Des triplets pythagoriciens au théorème de Fermat

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1 Des triplets pythagoriciens au théorème de Fermat Franck Le Pargneux 5 octobre 2008 Dans ce cours, nous allons étudier, dans Z, l équation x 2 + y 2 = z 2, c est-à-dire le cas n= 2 de l équation x n + y n = z n. La résolution de cette équation s est achevée en 1993 (ou 1994 pour les plus rigoureux) lorsqu Andrew Wiles parvint à démontrer le fameux théorème de Fermat 1. Pierre de Fermat avait énoncé ce théorème en ajoutant : "J ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir." Théorème 1 (Fermat-Wiles) L équation : x n + y n = z n n admet aucune solution entière pour tout n 3. Nous nous contenterons ici d étudier les solutions du cas n = 2 de cette équation. La démonstration se trouve en libre accès sur internet ; les plus curieux pourront en trouver l adresse à la fin de ce cours (mais il faut un solide bagage mathématiques pour n en comprendre que les premiers mots...) 1 Triplets pythagoriciens ; définition et premières propriétés Définition 1 (Triplet pythagoricien) On appelle triplet pythagoricien la donnée de 3 entiers (x; y; z) vérifiant l égalité : x 2 + y 2 = z 2. Exemple 1.1 (3;4;5) est un triplet pythagoricien : en effet, = 9+16=25=5 2. (8; 15; 17) en est un autre. Ces triplets vous semblent familiers? Rien de plus normal : vous les avez en effet rencontrés dans de nombreux exercices de géométrie sur le théorème de Pythagore... Interprétation Si (x; y; z) est un triplet pythagoricien, alors un triangle de mesures x, y et z sera rectangle. Réciproquement tout triangle rectangle dont les côtés sont entiers induit un triplet pythagoricien. Illustration 3 5 Ce triangle rectangle est construit à partir du triplet pythagoricien (3;4;5). 4 1 Fermat a énoncé ce théorème en 1641 ; il aura ainsi fallu plus de 350 ans pour en achever la démonstation. 1

2 Triplets Pythagoriciens En fait, l interprétation géométrique ci-dessus n est rien d autre que le célèbre théorème de Pythagore et sa réciproque. Nous allons à présent regrouper plusieurs triplets ensembles à travers la propriété suivante. Proposition 1 Si (x; y; z) est un triplet pythagoricien, alors pour tout entier k, le triplet (kx;k y;kz) en est également un. DÉMONSTRATION. Soit (x; y; z) un triplet pythagoricien. Ainsi x 2 + y 2 = z 2. Calculons : (k x) 2 + (k y) 2 = k 2 x 2 + k 2 y 2 = k 2 (x 2 + y 2 )= k 2 z 2 = (kz) 2. Le triplet (kx ;ky ;kz) vérifie : (kx) 2 + (k y) 2 = (kz) 2 ; c est donc un triplet pythagoricien. 2 À la recherche des triplets pythagoriciens Est-il possible de rechercher des triplets pythagoriciens de façon organisée, et par conséquent d en trouver une infinité? La réponse est évidemment positive. En effet, comme nous l avons vu précedemment, la donnée d un triplet permet d en trouver autant que l on souhaite, en multipliant les trois membres par un même entier. Ainsi, nous ne nous intéresserons ici qu aux triplets premiers entre eux, c est-àdire, ceux que l on ne peut pas simplifier en divisant les trois membres par un même entier. Nous allons rechercher dans ce paragraphe d autres formules qui nous permettront de construire des triplets pythagoriciens ; dans un premier temps, nous exposerons les résultats obtenus dès l époque de la Grèce antique (par les formules de Pythagore, Platon et Euclide), avant de chercher une caractérisation de ces triplets Les formules de la Grèce Antique Pour rechercher des triplets pythagoriciens, les mathématiciens ont très rapidement décidé de s organiser ; ils sont donc partis à la recherche de formules permettant de trouver une infinité de triplets. Voici exposés deux exemples classiques (les formules de Platon et de Pythagore), une troisième (la formule d Euclide) sera détaillée dans la partie exercices. L ordre (historique) d obtention de ces formules est : Pythagore ; Platon ; Euclide. J ai choisi (de façon regrettablement arbitraire) de privilégier la formule de Platon dans ce cours ; c est ainsi qu elle apparaît en premier, nonobstant tout bon sens historique... Exercice Développer (n+ 1) 2 puis (n 1) 2 2. En déduire la formule : (n+ 1) 2 = (n 1) n. 3. Comment peut-on trouver des triplets pythagoriciens à partir de cette formule? Résolution 2.1 La résolution qui va suivre paraîtra fastidieuse lorsque l on connaît déjà les identités remarquables, auquel cas, vous pourrez évidemment sauter cette étape. 1. On développe : (n+ 1) 2 = (n+ 1) (n+ 1) = n n+ n 1+1 n+ 1 1 = n 2 + 2n+ 1 (n 1) 2 = (n 1) (n 1) = n n n 1 1 n+ 1 1 = n 2 2n Ainsi, on obtient : (n+ 1) 2 (n 1) 2 = 4n, d où : (n+ 1) 2 = (n 1) n. 2 une caracterisation est une équivalence entre deux définitions. Ainsi, les certaines formules antiques ne donnent pas tous les triplets pythagoriciens, contrairement à la formule que nous exposerons par la suite. Franck Le Pargneux 2 http ://flp.maths.free.fr

