THEOREME. Les découpages dont il est question par la suite sont des découpages rectilignes.
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- Justin Cormier
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1 THEOREME Etant donnés deux polygones du plan de même aire il est toujours possible de découper l un en un nombre fini de polygones et de reconstituer l autre. Les découpages dont il est question par la suite sont des découpages rectilignes. Toutes les constructions sont proposées à la règle non graduée et au compas (et aux ciseaux!). Le plan étant muni d une unité de longueur, toutes les longueurs sont données en cette unité et toutes les aires en unités carrées. Trois lemmes interviendront dans la démonstration. 1
2 Lemme 1 Tout triangle peut être découpé de façon à reconstituer un rectangle de même aire. Démonstration Figure 1-1 Figure 1-2 Figure 1-3 Figure 1-4 Soit un triangle. Appelons A, B, C ses sommets de façon que si ce triangle a un angle de mesure supérieure ou égale à 90, A soit son sommet (figure1-1). Construction d un rectangle d aire égale à celle du triangle : Notons (figure 1-2): I et J les milieux respectifs des segments AB et AC, H le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC, E le point d intersection de (IJ) et (AH). D après le théorème des milieux, les droites IJ et BC sont parallèles. Soient F et G les points de la droite IJ tels que BCGF soit un rectangle (figure 1-3). Aire(BCGF) = BC BF = BC HE = BC AH (dans le triangle ABH, (IE)//(BH) et I milieu de [AB] d où E milieu de [AH]). 2 = Aire(ABC) 2
3 Méthode de découpage : Les triangles EIA et FIB sont égaux. En effet : FB = EH et EH = AE d où FB = AE. FIB = AIE (angles opposés par le sommet). BFI = IEA (=90 ) FBI = 90 FIB = 90 AIE = IAE. De même les triangles EJA et GJC sont égaux. Le rectangle BCGF est pavé à l aide du quadrilatère BCJI et des triangles IEA et JEA placés respectivement en IFB et JGC (figure 1-4). Résumé : Lemme2 Tout rectangle peut-être découpé de façon à reconstituer un carré de même aire. Démonstration Soit un rectangle ABCD de longueur AB = L et de largeur AC = l (figure 4). Construction à la règle et au compas d un carré de même aire que le rectangle : Figure 2-1 Figure 2-2 3
4 L aire du carré cherché est Ll et ses côtés ont pour longueur Ll. On construit le point C de (AB) tel que B [AC ] et BC = BC. Le cercle de diamètre [AC ] coupe [BC) en F et on a BF = Ll (figure 2-2). En effet : le triangle AFC est rectangle en F ( F appartient au cercle de diamètre [AC ] et F distinct de A et C ) et [FB] est la hauteur issue de F d où BF 2 = BA BC (cf. théorème rappelé ci-dessous). Rappel : Si ABC est un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A, alors AH 2 = HB BC. Démonstration Le théorème de Pythagore appliqué aux triangles rectangles AHB, AHC et BAC donne AB 2 = AH 2 + HB 2, AC 2 = AH 2 + HC 2 et BC 2 = AB 2 + AC 2 D où BC 2 = AH 2 + HB 2 + AH 2 + HC 2 BC 2 = 2AH 2 + HB 2 + HC 2 (i) Or BC 2 = (BH + HC) 2 BC 2 = BH BH HC + HC 2 (ii) De (i) et (ii) il vient que 2AH 2 + HB 2 + HC 2 = BH BH HC + HC 2. D où le résultat. Figure 2-3 Figure 2-4 On construit le point E de [AB] et le point G tels que EBGF soit un carré (figure 2-3). Ce carré a même aire que le rectangle. Méthode de découpage : Soient I (resp. J) le point d intersection de (EG) et (AF) (resp. (CD) et (AF)) (figure 2-4). D après le théorème de Thalès appliqués au triangle ABF où C [FB], J [AF] et JC (JC)//(AB): AB = FC FB 4
5 JC L = JC = L JC = L JC = AE Ll l Ll Ll Ll Ll Ll Les triangles AEI et JCF sont égaux. En effet : AE = JC AEI = JCF (= 90 ) EAI = CJF (angles correspondants). Les triangles ADJ et IGF sont égaux. En effet : DJ = DC JC = AB AE = EB = GF ADJ = IGF (= 90 ) ADJ = GIF (angles correspondants). 1) Si J [HC], ce qui équivaut à L 4l, on obtient un découpage du rectangle convenable et le problème est résolu. (J [HC] JC HC L Ll Ll L 2 Ll L 2 4Ll L 4l) 2) Si I [EH], c-à-d L > 4l. Figure 2-5 5
