Chapitre n o 2 : Nombres réels et complexes

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1 Lycée Roland Garros Mathématiques BCPST 1ère année Chapitre n o 2 : Nombres réels et complexes On rappelle les notations suivantes. N = 0, 1, 2,...} l'ensemble des nombres entiers naturels, Z =..., 2, 1, 0, 1, 2,...} l'ensemble des nombres entiers relatifs, Q = p q, p N, q N } l'ensemble des nombres rationnels, R l'ensemble des nombres réels, C l'ensemble des nombres complexes. Remarque. Pour chacun de ces ensembles, une étoile en exposant signie qu'il est privé de 0. Par exemple, N = 1, 2, 3,...} ; un + en indice signie qu'on ne garde que les éléments positifs ou nuls. Par exemple, R + = [0, + [ et R + =]0, + [. La construction rigoureuse de R est hors programme. On admettra que R est un ensemble qui contient Q et qui vérie toutes les propriétés intuitives connues. Notamment les nombres réels sont souvent représentés comme les points d'une droite continue, appelée la droite réelle. 1 Nombres réels 1.1 Intervalles Les intervalles sont des sous-ensembles de R. Ils sont dénis par leurs deux extrémités, qui peuvent chacune être fermée : l'extrémité est incluse dans l'intervalle, ouverte : l'extrémité n'est pas incluse dans l'intervalle, non bornée : l'extrémité est + ou. Cela fait en tout 9 types d'intervalles diérents : [a, b] = x R a x b}, [a, b[= x R a x < b}, [a, + [= x R a x}, ]a, b] = x R a < x b}, ]a, b[= x R a < x < b}, ]a, + [= x R a < x}, ], b] = x R x b}, ], b[= x R x < b}, ], + [= R. 1

2 Exemple. L'intervalle ] 2, 5] = x R : 2 < x 5} est ouvert à gauche et fermé à droite, l'intervalle [0, 10] = x R : 0 x 10} est fermé à gauche et à droite. On dit qu'il est fermé tout court. l'intervalle [π, + [= x R : x π} est fermé à gauche et non borné à droite. Remarque. Soit a R. Le singleton a} est un intervalle (un peu particulier) puisque a} = [a, a]. 1.2 Valeur absolue Dénition 1. la valeur absolue d'un réel x est dénie par x, si x 0, x = x, si x < 0. On verra plus tard que le module d'un nombre réel coïncide avec sa valeur absolue. Ceci justie que module et valeur absolue soient notés de la même façon. Remarque. La valeur absolue permet d'exprimer simplement la distance entre deux réels x et y : d(x, y) = x y. En particulier, x représente la distance de x à l'origine 0. Propriété 1. La valeur absolue vérie les inégalités suivantes : x 0, xy = x. y, x = 0 x = 0, x a a x a, x = max( x, x). Comme on l'a vu, il y a égalité entre la valeur absolue d'un produit et le produit des valeurs absolues. Ce n'est pas le cas pour la somme en général. Cependant on a quand même l'inégalité suivante. Proposition 1 (Inégalité triangulaire dans R). Soient x, y R. On a x + y x + y, avec égalité si et seulement si x et y sont de même signe. 2

3 Intérêt de cette inégalité : si les valeurs absolues de x et de y ne sont pas trop grandes alors celle de x + y non plus. Remarque. On a aussi l'inégalité triangulaire inversée : x y x y. 1.3 Partie entière Dénition 2. La partie entière d'un nombre x R est le plus grand entier relatif qui soit inférieur ou égal à x. Elle est notée x. Concrètement, x est donc caractérisée par l'encadrement suivant : ou, de manière équivalente, par x x < x + 1, x 1 < x x. 1.4 Exposants, racine carrée Dans cette section x, y R et m, n Z. Dénition 3. Si n > 0 on note x n le produit de x par lui même n fois. Si n < 0 on note x n = 1. x n Cas n = 0. Pour x 0, x 0 = 1 par convention. Attention : 0 0 est une forme indénie. Dénition 4. Si x 0 la racine carrée de x est l'unique réel positif dont le carré soit égal à x. Elle est notée x. Attention : si x < 0 la racine carrée de x n'est pas dénie. On rappelle les identités suivantes : (xy) n = x n y n, x n+m = x n x m, (x n ) m = x nm, 1.5 Identités remarquables ( x) 2 = x, x 2 = x, xy = x y. On rappelle les trois formules suivantes. Même si on les retrouve immédiatement en développant, elles sont à connaître sur le bout des doigts tant leur usage est fréquent. Pour a, b R, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab, (a + b)(a b) = a 2 b 2. 3

