Exercices sur l orthogonalité de l espace

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1 TS xercices sur l orthogonalité de l espace ans les exercices 1 à 9, on considère un cube (figures à faire à la règle). 8 ans chaque cas, trouver une droite perpendiculaire à chacune des deux droites (faire une figure dans chaque cas sur laquelle on tracera les deux droites en rouge et la perpendiculaire commune en vert) : () et () ; () et () ; () et (). 9 Soit O le centre de la face et P le plan contenant les points,,, O,. 1 ) émontrer que () (). 2 ) émontrer que () (). 3 ) Que représente le plan P pour le segment []? 4 ) émontrer que () () et que () (). 10 Soit un cercle d un plan P. On note [] un diamètre. Soit un point n appartenant pas au plan P tel que la droite () soit orthogonale au plan P. Soit M un point de distinct de et. P M 1 1 ) Les droites () et () sont-elles sécantes? Quelles sont leurs parallèles passant par? ans quel plan ces parallèles sont-elles contenues? ans ce plan, que peut-on en dire? 2 ) Reprendre le 1 ) avec les mêmes droites en remplaçant par. 3 ) Reprendre le 1 ) en remplaçant par. 2 1 ) Que peut-on dire des droites () et ()? de () et ()? 2 ) La propriété : «Si deux droites sont orthogonales à une même droite, alors elles sont parallèles» est vraie dans le plan mais reste-t-elle vraie dans l espace? 3 Soit P le plan contenant les points,,,. iter deux droites contenues dans le plan P qui sont orthogonales à (). La droite () est-elle orthogonales à P? 4 émontrer que () (). Méthode : chercher un plan contenant () orthogonal à (). 5 1 ) Que peut-on dire des droites () et ()? Justifier. 2 ) Quelle est la nature du quadrilatère? Justifier. 3 ) Que peut-on dire de () et ()? Pourquoi? 4 ) Que peut-on dire de () et ()? () et ()? Reproduire la figure. 1 ) émontrer que () (M). iter le théorème utilisé. 2 ) émontrer que (M) (M). iter le théorème utilisé. 3 ) n déduire que (M) (M). iter le théorème utilisé. 4 ) émontrer que les plans (M) et (M) sont perpendiculaires. 11 Soit un tétraèdre régulier. On note I le milieu de []. aire une figure en perspective cavalière. 1 ) émontrer que le plan médiateur du segment [] est le plan (I). 2 ) n déduire que () (). 12 Soit un cube. aire une figure en perspective cavalière. 1 ) émontrer que () (). 2 ) émontrer que () (). 3 ) n déduire que () (). 6 ans chaque cas, indiquer si les droites sont orthogonales non coplanaires ou perpendiculaires (justifier) : () et () ; () et () ; () et () ; () et () 7 1 ) émontrer que () (). 2 ) Que peut-on dire des droites () et ()? Justifier. 3 ) À l aide des questions précédentes, que peut-on dire de la droite () et du plan ()?

2 1 Énoncé Solutions 1 ) Les droites () et () sont-elles sécantes? Quelles sont leurs parallèles passant par? ans quel plan ces parallèles sont-elles contenues? ans ce plan, que peut-on en dire? 2 ) Reprendre le 1 ) avec les mêmes droites en remplaçant par. 3 ) Reprendre le 1 ) en remplaçant par. 2 Énoncé 1 ) Que peut-on dire des droites () et ()? de () et ()? 2 ) La propriété : «Si deux droites sont orthogonales à une même droite, alors elles sont parallèles» est vraie dans le plan mais reste-t-elle vraie dans l'espace? 1 ) () et () sont orthogonales. () et () sont orthogonales. 2 ) La propriété «Si deux droites sont orthogonales à une même droite, alors elles sont parallèles» est fausse dans l espace. n effet, () et () sont toutes les deux orthogonales à () mais ne sont pas parallèles entre elles. 3 Énoncé Soit P le plan contenant les points,,,. iter deux droites contenues dans le plan P qui sont orthogonales à (). La droite () est-elle orthogonales à P? 1 ) () et () ne sont pas sécantes. La parallèle à () passant par est la droite (). La parallèle à () passant par est la droite (). () et () sont contenues (ou incluses) dans le plan (). On peut dire que () et () sont perpendiculaires. onc () et () sont orthogonales. 2 ) () // () () // () () et () sont deux droites contenues dans le plan P, orthogonales à (). La droite () n est pas orthogonale au plan P. () et () sont contenues dans le plan (). () () 3 ) () et () ne sont pas sécantes. La parallèle à () passant par est (). () // () () et () sont contenues dans le plan (). On peut dire que () et () sont perpendiculaires onc () et () sont orthogonales.

