EXERCICES D' (version 2.0 du )

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1 XRCICS D' LCTROSTATIQU (version. du 8..)

2 XRCIC. Auteur : Dhyne Miguël (7.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : champ électriue noncé : Une charge Q est placée au deux coins opposés d un carré ; une charge est placée aux deux autres coins. Si la résultante de la force électriue agissant sur Q est nulle, comment Q et sont-ils liés? Représentons le problème pour y voir plus clair : La demi-droite Q a une longueur de a. Notons ce ue nous savons déjà :,Q Q et Q ont même charge se repoussent (de même pour et ) tot cos(5) () tot Q () galisons () et () : cos(5) Q (3) Or, () et Q Q (5) Serveur d'exercices /3

3 t : ² a ² a ² a Q Q Selon l éuation (3), nous obtenons : cos(5) ² ² ² a a a Q d'où : Q Serveur d'exercices 3/3

4 XRCIC. Auteur : Dhyne Miguël (7.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : champ électriue noncé : Le champ électriue entre les plaues d u oscilloscope cathodiue est de. [V/m]. Quelle déflection subira un électron s il entre à angle droit par rapport au champ électriue avec une énergie cinétiue de [ev]? La longueur des plaues est de.5 [cm].. [V/m] Pour rappel : [ ev ].6 [ J ] F Or, d après la deuxième loi de Newton : F m a Donc, a m a ms 5. [ ] ch e J cin 6 ( ) arg.6 c ev 3. [ ] Serveur d'exercices /3

5 t donc, 6 3. v 3. m s 7.6 [ ] Suivant l axe des x, nous avons un mouvement rectiligne uniforme (MRU) : x v t x t v [s] Suivant l axe des y, nous avons un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) : a t² ² 3 Pour information la trajectoire de l électron avant son entrée dans l oscilloscope à une trajectoire rectiligne. Puis il est accéléré par le champ électriue et donc sa trajectoire devient paraboliue à l intérieur de l oscilloscope. A sortie, il ne sera plus accéléré et donc continuera en ligne droite (suivant la tangente à la parabole) si nous considérons l accélération gravifiue comme négligeable. La vitesse de la particule doit normalement subir une correction relativiste, en effet, la vitesse calculée est égale à [%] de celle de la lumière. 5 [m] Serveur d'exercices 5/3

6 XRCIC 3. Auteur : Dhyne Miguël (7.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : théorème de Gauss noncé : Les composantes du champ électriue dans la figure ci-dessous sont : x b x ; ; avec b 8 [N/ Cb m² ] y Z Calculez la valeur du flux à travers le cube ainsi ue la valeur de la charge à l intérieur du cube, a vaut cm. Il n existe u un champ électriue parallèle à l axe des X, travaillons désormais avec celui-là. Numérotons les différentes faces pour faciliter l écriture des éuations :. La face de gauche. La face du bas 3. La face de droite. La face de derrière 5. La face du haut 6. La face de devant ds Serveur d'exercices 6/3

7 ds ds 3 ds3 ds 5 ds5 6 ds6 Or comme cos( ) : ds ds 5 ds5 6 ds6 Il nous reste alors : ds 8. (.)² cos(8).53 Nm Cb 3 ds3 8. (.)² 3.58 Nm Cb t donc, Nm.5 Cb Nous savons, par la théorème de Gauss, ue : int int int.3 Cb Serveur d'exercices 7/3

8 XRCIC. Auteur : Dhyne Miguël (7.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : champ électriue noncé : Une sphère de masse égale à. [g] et portant une charge 3 [Cb] est attachée à l extrémité d un fil de soie de 5 [cm] de long. L autre extrémité du fil est attachée à une 6 grande plaue non conductrice verticale dont la densité surfaciue de charge vaut 5 [Cb/m²]. Déterminez l angle ue fait le fil avec la verticale. Réalisons un petit dessin, et voyons comment tout devient plus facile : T F c P Par les lois de Newtons, nous savons ue (l accélération est nulle, vu ue la boule est en éuilibre) : Nous en déduisons ue : T sin( ) Fc T cos( ) P P tan( ) F c Or : F c t donc : 5 6 tan( ) 3 3 Serveur d'exercices 8/3