6 La construction ne convient plus (figure 2-5) mais il est toujours possible de découper le rectangle en un certain nombre n de carrés l l et d un rectangle L l vérifiant l L 4l. En effet : Soit l entier n strictement positif défini par n = E L l 1 E L l L l < E L l + 1 d où n + 1 L l < n + 2 (n + 1) l L < (n + 2) l l L n l < 2 l On a alors L = n l + L où L = L n l et l L 2 l 4 l cqfd. Ce dernier rectangle répondant aux conditions du 1) peut être transformé en carré. Il suffit alors de transformer les n+1 carrés en un seul carré en utilisant en cascade de lemme 3. Lemme 3 Deux carrés peuvent être découpés de façon à pouvoir reconstituer un carré d aire égale à la somme des aires des deux carrés initiaux. Démonstration : Figure 3-1 Figure 3-2 Figure 3-3 Figure 3-4 6
7 Soient deux carrés dont les côtés mesurent respectivement a et b avec a b. Construction à la règle et au compas d un carré d aire égale à la somme des aires des deux carrés : On dispose les carrés comme l indique la figure 3-1 ci-dessus. L aire du carré cherché est égale à a 2 + b 2 et ses côtés ont pour longueur a 2 + b 2. Les notations sont celles de la figure 3-2. Par le théorème de Pythagore, on obtient AG = CE = a 2 + b 2. On construit les points H et K de façon que le quadrilatère AGHK soit un carré direct (figure 3-3). Méthode de découpage : - Les triangles ADK et ABG sont égaux. En effet : AD = AB, AK = AG et DAK = BAG (ces deux angles sont complémentaires à l angle GAD). Alors ADK = ABG = 90 ce qui implique que les points K, D et C sont alignés (figure 3-4). - Les triangles ABG et CBE sont égaux. En effet : AB = BC, BG = BE et AG = CE. - Soit P le pied de la hauteur issue de H du triangle KHN (figure 3-4). Les triangles KPH et ADK sont égaux. En effet : AK = KH PKH = AKH AKD (D [KP] ) = 90 AKD = DAK (AKD et DAK sont complémentaires) HKP = 90 PKH (HKP et PKH angles aigus du triangle rectangle HPK) = 90 AKD = DKA ( AKD et DKA angles aigus du triangle rectangle ADK) - Les triangles CGN et CGN sont égaux. En effet : [BG] est un côté commun aux deux triangles GCN = GCM (=90 ) NCG = 180 AGN AGB = AGB = 90 AGB = BAG = BCE = GCM - Les triangles NPH et MFE sont égaux. En effet : HP = BG = EF HPN = MFE (=90 ) PHN = 90 HNP 7
8 or HNP = GNC (opposés par le sommet donc égaux) = GMC = EMF (GMC et GNC opposés par le sommet) d où PHN = 90 EMF = EFM. Le carré AGHK est pavé à l aide du quadrilatère ADNG, du triangle ABG placé en ADK, du triangle CBE (obtenu en plaçant le triangle GCN en CGM) placé en KPH et, finalement, du triangle EFM placé en NPH Résumé : Démonstration générale du théorème Soient P et Q deux polygones du plan de même aire. Ces deux polygones peuvent être transformés en deux carrés isométriques de la façon suivante : On découpe P en triangles, puis on transforme chaque triangle en rectangle (lemme 1), chaque rectangle en carré (lemme 2) et, finalement, tous les carrés obtenus en un seul carré (utilisation du lemme 3 de proche en proche). On fait de même avec Q. Les deux carrés construits ont la même aire et sont donc isométriques. Le dessin ci-dessous représente les deux carrés et les polygones obtenus par découpage de P et Q respectivement qui ont permis de les constituer. 8
9 Carré 1 constitué avec P Carré 2 constitué avec Q Il suffit alors de découper à nouveau le carré 1 à la manière dont est découpé le carré 2. Les polygones obtenus par découpage de P et pavant le carré 1(au nombre de 5 dans l exemple) sont donc eux aussi découpés et on récupère un certain nombre de polygones (12 dans l exemple) qui permettent de reconstituer P ainsi que Q. 9
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