3 2.1 Les formules de la Grèce Antique Triplets Pythagoriciens 3. On remarque que cette formule est proche de donner des triplets pythagoriciens (deux des trois termes de cette somme étant déjà des carrés). En choisissant de bonnes valeurs pour n (la formule étant vraie pour tout entier n), on pourrait obtenir des triplets pythagoriciens. En l occurence, en choisissant n comme un carré parfait (par exemple n = 16), on obtient l égalité suivante : (16+1) 2 = (16 1) c est-à-dire : 17 2 = On a donc obtenu le triplet pythagoricien (8; 15; 17), que l on connaissait déjà par ailleurs. Proposition 2 (formule de Platon) Pour tout entier naturel n, (2n;n 2 1;n 2 + 1) est un triplet pythagoricien. DÉMONSTRATION. 3 Soit n un entier ; vérifions que (n 2 + 1) 2 = (n 2 1) 2 + (2n) 2. D une part : (n 2 + 1) 2 = (n 2 ) (n 2 )+1 2 = n 4 + 4n D autre part : (n 2 1) 2 + (2n) 2 = (n 2 ) 2 2 (n 2 ) n 2 = n 4 + 4n Ainsi le triplet (2n;n 2 1;n 2 + 1) est un triplet pythagoricien. Appliquons cette formule pour les premiers entiers naturels : pour n = 1, on obtient le triplet (2; 0; 2) en l applicant aux entiers suivants, on obtient successivement les triplets pythagoriciens (4; 3; 5) (6; 8; 10) (8; 15; 17) (10; 24; 26)... Avant cela, une autre formule avait été trouvée par les pythagoriciens. Leur point de départ était le développement, déjà rencontré dans l exercice précédent : (n+ 1) 2 = n 2 + 2n+ 1 Ils tenaient là deux carrés dans une formule encore valable pour tout entier n. Ainsi, si 2n+1 avait le bon goût d être un carré parfait, cela leur donnait un triplet pythagoricien. Par exemple, pour 2n+ 1= 49= 7 2, on obtient n= 24 donc le triplet (7;24;25) (car (24+1) 2 = , d après la formule). Mais pour 2n+ 1 = 64 = 8 2, ils tombaient sur un os (en effet, n n était plus entier, ici n = 31,5. Ainsi pour obtenir un triplet pythagoricien, il suffit de doubler chaque terme du triplet. Mais la formule perd de sa simplicité : Pythagore a donc privilégié l option de choisir 2n + 1 comme un carré parfait impair). Donc on considère n tel que 2n+ 1=(2k+ 1) 2 puis on obtient n= 2k 2 +2k puis le triplet pythagoricien suivant : (2k+1;2k 2 +2k;2k 2 +2k+1) (comme le montrera la proposition suivante). Proposition 3 (formule de Pythagore) Pour tout entier naturel n, le triplet (2n+ 1;2n 2 + 2n;2n 2 + 2n+ 1) est pythagoricien. DÉMONSTRATION. Soit n un entier naturel, et posons N = 2n 2 +2n. On veut montrer que (2n 2 + 2n+ 1) 2 = (2n 2 + 2n) 2 + (2n+ 1) 2, c est-à-dire que (N + 1) 2 = N 2 + (2n+ 1) 2. D une part : (N + 1) 2 = N 2 + 2N + 1=N (2n 2 + 2n)+1= N 2 + (4n 2 + 4n+ 1). D autre part : N 2 + (2n+ 1) 2 = N 2 + (2n) n+ 1 = N 2 + 4n 2 + 4n+ 1. Les deux quantités étant égales, le triplet (2n+1;2n 2 +2n;2n 2 +2n+1) est pythagoricien. Cette formule, appliquée aux premiers entiers naturels donne les triplets suivants : (1;0;1) (3;4;5) (5;12;13) (7;24;25) (9;40;41)... La formule d Euclide sera présentée en exercice. Ces formules présentent l avantage d être très facilement programmables ; vous trouverez du reste un grand nombre de sites internet (voir la bibliographie) vous proposant de vous donner autant de triplets pythagoriciens que vous le souhaitez. Cela est très pratique pour le professeur de mathématiques qui chercherait à créer des exercices sur le théorème de Pythagore ou sur sa réciproque... 3 afin de ne pas alourdir la démonstration, nous supposerons cette fois-ci les identités remarquables connues ; le lecteur ne les connaissant pas pourra reprendre le raisonnement de l exercice précédent. Franck Le Pargneux 3 http ://flp.maths.free.fr

