = sin(x) = y. Comme x [, ], on peut composer par arcsinus pour obtenir : x = arcsin( y). Note: La même démonstration montre que si f est impaire, f est impaire. Tableau de valeurs : y arcsin(y) Application Soit x R, exprimer arcsin(sin(x)) en fonction de x. Proposition. La fonction arcsinus est dérivable sur ], [ et En particulier, on a x ], [, arcsin (x) = x ], [, arcsin(x) = Démonstration. Voir la dérivation des bijections réciproques. x x. du u. Fonction arccosinus On note c la restriction de la fonction cosinus à [, ]. Sur cet intervalle, la fonction c est décroissante de [, ], dans [, ]. On peut donc définir la bijection réciproque : arccos : { [, ] [, ] x arccos(x) c est une fonction continue et strictement décroissante.

7 Figure Fonction sin et arcsin Elle est définie par : x [, ], y [, ], cos(x) = y x = arccos(y) On a donc : et x [, ], arccos(cos(x)) = x y [, ], cos(arccos(y) = y. Cette fois encore, la première relation est fausse dès que l on sort de l intervalle [, ]. Tableau de valeurs : y arccos(y) 5 Application Soit x R, donner l expression de arccos(cos(x)) Application Montrer que x [, ], arccos(x) + arcsin(x) =. Proposition. La fonction arccosinus est dérivable sur ], [ et x ], [, arccos (x) =. x 7

8 En particulier, on a x ], [, Note: La fonction arccos n est ni paire ni impaire. arccos(x) = x du u. Figure 7 Fonction cos et arccos Fonction arctangente Soit t la restriction de la fonction tangente à ], [, sur cet intervalle t est strictement croissante et continue, à valeur dans R. On peut donc définir sa bijection réciproque : { ] R arctan :, [ x arctan(x) c est une fonction continue et strictement croissante. Elle est définie par : ] x, [, y R, tan(x) = y x = arctan(y) On a donc : et x ], [, arctan(tan(x)) = x y R, tan(arctan(y) = y. Proposition. La fonction arctan est impaire. 8

9 Tableau de valeurs : y arctan(y) + Proposition 5. La fonction arctangente est dérivale sur R, avec : x R, arctan (x) = x +. Application Prouver que x >, arctan(x) + arctan ( ) = x. Que se passe t il pour x <? Figure 8 Fonction tangente et arctangente Logarithme et exponentiel Logarithme Définition. Le logarithme népérien est l unique primitive de la fonction x x ], + [, qui s annule en. C est donc l application ln : ], + [ R définie par sur l intervalle x >, ln(x) := x dt t. 9

10 Le logarithme népérien est donc une application continue, strictement croissante et indéfiniment dérivable sur l intervalle ], + [. En particulier, on a x >, ln (x) := x. Proposition. Le logarithme d un produit est la somme des logarithme. x >, y >, ln(xy) = ln(x) + ln(y). () Démonstration. Soit x >, la fonction y > ln(xy) ln(y) admet pour dérivée x xy y cette fonction est constante et égale à f() = ln(x). =. Donc Note: Cette propriété est fondamentale : dans une expression avec un ln, il faut toujours se demander si on peut l utiliser. Attention à bien vérifier que x et y sont strictement positifs. Remarque: Il faut que Comme ln() =, le logarithme de l inverse est l opposé du logarithme. ( x >, ln = ln(x). x) Plus généralement, le logarithme d un quotient est la différence des logarithmes. ( ) x x >, y >, ln = ln(x) ln(y). y et la logarithme d une puissance est x >, n Z, ln(x n ) = n ln(x). Le logarithme népérien n est pas la seule application vérifiant la propriété. En effet, elle est vérifiée par les logarithmes définis pour d autres bases de la façon suivante : Définition. Le logarithme en base a > est l application log a :], + [ R définie par x >, log a (x) := ln(x) ln(a). Le logarithme en base sera simplement noté log ou Log au lieu de log. Proposition 7. lim x + ln(x) = et lim x + ln(x) = +. La fonction ln est donc bijective de R + dans R et de même pour a >, le logarithme log a :], + [ R est une application bijective et strictement croissante. La fonction ln est en-dessous de sa tangente en : Proposition 8. On a : x >, x x Démonstration. En effet les fonctions sont dérivables, avec < ln( + x) < x. φ : x ln( + x) x, et ψ(x) : x ln( + x) x + x φ (x) = + x = x + x <, et ψ (x) = + x + x = x + x >. On a donc φ strictement décroissante φ() =, tandis que ψ est strictement croissante avec ψ() =, donc x >, φ(x) >, et ψ(x) <.

11 5 5 Figure 9 Fonction x ln(x) Exponentielle réelle Définition. L exponentielle exp : R ], + [ est la bijection réciproque du logarithme népérien ln :], + [ R. Pour simplifier, on introduit le nombre e défini par e := exp(), e est donc l unique solution de ln(x) =. On a la valeur numérique e =.78888, puis on introduit la notation : x R, e x := exp(x). Cette notation est justifié car on a x R, ln(e x ) = x. L exponentielle est strictement croissante. De plus, lim x e x = et lim x + e x = +. Proposition 9. L exponentielle d une somme est le produit des exponentielles. (x, y) R, e x+y = e x e y. () En, conséquence : x R, e x = e x. Et plus généralement, l exponentielle d une différence est le quotient des exponentielles. (x, y) R, e x y = ex e y. Démonstration. e x+y est l unique solution de ln(e x+y ) = x + y, or on voit que e x e y est une solution de cette équation.

12 Proposition. L exponentielle réelle est une application continue et indéfiniment dérivable sur R. De plus, on a x R, exp (x) = exp(x). Si f : I C est dérivable en a I, alors la fonction g : x e f(x) est dérivable en a et on a d dx (ef(x) )(a) = g (a) = f (a)e f(a). La fonction exponentielle est au-dessus de sa tangente : Proposition. On a : x, + x < e x. Démonstration. On pose φ(x) = e x x, alors φ (x) = e x > pour x > et φ (x) < pour x <, donc x φ(x) > φ() =. Croissance comparée logarithme/exponentielle/puissances Proposition. Pour α >, on a lim x + ln(x) =, lim xα x xα ln(x) =, + e x lim x + x α = + lim x xα e x = Figure Fonction exponentielle Exponentiel complexe Définition 5. Si z C, avec z = a + ib, on appelle exponentielle du nombre complexe z, le nombre complexe e a e ib noté e z. Cette définition permet donc de prolonger l exponentielle au nombres complexes, en gardant la propriété e z+z = e z e z. Attention, si a C, e a = e a+i, on ne peut donc pas définir le logarithme d un nombre complexe non nul en posant ln(ρe iθ ) = ln(ρ) + iθ, parce que θ est défini à près.