Les indices à utilité constante : une référence pour mesurer l évolution des prix

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1 PRIX Le indice à utilité contante : une référence pour meurer l évolution de prix Françoi Magnien et Jacque Pougnard* Le débat récent ur une poible uretimation de l inflation ont notamment porté ur l ampleur du biai de ubtitution dan le calcul de indice de prix. Ce biai réulte de l inuffiante prie en compte, avec un indice de Lapeyre, de tranfert d achat de conommateur entre produit ou point de vente en fonction de l évolution différenciée de prix. Le biai de ubtitution peut être important au niveau détaillé de produit. Idéalement, il conviendrait de calculer un indice à utilité contante (IUC), qui meure la variation de la dépene aurant au moindre coût le maintien du niveau d utilité face à la variation de prix. Calculer un IUC et délicat : il et néceaire de mettre en évidence une fonction d utilité qui rationalie le donnée. Formellement, ce problème et réolu grâce à la théorie de préférence révélée. En pratique, il faut dipoer de relevé trè fin de prix et de quantité, ce que permettent aujourd hui le donnée canner. Cette étude préente le réultat obtenu avec ce type de donnée pour de produit de grande conommation : le choix de conommateur, pri dan leur enemble, ont effectivement rationnel. Il n y a pa un, mai toute une plage d IUC, dont le valeur extrême coïncident de temp à autre avec le indice de Lapeyre et de Paache ; cette plage contient preque toujour l indice de Fiher. * Françoi Magnien et Jacque Pougnard appartenaient à la diviion Prix à la conommation de l Inee au moment de la rédaction de cet article. