Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11

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1 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation ) Définition et interprétation géométrique : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. La fonction est dérivable en a si le tau d accroissement f f ( a) admet une ite finie quand tend vers a. a f ' a. Cette ite, appelée nombre dérivé de f en a, est notée Si on maintenant, considère la courbe représentative C f de f O, i, j du plan, cette courbe admet une tangente dans un repère au point d abscisse a. Le coefficient directeur de cette tangente est f (a). Plus précisément, l équation de cette tangente est y f '( a)( a) f ( a) = +. Si une fonction f est définie et dérivable en tout point d un un intervalle I de R. On définit alors, sur I, sa fonction dérivée, notée f ', par f ': f '. Eemple : la fonction «racine carrée» est définie sur R mais seulement dérivable sur R.

2 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur ) Formules de dérivation : ( a, b R, n Z fiés) Dérivées des fonctions usuelles : Fonction Définie sur Dérivable sur Dérivée Constante : a R R Nulle : Identité : R R Affine : a + b R R Constante : a Carré : R R Puissance : Inverse : Racine : Sinus : n R R Puissance : R + R R + R n sin R R Cosinus : cos Opposé de sinus : Cosinus : cos R R sin π π Tangente : tan R \ { + kπ, k Z } R \ { + kπ, k Z } + tan = cos n Opérations sur les fonctions dérivables : Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle. Alors f est aussi Si f est de la forme : dérivable et f ' = A condition que : u + v u ' + v ' a u, a R fié a u ' u v u ' v + u v ' v u v v' v v u ' v u v' v v n n u, n Z n u ' u u dans le cas où n u sin u u ' u u 'cosu u > cosu u 'sin u

3 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 3 sur 3) Fonctions composées Définition : Etant donnée une fonction f définie sur un intervalle I et une fonction u définie sur un intervalle J telle u I pour tout J, on peut définir sur J une troisième fonction g définie par g = f u. = f ( u ) On dit alors que la fonction g est la composée de la fonction u par la fonction f et on peut noter g = f u. On a g g = f u = f ( u) Eemples : Déterminer ) f = u = + g = ) f = + u = g = ) f = u = + g = ) f = + u = g = ) f = 3 u = cos g = dans les cas suivants Remarque : Attention pour composer, il faut bien respecter l ordre des fonctions. Propriété : Etant donnée une fonction et une fonction u dérivable sur un intervalle J telle u I pour tout J, la fonction composée Eemples : f u f dérivable sur un intervalle I est dérivable et sa dérivée ( ) + ( ) sin sin 3 9 est donnée par u ' f '( u) Eercices,, 5, 6, 7, 8, 9 et de la feuille d eercices «Fonctions, variations et ites»

4 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 4 sur II) Limites d une fonction ) Limite à l infini a) Définitions Définitions : Etant donnée une fonction f, on dira quelle tend vers L quand tend vers + si pour tout h >, on a L h < f < L + h "pour assez grand". tend vers + quand tend vers + si pour tout M >, on a M < f "pour assez grand". tend vers + quand tend vers si pour tout M >, on a f < M "pour assez grand". Eemples : Démontrer les ites de quelques fonctions usuelles :,... Remarques : On utilisera ces définitions pour démontrer le théorème «des gendarmes» On peut utiliser la calculatrice pour faire une conjecture, mais toute ite devra ensuite être soigneusement justifiée. Attention : Toute fonction n admet pas forcément une ite. Par eemple, les fonctions trigonométriques sinus et cosinus n admettent pas de ite en l infini. b) Limite des fonctions usuelles Fonction affine a + b avec a > Fonction affine a + b avec a > Fonction puissance p, avec p N, 4 6 e:,,... Fonction puissance p+, avec p N, 3 5 e : =,,.. Fonction inverse, sur R Fonction racine, sur + R + Si a < a + b = + a + b = + Si a < a + b = a + b = + ± p = + + p+ p+ = + = = ± = + + = + = +

