Théorème de Thalès Corrigés d exercices / Version de décembre 2012

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1 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 06 : N, 4, 7, 8 Page 07 : N 0, 4 Page : N 5 Page : N 53 N page 06 Le segment [ AB ] est un diamètre du cercle C. Le centre du cercle C est le point O. Le milieu d un diamètre d un cercle est le centre de ce cercle. O est le milieu du segment [ AB ]. O est le milieu du segment [ AB ]. J est le milieu du segment [ AM ]. La droite qui passe par les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté. La droite ( OJ ) est parallèle à la droite ( MB ). Le résultat est établi. Fénelon Sainte-Marie / M. Lichtenberg

2 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 N 4 page 06. On travaille dans le triangle ARP. Le segment [ AR ] est un diamètre du cercle Le segment [ AP ] est un diamètre du cercle C, de centre O. C, de centre O. Le milieu d un diamètre d un cercle est le centre de ce cercle. AR. AP. AR. AP. La droite qui passe par les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté. La droite ( OO ) est parallèle à la droite ( ) RP. La droite ( OO ) est parallèle à la droite ( RP ).. Toujours dans le triangle ARP : = 5cm OO AR. AP. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. OO = RP. Fénelon Sainte-Marie / M. Lichtenberg

3 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 On en tire alors : RP = OO = 5 = 0. La longueur RP est égale à 0 cm. N 7 page 06 a. VRAI! Soit les droites ( SI ) et ( TP ) admettant comme sécante commune la droite ( OT ). Dans ces conditions, les angles OSI et OTP sont correspondants. Comme ils sont, d après le codage de la figure, de même mesure on en déduit que les TP sont parallèles. droites ( SI ) et ( ) Dans le triangle OTP : S est le milieu du segment [ OT ]. I appartient au segment [ OP ]. La droite ( SI ) est parallèle à la droite ( ) TP. Troisième théorème des milieux : dans un triangle, si une droite coupe un côté en son milieu et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. I, intersection de la droite ( SI ) et du côté [ OP ] est le milieu de [ OP ]. Le codage de la figure est donc correct : le point I est bien le milieu du segment [ OP ]. b. VRAI! Dans le triangle OPM : I est le milieu du segment [ OP ]. J est le milieu du segment [ OM ]. Premier théorème des milieux : dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. La droite ( IJ ) est parallèle à la droite ( PM ). Fénelon Sainte-Marie 3/ M. Lichtenberg

4 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 N 8 page 06. a) et b). On obtient :. N oublions pas d établir rigoureusement que le point O est le milieu du segment [ AB ]! Le segment [ AB ] est un diamètre du cercle C de centre O. Le milieu du diamètre d un cercle est le centre de ce cercle. O est le milieu du segment [ AB ]. Dans le triangle ABM : O est le milieu du segment [ AB ]. La droite ( OJ ) est parallèle à la droite ( ) BM. Fénelon Sainte-Marie 4/ M. Lichtenberg

5 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 J appartient au côté ( AM ). Troisième théorème des milieux : dans un triangle, si une droite coupe un côté en son milieu et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. J, intersection de la droite ( OJ ) et du côté ( AM ) est le milieu de [ AM ]. J est le milieu du segment [ AM ]. N 0 page 07. a) et b).. Les points A et E appartiennent à la même demi-droite ( d ) issue de O et sont les points d intersection respectifs de cette demi-droite avec le cercle C ( O, r) et avec le cercle C 'O,r ( ). Les points O, A et E sont donc alignés dans cet ordre et on a : OA = OE. Fénelon Sainte-Marie 5/ M. Lichtenberg

6 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 On en déduit ainsi que le point A est le milieu du segment [ OE ]. De façon similaire, on montre que le point B est le milieu du segment [ OF ]. Les points A et B sont les milieux respectifs des segments [ OE ] et [ OF ]. 3. On utilise directement les résultats que nous venons d obtenir : Dans le triangle OEF : A est le milieu du segment [ OE ]. B est le milieu du segment [ OF ]. Premier théorème des milieux : dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. La droite ( AB ) est parallèle à la droite ( EF ). Les droites ( AB ) et ( EF ) sont parallèles. 4. On va cette fois utiliser le deuxième théorème des milieux A est le milieu du segment [ OE ]. B est le milieu du segment [ OF ]. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. AB = EF. D où, immédiatement : EF = AB. EF = AB Fénelon Sainte-Marie 6/ M. Lichtenberg