4 1.6 Résolution d'équations Résoudre une équation à une variable réelle, c'est déterminer l'ensemble des x R (appelés solutions) qui vérient une certaine égalité (E). Les exemples suivants montrent que tout est possible : (E) x = 0 : aucune solution, (E) 3x + 2 = 10 : 1 solution, (E) (x 1)(x + 4)(x + 3) = 0 : plusieurs solutions, (E) cos x = 1/2 : une innité de solutions. La méthode générale consiste à transformer (E) en une équation plus simple où les solutions sont facilement identiables, ceci en procédant par équivalence. A chaque étape il faut appliquer la même opération au terme de gauche et au terme de droite. On peut par exemple ajouter une même quantité des deux côtés, multiplier ou diviser par une même quantité des deux côtés, passer à l'exponentielle des deux côtés... Remarque. Attention, l'équivalence doit toujours être respectée. Par exemple on ne peut pas, a priori, élever au carré les deux côtés car l'équivalence a = b a 2 = b 2 est fausse. Des fois, on se retrouve après opérations avec un produit de facteurs qui doit s'annuler : résoudre par exemple x 3 ln(x) = 3x 2 ln(x). On rappelle qu'un produit s'annule si et seulement si l'un au moins de ses facteurs s'annule. Ainsi l'ensemble des solutions dans l'exemple précédent est 0, 1, 3}. Application : résolution de l'équation ax 2 + bx + c = 0, avec x R. En appliquant ce qui précède, on obtient la règle suivante. On pose := b 2 4ac, le discriminant. si > 0, deux racines b 2a si = 0, une racine b 2a, si < 0, aucune racine. 1.7 Inégalités Résolution d'inéquations et b+ 2a, La méthode est la même que pour les équations, mais il faut se souvenir que certaines opérations retournent le sens de l'inégalité. Prenons x et y de même signe. Si a > 0, en revanche si a < 0, x y ax ay, et x < y ax < ay, x y ax ay, et x < y ax > ay. Attention aussi au passage à l'inverse! Toujours pour x et y de même signe, x y 1 x 1 y, et x < y 1 x > 1 y. 4

5 De manière générale une inégalité est conservée quand on applique une fonction croissante à droite et à gauche, et elle est inversée quand on applique une fonction décroissante. Par exemple : x y e x e y, x y x y, x y ln x ln y Exemple. Résoudre l'inéquation ln(1 + x 2 ) > 1, où x R. Que faire quand une résolution directe (comme dans l'exemple précédent) n'est pas possible? Méthode générale : 1. Tout faire passer du même côté de l'inégalité, 2. factoriser l'expression obtenue, 3. appliquer la règle des signes pour conclure (avec un tableau de signes si besoin. Exemple. Résoudre x ln x 2 ln 2 x 4 ln(x) + x ln 2 x > 2 ln 2 x. Au passage on rappelle la règle suivante pour un polynôme P (x) = ax 2 +bx+c du second degré : P (x) est du signe de a à l'extérieur de ses racines Montrer une inégalité entre deux fonctions On a fréquemment à montrer des assertions du type : x I, f(x) g(x), où f et g sont deux fonctions sur un intervalle I. Si l'inégalité ne saute pas aux yeux on peut toujours appliquer la méthode suivante : 1. introduire la fonction u = g f, 2. étudier le signe de u en commençant par examiner ses variations. Exemple. Montrer que x R, e x 1 + x. 1.8 Bornes inférieures, bornes supérieures Dans cette section A est une sous-partie de R. Dénition 5. M est un majorant de A si x A, x M. m est un minorant de A si x A, x m. Une sous-partie de R qui admet un majorant (resp. minorant) est dite majorée (resp. minorée). Une partie minorée et majorée est dite bornée 5