5 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 5 sur c) Opérations sur les ites (L et L désignent des nombres réels). Sommes de fonctions Si f = L L L + + Eemple : On cherche à déterminer la ite de 3 + en On a : = + et = donc d'après le tableau + = Produit d une fonction par une constante * On se donne k R Si f = L + ± Alors k f = k L ± + si k > si k < Eemple : On cherche à déterminer la ite de On a : ± Si g ± Alors [ f g ] ± si k > si k < 4 5 en. = + donc d'après le tableau 5 = = L = L+L + + FI FI est l'abréviation de "forme indéterminée". Cela signifie que l'on ne peut pas conclure dans le cas général et qu'il faut faire une étude plus fine. 3. Produit de deu fonctions Si f = L L + + ± Si g ± Alors f g = ± = L ± ± + L L' ± règle des signes Eemple : On cherche à déterminer la ite de ( ) On a : + + = + = ( )? + donc d'après le tableau + 4. Inverse d une fonction avec avec Si f = L ± ± f > f < Alors f ( = ± ) L + en +. ( ) = Eemple : On cherche à déterminer la ite de en On a ( + 5) = = +. Donc d'après le tableau = Quotient de deu fonctions Si f = L L L ± ± ± ± Si g ± = L ± L et g est de signe constant Alors f = L ± ± ± ± g L' règle des signes règle des signes règle des signes On peut résumer toutes les opérations sur les ites par (α désigne une ite réelle non nulle): ±??

6 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 6 sur Somme : α + + = + α + = = + + = + + = FI Produit : ( ± ) α ± = ± ± ± = ± règle des signes règle des signes = FI α ± α ± ± Quotient : = = = ± = = ± = FI = FI ± ± ± α ± ± règle des signes règle des signes d) Limites infinies des polynômes et fonctions rationnelles Eemple avec un polynôme : On cherche à déterminer la ite de + en. On a : = + et = donc d'après le tableau c'est une FI. Pour lever l indétermination, il faut travailler plus finement. On met en facteur : + = + si est non nul ( ce qui est le cas quand tend vers + ) = + et + = donc ( + ) = Comme on rencontre très souvent ce genre de situation, on peut utiliser un théorème général : Théorème : La ite en ± d'un polynôme est égale à la ite en ± de son monôme de plus haut degré. Eemples d application (et de rédaction) : = 3 = ou = 4 = + Eemple avec une fonction rationnelle : 3 On cherche à déterminer la ite de + en +. On a ( ) ( ) 3 = + et + = + donc d'après le tableau c'est une FI. + + Pour lever l indétermination, il faut travailler plus finement. On met respectivement et en facteur : 3 3 = et si est non nul ( ce qui est le cas quand tend vers ) + = Alors 3 = =. Et et = + = donc = Comme on rencontre très souvent ce genre de situation, on peut utiliser un théorème général : Théorème : La ite en ± d'une fonction rationnelle est égale à la ite en ± du rapport de ses monômes de plus haut degré. Eemples d application : = = = et = = =

7 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 7 sur e) Conséquences graphiques : asymptotes horizontales et obliques Propriété: Asymptote horizontale Si la fonction f vérifie f = a, alors la droite d'équation y = a + est une asymptote horizontale en + à la courbe de f. Si la fonction f vérifie f = a, alors la droite d'équation y = a est une asymptote horizontale en à la courbe de f. Eemples : La courbe de la fonction inverse admet une asymptote horizontale en + et en - : l ae des abscisses d équation y =. En effet : = et = + Propriété: Asymptote oblique La droite d'équation y = a + b est une asymptote oblique à la courbe de la fonction f en + si f a + b =. + La droite d'équation y = a + b est une asymptote oblique à la courbe de la fonction f si f a + b =. Remarque : Une asymptote horizontale est un cas particulier d asymptote oblique, c est le cas où la pente a est nulle Eemple : On considère la fonction définie sur /{-}. + Montrer que la droite d équation y = + est asymptote à la courbe en + et en f ( + ) = ( + ) = = en f ( ) + + = = + + f ( ) + = = + La droite d équation y = + est donc bien asymptote à la courbe en + et en. Eercice de la feuille d eercices «Fonctions, variations et ites»