7 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 N 4 page 07 Dans le triangle ABC : E appartient au segment [ AB ]. F appartient au segment [ AC ]. La droite ( EF ) est parallèle à la droite ( ) Le théorème de Thalès AE AF EF = = AB AC BC BC. Dans le triangle ADC : G appartient au segment [ AD ]. F appartient au segment [ AC ]. La droite ( FG ) est parallèle à la droite ( DC ). Le théorème de Thalès AF AG FG = = AC AD DC Le rapport apparaissant dans les deux égalités obtenues, il vient finalement : AF AE EF AG FG = = = = AC AB BC AD DC Fénelon Sainte-Marie 7/ M. Lichtenberg

8 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 N 5 page. On a d abord : Dans le triangle BCE : K est le milieu du segment [ EC ]. J est le milieu du segment [ BC ]. Premier théorème des milieux : dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. La droite ( JK ) est parallèle à la droite ( EB ). Dans le triangle BAC : I est le milieu du segment [ BA ]. J est le milieu du segment [ BC ]. Premier théorème des milieux : dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. La droite ( IJ ) est parallèle à la droite ( AC ). Comme ( JK ) / / ( EB ), ( IJ ) / / ( AC ) et, par hypothèse, ( ) ( ) immédiatement : ( JK ) / / ( IJ ). ( JK ) / / ( IJ ) AC / / EB, il vient Deux droites parallèles admettant un point commun sont confondues. Les droites ( IJ ) et ( ) On a même, vu la disposition des triangles ABC et BCE : J [ IK] JK sont confondues : les points I, J et K sont donc alignés.. Fénelon Sainte-Marie 8/ M. Lichtenberg

9 Corrigés d exercices / Version de décembre 0. Il est encore une fois question de longueurs ici et on s oriente «tranquillement» vers une utilisation du second théorème des milieux. Dans le triangle BCE : K est le milieu du segment [ EC ]. J est le milieu du segment [ BC ]. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. KJ = BE. Dans le triangle BAC : I est le milieu du segment [ BA ]. J est le milieu du segment [ BC ]. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. IJ = AC. Comme J [ IK], on a : IK = IJ + KJ. Par ailleurs, on a : IJ = AC et KJ = BE. D où : IK = IJ + KJ = AC + BE = ( AC + BE). Finalement : IK = AC + BE. IK = AC + BE N 53 page La figure semble «offrir» relativement peu d informations! Rassurez-vous, il y en a suffisamment pour pouvoir répondre à la question posée. Ceci dit, cet exercice réunit plusieurs difficultés rencontrées dans divers autres exercices (notamment 4 et 6 page 07). Fénelon Sainte-Marie 9/ M. Lichtenberg

10 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 L unité des longueurs manipulées ci-dessous est le centimètre. Nous notons x la longueur cherchée à savoir TD. Comme T est un point du segment [ AD ], on a : AD = AT + TD = 4, + x Dans le triangle ABC : M appartient au segment [ AB ]. R appartient au segment [ AC ]. La droite ( MR ) est parallèle à la droite ( ) MR = 3, 4 et BC = 5,. Le théorème de Thalès AM AR MR = = d où AB AC BC Dans le triangle ADC : AM AR 3,4 = = AB AC 5, BC. T appartient au segment [ AD ]. R appartient au segment [ AC ]. La droite ( RT ) est parallèle à la droite ( ) AT = 4, et AD = 4, + x. Le théorème de Thalès DC. AR AT RT = = d où AC AD CD AR 4, RT = = AC 4, + x CD Le rapport AR AC est commun aux deux égalités obtenues. On a donc : AR AM 3,4 4, RT = = = = AC AB 5, 4, + x CD Pour déterminer x, on va donc utiliser l égalité : 3,4 4, = 5, 4, + x. Fénelon Sainte-Marie 0/ M. Lichtenberg

11 Corrigés d exercices / Version de décembre 0 3, On a d abord : = = =. 5, , On a donc : 4, + x =. 3 On effectue le produit en croix : 3 4,= ( 4,+ x). On développe le membre de droite (surtout ne pas effectuer les calculs!) : 3 4,= 4,+ x Alors : 3 4, 4,= 4, + x 4,. Soit : 4, = x. 4, D où : x = =,. La longueur TD vaut, centimètres. Fénelon Sainte-Marie / M. Lichtenberg