TES- Correction BAC Blanc Février Mathématiques

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1 TES- Corrction BAC Blanc Févrir 0 - Mathématiqus EXERCICE 5 points Commun à tous ls candidats Un ntrpris pint ds jouts. Pour cla, ll utilis dux machins M t M. La machin M pint un quart d la production. On sait qu la machin M pint corrctmnt un jout avc un probabilité d 0,85 alors qu la machin M, plus récnt, l fait avc un probabilité d 0,95. Tous ls jouts sont mélangés puis achminés nsmbl vrs l unité d mballag. On choisit alors un jout au hasard, tous ls choix étant équiprobabls. On not : A l évènmnt : «l jout st pint par M» A l évènmnt : «l jout st pint par M» B l évènmnt : «l jout st pint corrctmnt». On désign par p la fonction qui à un événmnt lui associ sa probabilité.. a. On désign par B l événmnt contrair à B, c st à dir «l jout n st pas joué corrctmnt». Arbr pondéré rprésntant la situation décrit : 0,85 B 0,5 A 0,5 B 0,75 0,95 B A 0,05 B b. L événmnt A B st l événmnt «l jout d l ntrpris st pint corrctmnt par M.» c. p(a B = p(a p A (B = 0,5 0,85 = 0,5 (=,5 %. d. La formul ds probabilités totals, sachant qu ls événmnts A t A formnt un partition d l univrs, nous donn : p(b = p(a B+p(A B = p(a p A (B+p(A p A (B = 0,5 0,85 + 0,75 0,95 = 0,5 + 0,75 = (= 9,5 %.. L jout choisi st pint corrctmnt. On chrch p B (A = p(a B = 0,5 p(b 0,3 (= 3 %. Rné Cassin - Gonss Févrir 0

2 . Résultats arrondis à 0 près. On choisit maintnant au hasard t d façon indépndant 4 jouts. Pour i {;;3;4}, notons B i l événmnt «l i èm jout st pint corrctmnt» t B i son événmnt contrair i.. «l i èm jout n st pas pint corrctmnt». D après la qustion.d., pour tout ( i {;;3;4}, p(b i = p(b = t p (B i = p B = p(b = =. a. On chrch p(b B, d plus comm l tirag ds 4 jouts st indépndants, on obtint : p(b B = p(b p(b p( p( = ( p(b 4 = 4 0,73 (= 73 %. b. L événmnt contrair à l événmnt chrché «Au moins un jout n st pas pint corrctmnt» st l événmnt «Ls 4 jouts sont pints corrctmnt» dont on a calculr la probabilité à la qustion précédnt, ainsi on obtint : p ( «Au moins un jout n st pas pint corrctmnt» = ( p «Au moins un jout n st pas pint corrctmnt» = 4 0,7 (= 7 %. Rmarqu : Sachant qu l tirag ds 4 jouts st indépndants, on obtint l arbr pondéré suivant : B B B B B B Rné Cassin - Gonss Févrir 0

3 EXERCICE 4 points Obligatoir Ct xrcic st un qustionnair à choix multipls. Pour chacun ds quatr qustions, quatr réponss sont proposés ; un sul d cs réponss convint. Indiqur sur votr copi l numéro d la qustion t rcopir la répons xact sans justifir l choix ffctué. Un bonn répons apport point ; un répons inxact nlèv 0,5 point ; l absnc d répons n apport, ni n nlèv aucun point. Si l total st négatif, la not st ramné à zéro.. L prix d un produit dérivé du pétrol a augmnté d 60 % durant l anné 005. Pour rvnir à sa valur initial, c prix doit baissr d 37,5 %. En fft un augmntation d 60 % rvint à multiplir l prix initial par,60. Pour trouvr l prix initial, on doit donc divisr par,6 c qui rvint à multiplir par = 0,65 = 0,375 =,6 37,5% : ainsi c prix doit baissr d 37,5 %.. Lors d un xpérinc aléatoir, on considèr dux événmnts indépndants A t B qui vérifint P(A = 0,3 t P(B = 0,5. On a alors : P(A B = 0,65. En fft, sachant qu A t B sont ds événmnts indépndants, on a p(a B = p(a p(b ; d plus p(a B = p(a+ p(b p(a B = p(a+ p(b p(a p(b = 0,3+0,5 0,3 0,5 = 0,8 0,5 = 0, f st la fonction défini sur l intrvall ]0 ;+ [ par f (x = x + x. La courb rprésntativ d la fonction f dans un rpèr orthonormal du plan admt pour asymptot la droit d équation : ( y = x. En fft lim f (x (x = lim (x + x (x = lim = 0 donc la droit x + x + x + x d équation y = x st asymptot à la courb rprésntativ d la fonction f n +. ( ( 8 4. L nombr A = ln + 5ln + ln st égal à : 4 ( ( 8 +4ln. En fft A = ln +5ln+ln = (ln( ln(4+5ln(+ln(8 ln( = 4 ( ln ( + 5ln( + ln ( 3 = ( ln( + 5ln( + 3ln( = 4ln( + 8ln( = + 4ln( 3x 3 x La limit lim x x st égal à : 4 En fft lim 3x 3 x + 5 = 3 ( 3 ( + 5 = = 4 t lim x = ( = x x 3x 3 x + 5 = donc lim x x = 4 = 4 Rné Cassin - Gonss 3 Févrir 0

