I- FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE

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1 I- FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE Définition 1 : soit θ un nombre réel. On pose : cossin Théorème 1 (admis) : soit et deux nombres réels. Alors : Définition : soit r un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel. Soit z le nombre complexe de module r et d argument θ. est une forme exponentielle de z. Théorème (admis) : un complexe non nul z possède une infinité de formes exponentielles. Si et sont deux formes exponentielles de z, alors et il existe un entier relatif k tel que. Théorème 3 (admis) : soit z, z 1, z trois nombres complexes non nuls de formes exponentielles respectives, et. Alors : o o o o Pour tout entier naturel n, o o Exemples : o Le nombre complexe z de module et dont un argument est a pour forme exponentielle :. o Le nombre complexe z de module et dont un argument est a pour forme exponentielle :. Remarque : une exponentielle complexe peut être un réel négatif. ( 1). Applications : o Calculs avec les formes exponentielles : Euler n 755 (inverse) ; 756 (quotient) ; 757 (produit) ; 761 (puissance). o Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement : Euler n 764 et

2 o Placer un point dans un repère : Euler n II- FORMULE DE MOIVRE. FORMULES D EULER Dans ce paragraphe, on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour établir des formules de calcul qui s utilisent surtout pour transformer des expressions trigonométriques. 1) Formule de Moivre Abraham de Moivre ( ) est un mathématicien britannique d origine française. Il découvrit sa formule en 1717 en résolvant des équations algébriques issues de la trigonométrie. Théorème : soit θ un nombre réel et n un entier naturel. Alors : Nous savons que nous pouvons écrire le nombre complexe de module 1 et dont un argument vaut θ ( ) de la manière suivante :. De plus, pour entier naturel n : cos sin cos sin Ainsi : cos sin cos sin. Exemple : ) Formules d Euler Leonhard Euler ( ) mathématicien et physicien suisse, découvrit l extraordinaire parenté entre les exponentielles et la trigonométrie vers Il écrit alors dans son Introduction à l analyse infinitésimale la fameuse formule

3 10, qu Euler appelait la plus belle formule des mathématiques car elle réunit les cinq nombres les plus importants en mathématiques : 0, 1, π, e et i. Théorème : soit θ un nombre réel. Alors : Nous savons : cossin et cossin cossin. On a : cossin cossin En additionnant, puis en soustrayant les deux égalités membres à membres, on obtient les formules d Euler. Exemple : Remarque : les formules d Euler servent particulièrement lors de la linéarisation de polynômes trigonométriques. III- TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES ASSOCIÉES 1) Translation Théorème : soit z, z et a des nombres complexes. La transformation du plan qui à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z, tel que z = z + a, est la translation de vecteur ayant pour affixe a. «Ajouter un nombre a c est translater d un vecteur d affixe a». Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ;,, on considère le point A d affixe a, le point M d affixe z et le point M d affixe z. Si on pose, alors : dire que M est l image de M par la translation de vecteur signifie :. Ce qui se traduit en termes d affixes par : z z = a. D où le théorème. 3

4 Exemple : dans le plan muni d un repère orthonormal ;,, soit A la point d affixe 3. Quelle est l affixe du point B, image du point A par la translation de vecteur 1,? On a 115. ) Rotation «Multiplier par c est faire tourner d un angle θ». Théorème 1 (admis) : on considère un point M quelconque du plan muni d un repère orthonormal direct ;, et θ un nombre réel qulconque. Dire qu un point M d affixe z a pour image un point M d affixe z par la rotation de centre O et d angle θ équivaut à dire que :. Théorème (admis) : on considère un point M quelconque du plan muni d un repère orthonormal direct ;, et θ un nombre réel quelconque. Dire qu un point M d affixe z a pour image un point M d affixe z par la rotation de centre le point Ω d affixe et d angle θ, équivaut à dire que :. Illustration : Exemple : dans le plan muni d un repère orthonormal ;,, on considère les points A et B d affixes respectives 1 et. Par quelle transformation géométrique le point B est-il l image de A? B est l image de A par la rotation de centre O et d angle. Déterminer les coordonnées du point B Donc B a pour coordonnés : ; Soit le point C d affixe. Par quelle transformation géométrique le point C est-il l image de B? Calculer les coordonnées de C. C est l image de B par la translation de vecteur d affixe i, et 4

5 Donc C a pour coordonnées : 1 3 ; 3 3 Applications : fiche applications cours n 9 (extraits de sujets de bac) 5