6 Exemple. La sous-partie A =], 2] [4, 5] est majorée : par exemple 6 en est un majorant. Par contre A n'est pas minorée (et a fortiori pas bornée non plus). Remarque. si M est un majorant de A tout nombre M M est aussi un majorant de A. Une partie majorée admet donc une innité de majorants. Proposition 2. A est bornée si et seulement si M R : x A, x M. Dénition 6. b est le maximum de A (on dit aussi son plus grand élément) si b est un majorant de A et b A. On note alors b = max(a). a est le minimum de A (on dit aussi son plus petit élément) si a est un minorant de A et a A. On note alors a = min(a). Il est possible que A n'admette pas de maximum. Exemple. A =]0, 2[ n'admet pas de maximum car ses majorants sont les nombres supérieurs ou égaux à 2, et ceux-ci n'appartiennent pas à A. Exemple. A =]1, + [ n'admet pas de maximum car il n'a pas de majorant. Théorème 1 (théorème de la borne supérieure (admis)). Si A est majorée, l'ensemble M A = M R x A, x M} de ses majorants admet un minimum. Si A est minorée, l'ensemble M A = m R x A, x m} de ses minorants admet un maximum. Dénition 7. Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A, notée sup(a), le plus petit majorant de A. Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A, notée inf(a), le plus grand minorant de A. Proposition 3. Si A admet un maximum b, alors on a aussi b = sup(a). Si A admet un minimum a, alors on a aussi a = inf(a). Démonstration. si b = max(a) alors b est un majorant de A et par ailleurs si b < b, b n'est pas un majorant de A. Exemple. A = [0, 1[ n'admet pas de maximum mais admet une borne supérieure qui est 1. Exemple. B = [0, 1] admet un maximum qui est 1, et qui est aussi sa borne supérieure. Le résultat suivant est une méthode pour déterminer la borne supérieure d'un ensemble. 6

7 Proposition 4. b est un majorant de A b = sup(a) il existe une suite (x n ) à valeurs dans A telle que lim x n = b. a = inf(a) a est un minorant de A il existe une suite (x n ) à valeurs dans A telle que lim x n = b. Proposition 5. Si A et B sont majorées avec A B alors sup(a) sup(b). Si A et B sont minorées avec A B alors inf(a) inf(b). Dénition 8. On dit qu'une fonction f : I R est bornée (resp. majorée/minorée) si l'ensemble f(i) R est borné (resp. majoré/minoré). On note alors max x I f(x) = max f(i), et les notations analogues pour min, sup et inf. Exemple. Étudier les bornes supérieures des fonctions 2 Nombres complexes 2.1 Forme algébrique f : x cos x, g : x x 2 On dénit i comme un nombre vériant i 2 = 1. Le nombre i ne peut bien sûr pas être réel car les nombres réels ont un carré positif. L'ensemble des nombres complexes est déni par C = z = x + iy, x R, y R}. L'expression z = x + iy est appelée forme algébrique de z, en opposition à la forme exponentielle que nous verrons plus bas. Un nombre complexe z est donc déterminé par la donnée de sa partie réelle x, notée Re(z), sa partie imaginaire y, notée Im(z). Il faut bien noter que Re(z) et Im(z) appartiennent à R. Remarque. On a R C. En eet les nombres complexes de partie imaginaire nulle sont les réels. Dénition 9. On dit que z est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. L'ensemble des nombres imaginaires purs est noté ir. Proposition 6. deux nombres complexes z = x + iy et z = x + iy sont égaux si et seulement si x = x et y = y. 7

8 2.2 Opérations dans C Dans cette section on va voir que toutes les opérations algébriques que l'on connait sur R se prolongent à l'ensemble C. Premièrement, on peut additionner et multiplier des nombres complexes, en respectant la règle de distributivité de sur +. Proposition 7. Soient z = x + iy et z = x + iy deux nombres complexes. On a z + z = (x + x ) + i(y + y ), et zz = (xx yy ) + i(xy + yx ). Exemple. (1 + i)(2 + 3i) = 1 + 5i. Remarque. Pour λ R, on a Re(λz) = λre(z), et Im(λz) = λim(z). Proposition 8. Tout complexe z 0 admet un unique inverse, c'est-à-dire un complexe noté 1 z vériant z 1 z = 1. Démonstration. Vérier que pour z = a + ib l'équation (a + ib)(c + id) = 1 possède une unique solution (a, b) R 2 : ac bd = 1 (1) d = b a(2) b(1) ad + bc = 0 (2) c = a 2 +b 2 a a 2 +b 2 b(1) + a(2) 1 Calcul pratique de. La forme algébrique de 1/z s'obtient en multipliant en haut et en bas par la quantité conjuguée x iy. Par exemple x + iy i =. 3 i 4 Plus généralement on a toujours par cette méthode : ( ) ( ) 1 x y x + iy = + i. x 2 + y 2 x 2 + y 2 Enn on dénit le quotient de deux complexes par Exemple. 2 i 1 + i z/z = z 1 z (2 i)(1 i) = (1 + i)(1 i) = 1 3i. 2 Remarque. Les identités remarquables de la section 1.5 sont valables aussi lorsque a, b C. Remarque. Dans C, il n'y a pas comme pour R de relation d'ordre qui soit compatible avec l'addition et la multiplication. Autrement dit, on ne peut pas comparer deux nombres complexes. 8