9 XRCIC 5. Auteur : Dhyne Miguël (7.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : théorème de Gauss noncé : Deux surfaces cylindriues métalliues infinies et coaxiales de rayon a et b portent respectivement une charge et par unité de longueur. Calculer le champ créé en un point uelconue M. Pour ue le point soit vraiment uelconue, nous devons le considéré à trois endroits différents (les trois cas possibles où le champs est différent). Schématisons la situation : Pour ce ui est de M : Il se trouve sous la surface fermée a suivant le théorème de Gauss : int ds ds ( ) Choisissons un cylindre d axe O et de rayon M, de hauteur h. Il n y a aucune charge à l intérieur et donc : ( M) Serveur d'exercices /3

10 Pour ce ui est de M : Il se trouve entre les deux cylindres dont les rayons sont respectivement a et b. Choisissons un cylindre d axe O et de rayon M, de hauteur h. Dans ce cas, nous avons : ds int ( M ) r h h ( M ) r avec r d(, M ) Pour ce ui est de M 3 : Choisissons un cylindre d axe O et de rayon M 3, de hauteur h : int ( ) ds ( M 3) Serveur d'exercices /3

11 XRCIC 6. Auteur : Dhyne Miguël (8.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : potentiel et moment dipolaire noncé : Aux sommets d un carré ABCD de [m] de côté, sont placées les charges suivantes : A = [Cb] ; B = 8 [Cb] ; C = [Cb] ; D = [Cb]. Calculez le champ électriue et le potentiel en, centre du carré. Calculez le potentiel en point milieu de AB 3. Calculez le moment dipolaire de la distribution. Représentons tout d abord le tout sur un dessin : Considérons le point comme étant négatif (c est pour tracer les vecteurs du champ électriue). Notons ue le prendre positif n aurait en rien changer la réponse sauf ue la direction du vecteur résultant aurait été opposée. tant donné ue les charges sont égales en A et C et ue leur distance au point sont égales, le champ électriue résultant de ces deux charges en est nul. (les deux vecteurs étant dans des directions opposées. Il nous reste donc les champs électriues de B et D ui sont dans la même direction car une charge étant positive et l autre négative (un repousse et l autre attire dans la même direction). Serveur d'exercices /3

12 Il suffit alors de faire la somme de ces deux vecteurs pour obtenir le vecteurs champ électriue totale agissant sur le point. t de plus, comme la charge en B est égale à deux fois celle de B, nous pouvons dire ue la somme des deux champs électriues est égale au triple de celui créé par la charge située en D. D D B 3 )² ( [V/m] Concernant le potentiel, nous savons ue : i i i r V 8 8 V V [V]. Nous allons faire de même u au point précédent : V 8.5 V [V] 3. Considérons les axes x e et y e étant dirigé respectivement de à B et de à D. De plus nous savons ue : i i R i P y x y x e e e e P 8 8 ) 8 y e P e y P [Cbm] Serveur d'exercices /3

13 XRCIC 7. Auteur : Dhyne Miguël (8.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : champ électriue et potentiel noncé : Deux sphères métalliues de [cm] de rayon distantes de [m] portent respectivement une charge de 6 6 [Cb] et 3 6 [Cb]. n uel point de la droite joignant ces deux charges le potentiel est-il nul? Quelles sont la valeur et la direction du champ électriue en ce point? Faisons un schéma représentant le problème : V () x x x x x 6 d'où x [m] 3 Le potentiel est donc nul à 66 [cm] de la première sphère. n sachant cela, nous pouvons calculer alors le champ électriue en ce point : ² (.33)² [V/m] Serveur d'exercices 3/3

14 XRCIC 8. Auteur : Dhyne Miguël (8.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : énergie électrostatiue noncé : Calculez l énergie électrostatiue W d une sphère uniformément chargée en volume : charge totale Q, rayon R. On peut imaginer par exemple u on amasse la charge Q par couche sphériue successives (comme un oignon, en uelue sorte). Un noyau peut-être considéré grossièrement comme une distribution sphériue uniforme de 3 charges positives. On suppose u un noyau d uranium (Z=, rayon : [cm]) subit une fission symétriue en deux noyaux identiues. Quelle est l énergie u on peut espérer récupérer dans cette opération du fait de la variation de l énergie électrostatiue? V ² r Or : d ' r² dr ' r³ 3 Nous savons aussi ue : p R V ' d' r 3 ² dr p ² R Or : Serveur d'exercices /3