4 2.2 Le cas n= 2 du théorème de Fermat Triplets Pythagoriciens 2.2 Le cas n= 2 du théorème de Fermat Bien que le théorème de Fermat prétende qu il n existe aucune solution à l équation : x n + y n = z n pour n 3, la démonstration a été très difficile à trouver. En revanche, pour certaines valeurs de n, et en particulier pour n = 4, la démonstration, assez élégante, est fondée sur la caractérisation des triplets pythagoriciens, ainsi que sur le principe, que les mathématiciens doivent du reste à Fermat, de la descente infinie. Détaillons donc le premier point concernant les triplets pythagoriciens. Théorème 2 Soient x, y et z trois entiers deux à deux premiers entre eux. Alors x 2 + y 2 = z 2 si et seulement s il existe deux entiers naturels non nuls premiers entre eux n et m tel que : x = 2nm ; y = n 2 m 2 et z 2 = n 2 + m 2. DÉMONSTRATION. Si x = 2nm ; y = n 2 m 2 et z 2 = n 2 + m 2, alors (x; y; z) est bien un triplet pythagoricien (il s agit en fait de la méthode d Euclide, exposée en exercice dans la suite du cours). Réciproquement, soit (x; y; z) un triplet pythagoricien irréductible (c est-à-dire avec x, y et z premiers entre eux). Alors x et y ne sont pas tous les deux pairs (sans quoi 2 serait un diviseur commun à x, y et z, ce qui n est pas). Si x et y étaient tous deux impairs, alors on pourrait écrire x = 2p+ 1 ; y = 2q + 1 d où x 2 + y 2 = 4(p 2 + q 2 + p+ q)+2, ce qui signifierait que z 2 serait pair et non divisible par 4. Ceci est impossible (car z 2 est un carré)! Donc l un des deux x ou y est pair, et l autre est impair, et par conséquent z est impair. Supposons que x soit le terme pair et posons x = 2u ; y+ z = 2v et z y = 2w. u ; v ; et w sont premiers entre eux (puisque x ; y et z le sont) et x 2 = z 2 y 2 = (z+ y)(z y) = 4v w. De plus x 2 = (2u) 2 = 4u 2 ce qui permet donc d écrire : u 2 = v w. Mais v et w étant premiers entre eux, ce sont nécessairement des carrés parfaits (puisque u 2 = v w) ; on peut donc écrire : v = n 2 et w = m 2 (où n et m sont premiers entre eux), puis x 2 = 4n 2 m 2 = (2nm) 2 ; y = v w = n 2 m 2 et z=v+ w = n 2 + m 2, ce qui achève la démonstration de ce théorème. Voilà donc résolue la question des triplets pythagoriciens. Le cas n= 4 du théorème de Fermat en découle directement, mais ce cas a été le plus facile à résoudre. J avoue cependant avec humilité que je n ai pas traité cette partie dans mes cours. 3 Exercices Exercice Vérifier que le triplet (10; 24; 26) est un triplet Pythagoricien. 2. Simplifier ce triplet afin d obtenir un triplet irréductible (dont les trois entiers sont premiers entre eux). 3. En déduire la construction d une équerre à l aide d une corde de 30 noeuds. Exercice 3.2 (Un triplet pythagoricien hors de portée de la calculatrice!) 1. Pouvezvous vérifier, à l aide d une calculatrice de collège que le triplet : (846; ; ) est un triplet pythagoricien? 2. Appliquez une formule afin de montrer que le triplet ci-dessus est bien pythagoricien. Exercice 3.3 (Formule d Euclide) L objet de cet exercice sera de découvrir la formule d Euclide (qui est une généralisation de la formule de Platon), à savoir : Franck Le Pargneux 4 http ://flp.maths.free.fr

5 RÉFÉRENCES Triplets Pythagoriciens Proposition 4 (formule d Euclide) pour tous entiers naturels a et b tel que a b, (2ab; a 2 b 2 ; a 2 + b 2 ) est un triplet pythagoricien 1. Pour tous entier a et b, développer (a+ b) 2 puis (a b) En déduire la formule : (a+ b) 2 = (a b) ab. 3. En déduire plusieurs triplets pythagoriciens, obtenus en choisissant a et b comme des carrés parfaits. 4. Démontrer la formule d Euclide 5. Appliquer la formule d Euclide à a = 7 et b = 3, puis trouver quelques autres triplets de votre choix. Références [1] Simon Singh. Le dernier théorème de Fermat, Hachettes Littératures, [2] Wikipédia. Triplets pythagoriciens, [3] Serge Mehl. Triplets pythagoriciens, [4] Gerard Fonteneau et Marie-Noëlle Riou. Triplets pythagoriciens, [5] Thomas Dreyfus. Théorème de Fermat, le cas n=4, Cours de l UME, Pontonx [6] Wikipédia. Le dernier théorème de Fermat, [7] IENG Sio Song. Le théorème de Fermat-Wiles, [8] Andrew Wiles Modular elliptic curves and Fermat s Last Theorem, Franck Le Pargneux 5 http ://flp.maths.free.fr