9 2.3 Représentation géométrique des complexes On a l'habitude de représenter les nombres complexes comme les points d'un plan P muni d'un repère orthonormé, appelé plan complexe. Un nombre z C est associé à un point M P de la manière suivante : la partie réelle de z est l'abscisse du point M, la partie imaginaire de z est l'ordonnée du point M. L'axe horizontal de P correspond donc à l'ensemble des nombres réels, et l'axe vertical de P est l'ensemble des nombres imaginaires purs. Dénition 10. On dit que z est l'axe du point M. On dit également que z est l'axe du vecteur OM R 2. Pour résumer, on a la correspondance suivante : nombre complexe z = x + iy C point M(x, y) P vecteur OM(x, y) R 2. Propriété 2. Soient z et z représentés par les points M et M. Alors z + z est représenté par le point N tel que ON = OM + OM. 2.4 Conjugué d'un nombre complexe Dénition 11. Le conjugué d'un nombre complexe z = x + iy est z = x iy. Dans le plan complexe z est le symétrique de z par rapport à l'axe des abscisses. Propriété 3. Re(z) = z+z z z, et Im(z) =, 2 2i z = z, z + z = z + z, 9

10 zz = zz. En particulier si λ R, λz = λz, z/z = z/z z n = z n. Démonstration. On calcule séparément (a + ib)(c + id) et (a ib)(c id) pour constater que le résultat est le même. Proposition 9. On a les équivalences suivantes. z R z = z, z ir z = z. 2.5 Module d'un nombre complexe Dénition 12. Soit z = a + ib. On dénit le module de z par z = a 2 + b 2. Lorsque z R le module de z coïncide avec sa valeur absolue. On donne maintenant une autre expression du module de z. Selon les calculs que l'on veut mener, il peut être plus pertinent d'utiliser l'une ou l'autre des expressions de z. Proposition 10. On a z = zz. Propriété 4. zz = z z, z/z = z / z, z n = z n, z = z = z, z = 0 z = 0, z = z z R +. Interpretation geometrique. Dans le plan complexe z représente la distance de l'origine au point d'axe z, autrement dit la norme du vecteur OM. De même z z représente la distance du point d'axe z au point d'axe z, soit la norme du vecteur MM. Ainsi l'ensemble des nombres complexes de module 1 est représenté par un cercle de centre O et de rayon 1. Proposition 11 (Inégalité triangulaire dans C). Soient z, z C. On a z + z z + z, avec égalité si et seulement si z = 0 ou z /z R +. 10

11 Démonstration. On calcule : z + z 2 = (z + z )(z + z ) = z 2 + z 2 + 2Re(zz ) z 2 + z z z donc z + z 2 ( z + z ) 2 On peut généraliser cette inégalité à une somme de n termes z 1,..., z n : z 1 + z n z z n. 2.6 Forme trigonométrique et exponentielle Dénition 13. On note (O, i, j ) le repère orthonormé associé au plan complexe. Soit z C. On appelle argument de z toute mesure de l'angle ( i, OM), où M est le point d'axe z. On le note Arg(z). Remarque. Un nombre complexe z a une innité d'arguments. Si θ est un argument de z alors tous les θ + 2kπ sont aussi des arguments de z. On dit que Arg(z) est déni modulo 2π. Pour cette raison toutes les égalités concernant les arguments doivent être suivies de la notation [2π]. Cependant s'il faut choisir un argument en particulier on choisira sa valeur principale, c'est-à-dire le seul qui appartienne à l'intervalle ] π, π]. Un autre choix possible serait de choisir celui qui appartient à l'intervalle [0, 2π[. Remarque. z = 0 n'admet pas d'argument car l'angle fait avec un vecteur nul n'est pas déni. Proposition 12. Soient z, z C. On a z = z z = z et Arg(z) = Arg(z ) [2π]. Calcul pratique de θ = Arg(a + ib) : on se sert de cos θ = a a 2 +b 2, sin θ = b a, 2 +b 2 ou tan θ = b a. Exemple. Calculer Arg(1 + i). Dénition 14 (Forme trigonométrique). Soit z C. En notant ρ = z et θ = Arg(z) [2π], on a z = ρ(cos θ + i sin θ). Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique de z. Réciproquement si z = ρ(cos θ + i sin θ) avec ρ > 0 alors ρ, θ sont le module et l'argument de z. Propriété 5. Arg(zz ) = Arg(z) + Arg(z ) [2π], 11