8 Terminale S Chapitre : Généralités sur les fonctions Page 8 sur f) Position d une courbe par rapport à son asymptote Situation : Une fois que l on a établi l eistence d une asymptote horizontale ou oblique à droite ou à gauche (c est à dire : en + ou en ), il est légitime de se poser la question de la position de la courbe par rapport à cette asymptote. Méthode : On étudie le signe de f ( a + b) Si f ( a b) Si f ( a b) Si f ( a b) + > alors la courbe est au dessus de l asymptote. + = alors la courbe coupe l asymptote. + < alors la courbe est au dessous de l asymptote. On présente généralement ces conclusions sous la forme d un tableau. Eemple : Intersection avec la courbe f ( ) = * L'ensemble de définition est. [ f ( ) ] = = + + donc la droite d'équation y = est asymptote à la courbe. On résout l'équation f ( ) = = = Cette équation n'ayant pas de solutions, la courbe ne coupe jamais l'asymptote. Attention, la courbe est en deu morceau, l un est au dessus de l asymptote, l autre dessous, et pourtant il n y a pas d intersection.. Eemple : Intersection et Positions relatives f ( ) = * L'ensemble de définition est. [ f ( ) ] = = = donc la droite horizontale d'équation y = est asymptote à la courbe. On cherche à déterminer le signe de f ( ) = = Comme est positif, le signe de dépend de. + + f ( ) + + Positions relatives C / C / /C La courbe coupe l'asymptote en =. On a f =. Le point d'intersection a donc pour coordonnées ;

9 Terminale S Chapitre : Généralités sur les fonctions Page 9 sur ) Limites au bord d une valeur interdite a) Une évidence Propriété: Si f est une fonction dérivable au voisinage de a, alors f = f ( a). Eemple : ( ) a 3 = 3 = 4 3 = car une fonction polynôme est dérivable sur. Remarque : En fait cette propriété est celle des fonctions continues que l on verra au chapitre. b) Opération sur les ites Les théorèmes concernant les ites et les opérations sur les fonctions sont encore valables. Remarque : Il y a deu ites au bord d une valeur interdite, une à droite, une à gauche. Ces ites peuvent être égales ou différentes. Eemple : On cherche à déterminer les ites de ( ) On a =. > au bord de sa valeur interdite : ( ) D'après le tableau, son inverse tend vers + ou suivant le signe de Il faut donc distinguer deu cas: Si >, c'est à dire quand > on a : = +. C'est la ite à droite. Si <, c'est à dire quand < on a : =. C'est la ite à gauche La fonction < a donc deu ites en, l une à droite, l autre à gauche. Eemple : On cherche à déterminer les ites de On étudie le numérateur : ( ) + = + =. Pour le dénominateur, on distingue deu cas : + + A droite : ( ) = et pour le quotient: = + > > + A gauche : ( ) = et pour le quotient : = < < + au bord de sa valeur interdite.

10 Terminale S Chapitre : Généralités sur les fonctions Page sur c) Asymptotes verticales Propriété: Si une fonction admet des ites infinies en a alors sa courbe présente une asymptote verticale d'équation = a. Eemple : + La fonction admet une asymptote verticale en. + + = + et = > < Attention!! Ce n est pas parce qu une fonction n est pas définie en a que sa courbe présente une asymptote verticale en a. sin f =. Contre-eemple : la fonction f définie par Cette fonction n est évidemment pas définie en. Et sa courbe ne présente pas d asymptote. En effet, étudions les ites en. sin sin sin Comme =, c est le tau d accroissement de la fonction sinus en. Il a pour ite la dérivée de sinus en, c'est-à-dire Les ites en ne sont pas infinies, mais égales à. cos =. π π Eemple : la fonction tangente (étude sur,, puis etension par périodicité) 3) Limite d une fonction composée Propriété: α, β et δ représentent trois réels ou éventuellement + ou. On se donne alors deu fonctions f et g telles que f g soit définie pour " voisin de α ". α β Si g = β et si f = δ alors f g = δ. α Eemple d application : Limites au bords de l ensemble de définition de + = + composée + = + + u = u + Remarque : Pas de panique, ça va naturellement servir quand on aura des ites du type ln u ( ) ou Eercices, 3, 4 et 5 de la feuille d eercices «Fonctions, variations et ites» u e

11 Terminale S Chapitre : Généralités sur les fonctions Page sur 4) Théorèmes de comparaison Théorème des gendarmes: α représente un réel ou éventuellement + ou et l R. On se donne trois fonctions u, v et f définies pour " voisin de α ". = = Si u v l et si u f v alors f = l. α α Démonstration (ROC) On démontre dans deu cas ( α R et α = + ) en utilisant les définitions α Eemple d application : sin + Théorème du gendarme: α représente un réel ou éventuellement + ou.. On se donne trois fonctions u, v et f définies pour " voisin de α ". Si u = + et si u f alors f = +, α α Si u = et si f u alors f =. α α Eemple d application : sin + Eercices 6 et 7 de la feuille d eercices «Fonctions, variations et ites»

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