15 R³ 3 t donc, finalement, nous obtenons : 3 ² p 5 R Lors de la fission, nous avons un atome «mère» ui se désintègre en deux atomes «filles» : noyau _ mère 3 Vol R³.53 [m³] Déterminons le rayon de chaue noyau fille par rapport à celui de la mère : R³ r³ d'où r R² Calculons la différence d énergie libérée : p p i p f p 3 Q² 3 ( Q / )² 5 R 5 R 3 [J] Pour connaître ce résultat en [ev], il suffit de diviser le tout par.6 t dons, en remplaçant chaue variable par sa valeur, c.à.d : Nous obtenons alors : Q.6 R 5 p 3 [MeV] 8.85 Serveur d'exercices 5/3

16 XRCIC. Auteur : Dhyne Miguël (.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : condensateur noncé : Un condensateur sphériue est constitué de deux sphères concentriues de rayon R et R (R <R ). Déterminez la capacité de ce condensateur. Q C V V Or : R Q V V dr R² R d'où: Donc, nous avons alors : Q V V R R R R C R R Serveur d'exercices 6/3

17 XRCIC. Auteur : Dhyne Miguël (.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : condensateur noncé : Les armatures d un condensateur cylindriue sont deux cylindres infinis coaxiaux de rayon R et R. Déterminez la capacité par unité de longueur de ce cylindre. Par le théorème de Gauss, nous savons ue : t donc : S r l Or : Serveur d'exercices 7/3

18 t donc, C l R ln R R V V dr R l r l R R ln( ) R Serveur d'exercices 8/3

19 XRCIC. Auteur : Dhyne Miguël (.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : résistance, courant, potentiel noncé : Déterminez, d après la figue ci-dessous :. La résistance éuivalente du circuit. la courant total 3. le potentiel en A, B, C, D,. Le courant dans chaue résistance. Nous avons trois "groupes" de résistances : a. Résistance seule de [] ; b. Deux résistances en parallèle de [] et 5 [] ; c. Trois résistances en parallèle de [], 8 [] et 3 []. R é [] Serveur d'exercices /3

20 . Le courant total circule dans les fils : I tot I I I 3 I I 5 I 6 I tot V R tot tot 3 [A] 5 3. Potentiel «absolu» par rapport à un point à l infini. (ce n est pas une ddp!!!) V A V départ 3[V] VB VC Va R I 3 [V] V D V B 5 [V] 5 V V D 8 3 [V]. Pour ce point, nous allons utiliser la différence de potentiel (nous allons soustraire deux à deux les résultats obtenus au point précédent). I [A] I I V CD V CD [A] 8 [A] V I D. [A] I V D [A] V I 6 D 3.3 [A] 3 3 Serveur d'exercices /3

21 XRCIC. Auteur : Dhyne Miguël (.., miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés :pont de Wheatsone lois de Kirchoff noncé : Déterminez la résistance éuivalente et l intensité dans le cas du circuit de la figure suivante puis dans le cas où R = []. Redressons un peu le dessin : Nous voyons bien u il s agit d un montage en pont de Wheatstone ui fait ue, vu la répartition des résistances de [], le courant dans R est nul, car il n y a pas de différence de potentiel entre ses extrémités (cette résistance ne sert donc à rien. ( ) ( ) R é [] ( ) ( ) I R V [A] Déséuilibrons l ensemble en remplaçant R par une résistance de []. Appliuons les lois de Kirchhoff : Serveur d'exercices /3

22 Lois des Mailles : I : i i ' i i ' () II : i i ' i i ' () III : i i3 i i i3 i (3) IV : i ' i3 i ' i ' i3 i ' () Loi des nœuds : X : i i' i3 (5) Y : i i i (6) ' 3 (3) et (5) i i ' i (7) 3 () et (6) i ' i i ' (8) () (7) 5 i ' i 3 () 3 () () i ' i () De ces deux dernières relations, nous trouvons : i 7 [A] t donc, nous obtenons toutes les autres valeurs des intensités : Serveur d'exercices /3

23 i [A] i ' [A] i ' 6 [A] i 3 [A] t donc : i i i i' i ' 6 [A] R é [] 6 Serveur d'exercices 3/3