3 4 Énoncé émontrer que () (). Méthode : chercher un plan contenant () orthogonal à (). 6 Énoncé ans chaque cas, indiquer si les droites sont orthogonales non coplanaires ou perpendiculaires. Justifier. () et () ; () et () ; () et () ; () et (). - Les droites () et () sont perpendiculaires. Les droites () et () sont parallèles. onc les droites () et () sont orthogonales non coplanaires. - Les droites () et () sont les diagonales du carré, toutes deux incluses dans le plan (), donc elles sont perpendiculaires. - La droite () est orthogonale au plan () alors elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan. La droite () est incluse dans le plan (). onc les droites () et () sont orthogonales non coplanaires. - La droite () est orthogonale au plan () alors elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan. La droite () est incluse dans le plan (). onc les droites () et () sont perpendiculaires. 7 Énoncé émontrons que la droite () est orthogonale à la droite (). La droite () est orthogonale au plan (). Or la droite () est incluse dans le plan (). onc () et () sont orthogonales. 5 Énoncé 1 ) Que peut-on dire des droites () et ()? Justifier. 2 ) Quelle est la nature du quadrilatère? Justifier. 3 ) Que peut-on dire de () et ()? Pourquoi? 4 ) Que peut-on dire de () et ()? () et ()? 1 ) () () () () onc () () 2 ) est un parallélogramme avec un angle droit. onc est un rectangle. 3 ) On sait que est un rectangle onc () / / (). 1 ) émontrer que () (). 2 ) Que peut-on dire des droites () et ()? Justifier. 3 ) À l aide des questions précédentes, que peut-on dire de la droite () et du plan ()? 1 ) La droite () est orthogonale au plan () alors elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan. La droite () est incluse dans le plan (). onc les droites () et () sont orthogonales non coplanaires. 2 ) Les droites () et () sont les diagonales du carré. Nous pouvons dire d une part, qu elles sont incluses dans le même plan () ; d autre part, qu elles sont perpendiculaires. 3 ) On a démontré que la droite () est orthogonale aux droites () et (). e plus, les droites () et () sont sécantes au point et incluses dans le plan (). Or si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d un plan, alors elle est orthogonale à ce plan. Nous en concluons que la droite () est orthogonale au plan (). Nous pouvons aller plus loin en disant que P est le plan médiateur de []. 4 ) () () (diagonale d un carré) () () car () / / ()

4 8 Énoncé ans chaque cas, trouver une droite perpendiculaire à chacune des deux droites : () et () ; () et () ; () et (). Il s agit de la recherche de perpendiculaires communes à deux droites non coplanaires. - Les droites () et () sont perpendiculaires. e même, les droites () et () sont perpendiculaires. La droite () est donc perpendiculaire à chacune des deux droites () et (). - Les droites () et () sont perpendiculaires. e même, les droites () et () sont perpendiculaires. La droite () est donc perpendiculaire à chacune des deux droites () et (). - Les droites () et () sont perpendiculaires. e même les droites () et () sont perpendiculaires car ce sont les diagonales du carré. La droite () est donc perpendiculaire à chacune des deux droites () et (). 9 Énoncé Soit O le centre de la face et P le plan contenant les points,,, O,. 1 ) émontrer que () (). 2 ) émontrer que () (). 3 ) Que représente le plan P pour le segment []? 4 ) émontrer que () () et que () (). 1 ) Les droites () et () sont les diagonales du carré. onc les droites () et () sont perpendiculaires. 2 ) La droite () est orthogonale au plan () d où la droite () est orthogonale à toutes les droites incluses dans le plan (). La droite () est incluse dans le plan (). onc les droites () et () sont orthogonales. 3 ) () () O est le milieu de []. Or O P. onc P coupe [] en son milieu. On en déduit que P est le plan médiateur de []. 4 ) La droite () est incluse dans le plan P. e plus, la droite () est orthogonale au plan P et par suite à toutes les droites incluses dans le plan P. onc les droites () et () sont orthogonales. La droite () est incluse dans le plan P. e manière analogue, nous démontrons que les droites () et () sont orthogonales. 10 Énoncé Soit un cercle d un plan P. On note [] un diamètre. Soit un point n appartenant pas au plan P tel que la droite () soit orthogonale au plan P. Soit M un point de distinct de et. 1 ) émontrer que () (M). iter le théorème utilisé. 2 ) émontrer que (M) (M). iter le théorème utilisé. 3 ) n déduire que (M) (M). iter le théorème utilisé. P n perspective cavalière, le cercle est représenté par une ellipse. 1 ) M P et P donc la droite (M) est incluse dans le plan P. e plus, on sait que la droite () est orthogonale au plan P. Or si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan (théorème 2). Nous en concluons que les droites () et (M) sont orthogonales. 2 ) Le cercle a pour diamètre le segment [] et M, donc le triangle M est inscrit dans le cercle. onc nous en déduisons que le triangle M est rectangle en M, et par suite, que les droites (M) et (M) sont perpendiculaires. e plus, nous avons démontré que les droites () et (M) sont orthogonales. Les droites () et (M) sont sécantes au point et sont incluses dans le plan (M). Or si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d un plan, alors elle est orthogonale à ce plan (théorème 1). Nous en concluons que la droite (M) est orthogonale au plan (M). 3 ) La droite (M) est orthogonale au plan (M). La droite (M) est incluse dans le plan (M). Or si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan (théorème 2). Nous en concluons que les droites () et (M) sont orthogonales. 4 ) émontrons que les plans (M) et (M) sont perpendiculaires. après la question 2 ), (M) (M). M Or (M) (M) onc les plans (M) et (M) sont perpendiculaires (propriété du cours : si plan P contient une droite orthogonale à Q, alors les plans P et Q sont perpendiculaires).

