Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet

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1 Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER D Poquillon, C Mijoule et P Floquet SEPTEMBRE 005

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3 Cours semaine 1 :Introduction, définitions, résolution d équations 1-1 Introduction Le but de ces rappels de cours et de ces exercices est que vous disposiez des notions de base sur les nombres complexes, indispensables pour la résolution des problèmes faisant appel aux mathématiques et rencontrés par un ingénieur Chaque catégorie de nombres permet de résoudre de nouveaux problèmes Les nombres réels permettent de résoudre toutes les équations du premier degré (par exemple 3x = 5), mais ils ne permettent pas de résoudre toutes les équations du second degré (par exemple, x = 1 n a pas de solution dans R) Les nombres complexes que nous allons étudier maintenant permettent de trouver l ensemble des n solutions des équations algébriques de type : a + bx + cx + dx zx n = 0, et ce, quel que soit n Ils ont été introduit par des mathématiciens en Italie au XV I me siècle sous l appellation initiale de nombres imaginaires Ils sont très utilisés pour résoudre, entre autres, des problèmes de trigonométrie 1- Définitions 1 L ensemble C des complexes est l ensemble des couples ordonnés z = (a, b) de nombres réels (a R et b R) a R, on peut identifier le nombre (a, 0) C au nombre a R 3 z C avec z = (a, b) et z C avec z = (a, b ) C, on définit une égalité, une addition et une multiplication comme suit : z = z [ a = a b = b z + z = (a + a, b + b ) zz = (aa bb, ab + a b) 1

4 5 L élement neutre n a pour l addition tel que z C, n a + z = z + n a = z est le couple n a = (0, 0) noté z = 0 5 L élement neutre n m pour la multiplication tel que z C, n m z = zn m = z est le couple n m = (1, 0) 6 A chaque nombre complexe z = (a, b) on associe un complexe conjugué Il est noté z et est défini par z = (a, b) 7 l équation z = 1 s écrit en posant z = (a, b), z = (a b, ab) donc z = 1 [ a b = 1 ab = 0 a = 0 et b = 1 soit z = (0, 1) noté z = i ce qui donne deux solutions [ a = 0 et b = -1 soit z = (0, 1) noté z = -i 1-3 Représentation géométrique A tout nombre complexe z = (a, b) on peut faire correspondre, dans un repère orthonormé muni d une base orthogonale directe, le point M d abscisse a et d ordonnée b (cf figure 1-31) Réciproquement, à tout point M du plan correspond un et un seul nombre complexe de C Sur la figure ci-dessous, Ox est l axe des réels et Oy l axe des imaginaires y b M{z = (a, b)} 1 1 a x FIG 1-31 Représentation d un nombre complexe z par un point M 1-4 Le nombre complexe i et la notation associée Tout nombre complexe z = (a, b) peut se mettre sous la forme :

5 1-4 LE NOMBRE COMPLEXE I ET LA NOTATION ASSOCIÉE 3 z = a + ib Le réel a est la partie réelle de z, elle est notée Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z) Le nombre complexe i =(0,1) est solution de z = 1 Si a = 0, alors z = ib est un imaginaire pur C est avec cette notation dite notation complexe (z = a+ib) que les calculs sur les nombres complexes sont effectués comme dans R, en utilisant la relation i = 1 Soit z = a + ib, alors le conjugué de z est z = a ib De plus, on montre que : a) z = z b) (z + z ) = z + z c) (zz ) = z z y b M(z) O -a a x M ( z) -b M (z) FIG 1-4 Représentation géométrique d un nombre complexe z, de son conjugué et de son opposé Nous avons vu qu à tout élément z de C peut être associé un point M et un seul du plan complexe (repère orthonormé muni d une base orthogonale directe) Ce point M a pour abs-

6 4 cisse a et pour ordonnée b (cf figure 1-4) z est l affixe de M 1-5 Forme trigonométrique Le module de z, noté z, est défini comme la norme du vecteur OM Or les coordonnées de ce vecteur sont ( a b ), donc : z = a + b L argument de z est la mesure (en radians) de l angle entre l axe des x et OM Cet angle est définit à kπ près Pour z=0, l argument n est pas défini Sinon, on utilisera, toujours avec les notations de la figure 1-53 : arg(z) = arctan( b a ) y b = r sin(θ) M{z = (a, b)} r = a + b r θ a = r cos(θ) x FIG 1-53 Représentation trigonométrique d un nombre complexe z(a,b) Tout nombre complexe non nul z de module r et d argument θ peut donc s écrire sous la forme z = r(cos(θ) + i sin(θ)) Cette écriture est la forme trigonométrique du nombre complexe z

