Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions

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1 Généralités sur les fonctions Stépane PASQUET, 4 octobre 06 C Sommaire Limites aux infinis Limite en un nombre fini, ite à droite, ite à gauce d un nombre fini Limites de fonctions usuelles en un nombre fini Asymptote orizontale Asymptote verticale Règles sur les ites Limite d une fonction composée Fonction continue Fonctions usuelles continues Téorème des valeurs intermédiaires Corollaire du téorème des valeurs intermédiaires Fonctions sinus et cosinus Parité et périodicité Limites particulières Dérivée des fonctions sinus et cosinus Dérivée d une fonction f(ax + b Dérivées usuelles Prérequis Dérivation (classe de re Suites numériques

2 Limites aux innis La notion de ite aux innis pour les fonctions est la même que pour les suites numériques. La ite aux innis d'une fraction rationnelle est la même que celle du quotient des termes de plus aut degré. Démonstration Soit la fonction rationnelle f(x = P (x, où P est un polynôme de degré n et Q, un polynôme Q(x de degré m. Alors, f(x = a nx n + a n x n + + a x + a 0 b m x m + b m x m + + b x + b 0 = a nx ( n + a n x b m ( + b m x + a n + + a x 0 x n + b m + + b x 0 x m Or, et On en déduit alors que : a n x ± x = a n a 0 = = x ± x x ± x = 0 n b m x ± x = b m b 0 = = x ± x x ± x = 0. m a n x n f(x = x ± x ± b m x. m x + ( x 5x + 3 = 8x + 7 x + = x + =. ( x 8x ( x 4

3 Définitions Soit a un nombre réel et soit f une fonction. On dit que f tend vers + lorsque x tend vers a quand tout intervalle de la forme ]A ; + [ contient toutes les valeurs de f(x pour x très proce de a. On note alors f(x = +. On dit que f tend vers lorsque x tend vers a quand tout intervalle de la forme ] ; A[ contient toutes les valeurs de f(x pour x très proce de a. On note alors f(x =. On appelle ite de f à droite de a la ite de f lorsque x tend vers a par valeurs supérieures à a. On note alors x>a f(x. On appelle ite de f à gauce de a la ite de f lorsque x tend vers a par valeurs inférieures à a. On note alors x<a Limite en un nombre ni, ite à droite, ite à gauce d'un nombre ni f(x. Remarques Lorsque a est une valeur interdite de f, il se peut que la ite à droite de a soit diérente de celle à gauce. Par exemple, pour la fonction inverse : Lorsque f(x = x<a x>a x 0 x<0 ( x = ; x 0 x>0 ( x f(x, on écrira : f(a = f(x. = +. x 0 x>0 x 0 x>0 ( x = +. ( = +, n x n N. Limites de fonctions usuelles en un nombre ni x 0 x<0 x 0 x<0 ( x n ( x n+ = +, n N. =, n N. Définition Asymptote orizontale Soit f une fonction telle que f(x = L. x ± Alors, la droite d'équation y = L est appelée une asymptote orizontale à la courbe représentative de f en ±. 3

4 D C Nous avons ici l'illustration du fait que f(x = f(x = : la courbe représentative x + x C de f se rapproce de la droite D d'équation y =. Remarquez que la courbe peut couper l'asymptote! Définition Soit f une fonction telle que f(x = ± ou f(x = ±. x>a Alors, la droite d'équation x = a est appelée une asymptote verticale à la courbe représentative de f en a. x<a Asymptote verticale C D Nous avons ici l'illustration du fait que x 4 x< 4 f(x = et f(x = +. La droite D x 4 x> 4 d'équation x = 4 est donc une asymptote verticale à C en 4. 4

5 Les règles sur les ites sont les mêmes que celles vues pour les suites. Règles sur les ites Téorème Soient f et g deux fonctions. On dénit la fonction par : Limite d'une fonction composée Alors, (x = g (f(x. (x = g(x, où y = f(x, x α X y x α α pouvant représenter un nombre ni ou un inni. Soit f(x = x +. ( x + = + x X + X = + f(x = +. x Soit f une fonction et soient (u n et (v n deux suites telles que u n = f (v n pour tout entier naturel n. Si n + v n = l (ite nie ou innie, alors u n = f(x. n + x l On considère la suite dénie par u n =, où v n = n + + v n n + 3. v n = n + donc u n = n + + = 3. Définition Soit f une fonction dénie sur un intervalle I de R, et soit a I. Si f(x = f(x = l, on dit que f est continue en a. x>a x<a Si f est continue en tout point a de I, on dit alors que f est continue sur I. Fonction continue 5

6 Remarque Dire qu'une fonction est continue sur I signie que l'on peut tracer sa courbe représentative en un seul morceau sur I (sans lever le crayon. On admet que les fonctions polynômiales, la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue sont continues sur leur domaine de dénition. On admet aussi que : Fonctions usuelles continues le produit de deux fonctions continues sur I est une fonction continue sur I ; Le quotient de deux fonctions continues sur I dont le dénominateur ne s'annule pas sur I est une fonction continue sur I. s La fonction x est continue sur ] ; 0[ et ]0 ; + [. On n'écrira pas qu'elle est continue x sur R. La fonction x x + 3x + x est continue sur R. + x + En eet, la seule valeur interdite est x = et sur ] ; [ et sur ] ; + [, cette fonction est continue comme quotient de deux fonctions continues (deux polynômes. x Finalement, la fonction est continue en et donc sur R. Or, pour x, x + 3x + x + x + = x x, donc ( x + 3x + x + x + = = 3. Toute fonction dérivable sur un intervalle I de R est continue sur I. Démonstration Soit f une fonction dérivable sur I, et soit a I. On peut écrire : f(x f(a f(x f(a = (x a x a f(a + f(a = en posant = x a Ainsi, ( f(a + f(a (f(x f(a = 0 = (f (a 0 = 0. car f ets dérivable en a On a alors : f(x = f(a, ce qui signie que f est continue en a. 6