5 Le mot «inscrit» s applique aux polygones dans un cercle. On dit qu un polygone est «inscriptible» pour exprimer que les sommets appartiennent à un même cercle. 11 Énoncé Soit un tétraèdre régulier. On note I le milieu de []. 1 ) émontrer que le plan médiateur du segment [] est le plan (I). 2 ) n déduire que () (). et exercice est l occasion de parler de la confection d un tétraèdre régulier à l aide d une feuille de papier. 12 Énoncé Soit un cube. aire une figure en perspective cavalière. 1 ) émontrer que () (). 2 ) émontrer que () (). 3 ) n déduire que () (). 4 ) émontrer que les plans (M) et (M) sont perpendiculaires. I 1 ) émontrons que le plan médiateur du segment [] est le plan (I). () (I) (car dans le triangle équilatéral, la droite (I) est la hauteur issue du point ) et () (I) (car dans le triangle équilatéral, la droite (I) est la hauteur issue du point ). Or (I) (I) et (I) (I). Or si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d un plan, alors elle est orthogonale à ce plan. onc () (I). Or le point I est le milieu du segment []. onc (I) est le plan médiateur du segment []. utre méthode :,, I est le milieu de []. 2 ) éduisons-en que () (). Le plan (I) est le plan médiateur du segment []. Or () (I). Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites incluses (ou contenues) dans ce plan. onc () (). 1 ) émontrons que () (). Les droites () et () sont les diagonales du carré donc elles sont orthogonales. e plus, () () donc () (). Par suite : () (). Or () (). onc () (). 2 ) émontrons que () (). Les droites () et () sont les diagonales du carré donc elles sont orthogonales. e plus, () () donc () (). Par suite : () (). Or () (). onc () (). 3 ) éduisons-en que () (). après la question 1 ), () (). après la question 2 ), () (). Or () () et () (). () est orthogonale à deux droites sécantes du plan () donc () (). On retiendra la propriété suivante : «ans un tétraèdre régulier, les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.»

6 utre version : 1 ) émontrons que () (). Le plan médiateur de [] est () (car c est un plan de symétrie du cube). Or () (). onc () (). 2 ) émontrons que () (). Le plan médiateur de [] est () (car c est un plan de symétrie du cube). Or () (). onc () (). 3 ) éduisons-en que () (). () () et () (). Or () () et () (). onc () (). Version plus courte de l exercice 10 : 10 Soit un cercle d un plan P. On note [] un diamètre. Soit un point n appartenant pas au plan P tel que la droite () soit orthogonale au plan P. Soit M un point de distinct de et. P M Reproduire la figure. 1 ) émontrer que (M) (M). 2 ) émontrer que les plans (M) et (M) sont perpendiculaires. Version plus courte de l exercice 12 : 12 Soit un cube. aire une figure en perspective cavalière. émontrer que () ().