4 EXERCICE 5 points Spécialité Parti A. a. D après l théorèm d Eulr, un graph connx admt un chaîn ulérinn si t sulmnt si l nombr d ss sommts d dgré impair vaut 0 ou. C graph st connx : il xist un chaîn ntr dux qulconqus d ss sommts. Il y a dux sommts d dgré impair : E st d dgré 3 t F st d dgré 5. C graph admt donc un chaîn ulérinn. b. Ctt chaîn n st pas ulérinn car ll n contint pas l arêt DF.. L sous graph ABF E st complt d ordr 4. Pour colorr c graph il faut donc au moins quatr coulurs donc 4 γ. 3. Si r st l plus grand dgré ds sommts d un graph alors l nombr chromatiqu d c graph st infériur ou égal à r +. L plus grand dgré d c graph st l dgré du sommt F c st-à-dir 5 donc γ Sommt F A B E C D Dgré Coulur O * + # * + On a trouvé quatr coulurs pour colorr c graph t 4 γ, donc l nombr chromatiqu γ = 4. Parti B.. Il y a trois chaîns d longuur 3 rliant B à D car l nombr situé dans la èm lign, 4 èm colonn d la matric M 3 st 3. Cs chaîns sont : BC ED ; BE AD ; BC AD. Rné Cassin - Gonss 4 Févrir 0

5 EXERCICE 3 5 points Commun à tous ls candidats Soit g la fonction défini sur ]0;+ [ par g (x = x ln(x.. a. Pour tout x ]0;+ [, g (x = x = x x ( b. Pour tout x ]0;+ [, x x ln(x x x = x x. = x x ln(x x = x ln(x = g (x. CQFD. x x c. lim g : on utilis l xprssion d g (x trouvé à la qustion.b. : g (x = x + lim x + = lim x + x = 0 donc lim x + x ln(x = x > 0 l n(x lim = 0 x + x or lim x = + x + lim 0 lim x 0 donc lim x + g (x = +. g : on utilis l xprssion d g (x d départ : g (x = x ( ln(x x = lim l n(x = d où lim l n(x = + x 0 (+ x 0 (+ ( d. g = l n ( donc lim g (x = +. x 0 = (ln( ln( = 0 + = ( x l n(x x ( t g = g (x = ( ln = (l n( ln( = + ln( = l n(. On utilis l xprssion d g trouvé à la qustion.a. : g (x = x x. Sachant qu x = 0 x =, qu x = 0 x = 0 t qu > 0, on obtint l tablau ds variations d g suivant avc ln( 0,3 : x 0 x x g (x 0 + g + ln( 0,3 + Rné Cassin - Gonss 5 Févrir 0

6 f.. g ( = l n( = = 0. [ [ Or g st strictmnt croissant sur [; + [ ;+, donc g ( st l minimum d g sur l intrvall [;+ [ c qui impliqu qu pour x, g (x g ( = 0. CQFD. 0,37 t,36, donc 0 < < [, ainsi g st strictmnt décroissant sur ; [ t continu ( sur c mêm intrvall, d plus g = ( ( ( > 0 t g < 0 g = ln( 0,3, donc, d après l théorèm d bijction (corolair du théorèm ds valurs intrmédiairs, il xist un [ uniqu rél α ; ] tl qu g (α = 0. CQFD À l aid d la calculatric (via l tablur par xmpl, on trouv comm valur approché α 0,55 d où 0,55 < α < 0,56.. Rné Cassin - Gonss 6 Févrir 0

7 3. Soit f la fonction défini sur ]0;+ [ par : f (x = x xln(x. a. f (x = x ( ln(x + x = x ln(x = g (x x En utilisant ls résultats ds qustions précédnts, on n déduit l tablau d variations d f : x 0 α + f (x = g (x f (+ b. On calcul ls imags suivants pour complétr l tablau d variations d f : ( ( f = ( ln + = ( ln( = + = > 0 3 f ( = ln( = = 0 x 0 α + f (x f > 0 ainsi f st bin posi- [ On a donc l minimum d f sur ;+ [ [ tiv ou null sur ;+. [ ( qui st 0 car f ( = + [ [ Rmarqu : lim f (x = 0 donc n fait, f ( = 0, t pour tout x x 0 ;+ \ {}, f (x > 0. Rné Cassin - Gonss 7 Févrir 0

8 EXERCICE 4 5 points Commun à tous ls candidats Ct xrcic st un Q.C.M. Chaqu qustion comport trois affirmations rpérés par ls lttrs a, b, c, dont un sul st corrct. Sur votr copi, notr l numéro d la qustion t rcopir la répons xact. Aucun justification n st dmandé. Un bonn répons apport point ; un répons inxact nlèv 0,5 point ; l absnc d répons n apport, ni n nlèv aucun point. Si l total st négatif, la not st ramné à zéro. La courb C donné ci-dssous st la courb rprésntativ d un fonction f défini t dérivabl sur l intrvall ] 3;+ [. On sait qu l point A d coordonnés (0; appartint à la courb C t qu la fonction f admt un minimum pour x = 0. En outr, ls droits d équations rspctivs y = 4 t x = 3 sont asymptots à la courb C.. La limit d la fonction f n + st : c. 4. La droit d équation x = 3 st asymptot à la courb C car : b. lim x 3 f (x = + 3. On not f la fonction dérivé d la fonction f sur l intrvall ] 3;+ [ : c. f (0 = 0 4. L équation d la tangnt à la courb C au point A st : a. y = 5. Sur l intrvall ] 3; + [, l équation f (x = x : c. admt un solution uniqu appartnant à l intrvall ];[ Rné Cassin - Gonss 8 Févrir 0