7 La réciproque est fausse : il existe des fonctions continues sur un intervalle qui ne sont pas dérivables. Par exemple, la fonction x x n'est pas dérivable en 0, mais elle est continue sur R. Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, et soit (u n une suite de réels dénie par la relation u n+ = f (u n telle que, pour tout entier naturel n, u n I. Si u n = l (ite nie, alors f(l = l. n + On considère la suite (u n dénie par : u 0 = 0 ; u n+ = u n. On peut démontrer par récurrence que : u n+ u n 0 et ensuite en déduire la convergence de la suite (suite décroissante majorée. Ainsi, sa ite l est telle que f(l = l, soit l = l. On en déduit que l = 0 ou l =. Or, l > 0 donc l =. Téorème Téorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] de R. On note respectivement m et M le minimum et le maximum de f(x sur [a ; b]. Pour tout réel k tel que m k M, l'équation f(x = k admet au moins une solution dans [a ; b]. On considère la fonction f dénie par f(x = 0, 5x 3, 6x 6, 5x + 00 : C f D... 7

8 (suite L'équation f(x = 60 admet une unique solution sur [ 0 ; 0] car : f est continue sur cet intervalle ; m = f( 0 et M = f(0 ; 60 [m ; M]. Téorème Corollaire du téorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b] de R. Pour tout réel k compris entre f(a et f(b, l'équation f(x = k admet une unique solution dans [a ; b]. On considère la fonction f dénie par f(x = x 3 + x : 3 D L'équation f(x = admet une unique solution sur [ ; ] car : f est continue et strictement croissante sur cet intervalle ; f( = 0 et f( = 8, donc [f( ; f(]. Définitions La fonction sinus est la fonction : Fonctions sinus et cosinus sin : R [ ; ] x sin x La fonction cosinus est la fonction : cos : R [ ; ] x cos x Parité et périodicité La fonction sinus est impaire et π-périodique. La fonction cosinus est paire et π-périodique. 8

9 Démonstration Pour tout réel x, on a : sin( x = sin x donc la fonction sinus est impaire. De plus, sin(x + π = sin x ce qui signie que la fonction sinus est π-périodique. Pour tout réel x, on a : cos( x = cos x donc la fonction cosinus est impaire. De plus, cos(x + π = cos x ce qui signie que la fonction cosinus est π-périodique. Les courbes représentatives des deux fonctions sont : 3π π π O π π y = cos x 3π - y = sin x s sin x x 0 x = ; cos x x 0 x = 0. Limites particulières On admettra ces deux ites. s Pour tout réel x, sin (x = cos(x ; cos (x = sin(x. Dérivée des fonctions sinus et cosinus 9

10 Démonstration Le nombre dérivé de la fonction sinus en a s'écrit : Or, 0 sin(a + sin a. sin(a + sin a = sin a cos + cos a sin sin a = sin a cos + cos a sin Donc, d'après la propriété précédente, sin(a + sin a 0 D'où la première formule en remplaçant a par x. Le nombre dérivé de la fonction cosinus en a s'écrit : Or, 0 = sin a 0 + cos a = cos a. cos(a + cos a. cos(a + cos a = cos a cos sin a sin cos a = cos a cos sin a sin Ainsi, D'où la seconde formule. cos(a + cos a 0 = cos a 0 sin a. Téorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors, pour tout x J tel que ax + b I, Dérivée d'une fonction f(ax + b f (ax + b = af (ax + b. 0

11 Démonstration On pose g(x = f(ax + b. Pour tout réel strictement positif et pour tout réel a non nul, on a : g(x + g(x f(a(x + + b f(ax + b = f(ax + b + a f(ax + b = f(ax + b + a f(ax + b = a a f(ax + b + H f(ax + b = a H avec H = a Ainsi, 0 ( g(x + g(x = a H 0 = af (ax + b. ( f(ax + b + H f(ax + b H s Soit g(x = [ [ x dénie que ; +. On pose alors f(x = x et g(x = f(x. Or, f (x = x. ] [ Donc, g (x = x = sur x ; +. Soit g(x = cos( 3x + 4. En posant f(x = cos x, on a g(x = f( 3x + 4 et f (x = sin x. Ainsi, g (x = 3 ( sin( 3x + 4, soit g (x = 3 sin( 3x + 4 sur R. On désigne par u une fonction dérivable sur un intervalle I. Dérivées usuelles Fonction Dérivée Remarques éventuelles u u u u > 0 sur I u n, n Z nu u n u ne s'annule pas sur I si n < 0 d'où : u u u et : u u n et : u u nu u n+ u ne s'annule pas sur I u ne s'annule pas sur I

12 s f(x = (x 3x + 5. On pose : u(x = x 3x + 5, d'où u (x = 4x 3 et donc f (x = (4x 3(x 3x + 5. f(x = cos(5x +. On pose u(x = cos(5x +, soit u (x = 5 sin(5x + et donc f 5 sin(5x + (x = cos(5x +.

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