7 1-6 FORME TRIGONOMÉTRIQUE D UN PRODUIT ET FORMULE DE MOIVRE Forme trigonométrique d un produit et formule de Moivre Soit z = r(cos θ + i sin θ) et z = r (cos θ + i sin θ ), alors on remarque que : zz = rr (cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ ) Soit zz = rr {(cos θ cos θ sin θ sin θ ) + i(cos θ sin θ + cos θ sin θ)} D où zz = rr {cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )} Donc zz = rr et arg(zz ) = θ + θ L application de cette propriété conduit à la formule de Moivre : n N, θ R (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ On aura donc par exemple : (cos π + i sin Π 4 4 )003 = cos 003Π + i sin 003Π Notation re iθ Dans la formule de Moivre, on peut remarquer que l argument θ se comporte comme un exposant On convient de noter : On aura donc par exemple : z = r(cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ 1 + i 3 = ( 1 + i 3 ) = ei Π 3 car 1 = cos Π 3 et 3 = sin Π 3 Avec cette notation la formule de Moivre devient : (e iθ ) n = e inθ D autre part, z = re iθ C, z = r e iθ C

8 6 zz = rr e i(θ+θ ) z z = r r e i(θ θ ) 1-8 Formule d Euler Pour tout nombre réel θ : cos θ = eiθ +e iθ et sin θ = eiθ e iθ i 1-9 Formules trigonométriques utiles En utilisant les résultats qui précèdent on montre que a, b R : cos a + cos b = cos a+b cos a cos b = sin a+b sin a + sin b = sin a+b sin a sin b = cos a+b cos a b sin a b cos a b sin a b cos a cos b = 1 (cos(a + b) + cos(a b)) sin a sin b = 1 (cos(a + b) cos(a b)) sin a cos b = 1 (sin(a + b) + sin(a b)) 1-10 Interprétation géométrique d opérations dans C En regardant la figure précédente, on étudie les transformations suivantes : z z + a Soit a et z deux nombres complexes affixes respectifs des points M et A Alors si z =

9 1-11 RACINE DE L UNITÉ DANS C 7 y M : z =z+a θ a M θ z M : z = z e iθz θ a A : a = a e iθ a M : z = za = z a e i(θz+θa) FIG Translation et rotation x z + a est l affixe du point M, M est l image de M par la translation de vecteur v = OA d affixe a z az a = a e iθ a C z = z e iθ z C, on a alors az = a z e i(θ a+θ z ) Donc si M est le point d affixe z = az, M est l image de M d affixe z par l homothétie de centre O et de rapport a et la rotation de centre O et d angle Arg(a) = θ a 1-11 Racine de l unité dans C La notation complexe est utile pour résoudre n N, z n = 1 En effet, on remarque que 1 = e iπ et que (e i π n ) n = e iπ = 1 z=e i π n est une racine n ième de l unité Les autres racines sont obtenues par multiplication par z Les n racines n ième de l unité sont donc : e i π n ; e i π n ; e 3i π n ; e ni π n Elles se placent dans le plan complexe sur le cercle de rayon 1 centré sur l origine et sont espacées d un angle π n La racine troisième de l unité est noté j (cf figure 1-115) On a j 3 = 1 et comme propriété remarquable :

10 8 y j j 1 O θ = Π 3 x 1 FIG Racine troisième de l unité j = j 1 + j + j = 0 La notation complexe est utile pour résoudre : Les n racines n ième de re iθ sont : n N, z n = re iθ n re iθ n ; n re i( θ n + π n ) ; n re i( θ n + π n ) ; ; n re i( θ n + (n 1)π n ) On remarque que l on obtient toutes les racines n ième de re iθ en multipliant successivement n re iθ n par les racines n ième de Résolutions dans C des éq du second degré à coef réels On rappelle qu une équation de degré n a n racines dans C On se propose de résoudre dans C toute équation de type az + bz + c où a,b et c sont des nombres réels (a 0) La factorisation canonique effectuée dans R reste valable dans C az + bz + c = a([z + b a ] 4a ) où = b 4ac

11 1-1 RÉSOLUTIONS DANS C DES ÉQ DU SECOND DEGRÉ À COEF RÉELS 9 Si 0, alors on sait résoudre l équation dans R Si < 0 : = = (i ), on résout a[(z + b a ) [i ] 4a ] = 0 Elle admet deux solutions complexes conjugués : z 1 = b+i et z a = b i a Dans le cas 0, alors on rappelle que l équation admet deux racines réelles : z 1 = b+ et z a = b a Dans tous les cas, on aura les deux propriétés suivantes : La somme des racines S = z 1 + z = b a Le produit des racines P = z 1 z = c a

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