12 Arg(z/z ) = Arg(z) Arg(z ) [2π], Arg(z n ) = narg(z) [2π], Arg(z) = Arg(z) [2π], Arg(λz) = Arg(z) [2π], si λ > 0, π + Arg(z) [2π], si λ < 0. Démonstration. Seule la première est à montrer (les deux suivantes en découlent et les deux dernières sont évidentes). Soient z = ρ(cos θ + i sin θ) et z = ρ (cos θ + i sin θ ). Alors zz = ρρ (cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )) Dénition 15 (Exponentielle complexe, forme exponentielle). Soit θ R. On dénit e iθ = cos θ + i sin θ Soit z C. En notant ρ = z et θ = Arg(z) z = ρe iθ. [2π], on a Cette écriture s'appelle la forme exponentielle de z. Remarque. quand θ varie, e iθ décrit l'ensemble des nombres complexes de module 1, c'est-à-dire le cercle unité. Propriété 6. e iθ = 1 et Arg(e iθ ) = θ [2π], e iθ = e iθ θ = θ [2π], e i(θ+θ ) = e iθ e iθ, e inθ = (e iθ ) n, e i(θ θ ) = e iθ /e iθ, e iθ = e iθ. Démonstration.... Théorème 2 (Formule d'euler). On a Démonstration.... cos θ = eiθ + e iθ 2 Théorème 3 (Formule de De Moivre). On a Démonstration...., sin θ = eiθ e iθ. 2i (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ). Moralité : la forme algébrique permet d'exprimer z en fonction du couple partie réelle/partie imaginaire, alors que la forme trigonométrique permet d'exprimer z en fonction du couple module/argument. Cette dernière est plus adaptée aux calculs de produits, de puissances. 12

13 2.7 Résolution d'une équation du second degré dans C. Soient a, b, c R avec a 0. On s'intéresse à l'équation az 2 + bz + c = 0, z C. (E) Autrement dit on veut déterminer les nombres complexes z qui vérient cette égalité. On remarque que (E) équivaut à ( z + b ) 2 2a 4a = 0, 2 où = b 2 4ac est le discriminant. On en déduit le résultat suivant Théorème 4. On distingue trois cas : 1. si > 0, (E) admet 2 solutions réelles z = b± 2a ; 2. si = 0, (E) admet 1 unique solution réelle z = b 2a ; 3. si < 0, (E) admet 2 solutions complexes conjuguées z 1 = b±i 2a. Notons z 1 et z 2 les deux solutions de (E), avec z 1 = z 2 si = 0. On a az 2 + bz + c = a(z z 1 )(z z 2 ) = a(z 2 (z 1 + z 2 )z + z 1 z 2 ). En identiant les coecients, on obtient le résultat suivant. Théorème 5. Les deux racines z 1 et z 2 de l'équation (E) sont déterminés par leur somme et leur produit : z 1 z 2 = c a, z 1 + z 2 = b a. Exemple. Déterminer les racines du polynôme P (x) = x 2 ( 3+ 2)x+ 6, en commençant par essayer la méthode classique. 2.8 Dénition de e z pour z C Jusqu'ici on a déni e x pour x R, et e iθ pour θ R. Autrement dit l'exponentielle est dénie pour les nombres réels et pour les nombres imaginaires purs. On va voir maintenant comment dénir plus généralement e z pour z C. Dénition 16. Soit z = x + iy. On dénit Proposition 13. On a e z+z = e z e z, e z z = e z /e z, e nz = (e z ) n. e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y). 13