(Isométrie et produit scalaire)

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1 1. Définitions et propriétés Définition (d une isométrie) Soit f une application du plan dans lui-même. On dit que f est une isométrie du plan si elle conserve la distance c est-à-dire pour tous points M et N d image respectives M et N par f on a : MN M N. (Isométrie et produit scalaire) Soit f une application du plan dans lui-même. f est une isométrie, si et seulement si, elle conserve le produit scalaire Autrement dit:: f est une isométrie Pour tous points A, B et C d images respectives A, B et C par f; on a : A B. A C AB. AC. Conséquences 1. L isométrie conserve les mesures des angles géométriques. C est-à-dire: Si f est une isométrie et A, B et C sont trois points d images respectives A, B et C par f; on a : A B C ABC. 2. L isométrie conserve l alignement et aussi elle transforme trois points non alignés en trois points non alignés. 3. L isométrie transforme un repère orthonormé en un repère orthonormé. C est -à-dire: Si f est une isométrie et A, B et C sont trois points d images respectives A, B et C par f; on a : Si A, AB, AC est un repère orthonormé alors A, A B, A C est aussi un repère orthonormé. 4. Si f est une isométrie et A, B, C et M sont trois quatre points d images respectives A, B, C et M par f; on a : Si A, AB, AC est un repère orthonormé et M tel que AMxAByAC avec x, y IR 2 alors A M xa B ya C (Isométrie réciproque) Soit f une isométrie. On a: Pour tout point M du plan, il existe un seul M du plan tel que fmm C est-à-dire tout point du plan admet un seul antécédent par f. Page : 1

2 Conséquence et Définition Toute isométrie est une bijection du plan dans lui-même. Soit f une isométrie. L application, qui à tout point du plan associe son unique antécédent, est appelée la réciproque de f et notée f 1. Ainsi fm N f 1 N M avec M, N P 2. Remarques 1. est une droite. On a : S 1 S 2. u est un vecteur. On a: t u 1 t u. 3. O est un point. On a: S 1 A S A I est un point et un réel. On a: R I, R I,. 2. Isométries et configurations Soit f est une isométrie et A, B, C et D sont quatre points d images respectives A, B, C et D par f; on a : Si AB CD avec un réel alors A B C D Conséquences 1. Toute isométrie conserve le barycentre en particulier le milieu. 2. L image, par une isométrie, d un parallélogramme est un parallélogramme. 3. L image, par une isométrie, d un segment est un segment qui lui est isométrique. 4. L image, par une isométrie, d une droite est une droite. 5. Toute isométrie conserve le parallélisme et l orthogonalité. 6. L image d un cercle par une isométrie est un cercle qui lui est isométrique. 7. L image, par une isométrie, de la tangente en un point M à un cercle est la tangente au cercle image au point M image de M. On dit qu une isométrie conserve le contact. 3. Composition d isométries Définitions (Composée de deux applications) Soient f et g deux application du plan dans lui-même. L application composée de f par g, noté g f, qui à tout point M associe le point M gfm. Page : 2

3 M f f M g g f M g f Conséquence Soient f, g et h trois applications du plan dans lui même. On a: g f h g f h g f h. La composée de deux isométries est une isométrie. Soient f et g deux isométries. g f 1 f g Id où Id désigne l identité du plan. f g 1 g 1 f 1. g f g h f h avec h est une troisième isométrie. (Composée de 2 symétries orthogonales) Soient D 1 et D 2 deux droites. On a : Si D 1 et D 2 sont sécantes en un points I alors S D1 S D2 R I;2 la rotation de centre I et d angle u 2 ; u 1 avec u 1 un vecteur directeur de D 1 et u 2 un vecteur directeur de D 2. Si D 1 et D 2 sont perpendiculaires et sécantes en un point I alors S D1 S D2 S I la symétrie centrale de centre I. Si D 1 et D 2 sont parallèles alors S D1 S D2 t 2IJ la translation de vecteur 2IJ avec I un point de D 2 et J son projeté orthogonal sur D Isométries et points fixes Toute isométrie qui fixe trois points non alignés est l identité du plan. Soient A et B deux points distincts du plan P et f une isométrie de P différente de Id.l identité du plan). On a : f fixe A et B f S AB la symétrie orthogonale d axe AB Page : 3

4 Soient est un point de P et f une isométrie de P différente de Id. On a : f ne fixe que f est une rotation de centre Soient f est une isométrie qui ne fixe aucun point et O un point de P d image O par f. On a : Il existe une seule isométrie g fixant O et telle que f t OO g. Une isométrie qui n a pas de point fixe est soit une translation de vecteur non nul, soit la composée d une translation de vecteur non nul u et d une symétrie orthogonal d axe tel que u est directeur de. Définitions (Symétrie glissante) La composée d une translation de vecteur non nul u et d une symétrie orthogonal d axe tel que u est directeur de est appelée symétrie glissante. 5. Décomposition d une isométrie Toute isométrie se décompose en au plus trois symétries orthogonales (Décomposition d une rotation) Soit R une rotation de centre un point I et d angle un réel. On a: R S D S D avec D une droite passant par I et dirigée par un vecteur u et D est la droite passant par I et dirigée par un vecteur v vérifiant u, v 2. Soient u un vecteur et t u la translation de vecteur u. On a : t u S D2 S D1 avec D 1 une droite quelconque de direction orthogonale à celle de u et D 2 t 1 2 u D 1. Page : 4

5 (Classification des isométries) Nature de l isométrie Décomposition en symétries orthogonales Ensemble des points fixes Identité du plan S D S D Tout le plan symétries orthogonales d axe D rotation de centre I et d angle 0 2 Translation de vecteur non nul Symétrie glissante de d axe D et de vecteur u S D S S D D ( D D I S S D D ( D D S D S S D D avec D D et D D La droite D I Page : 5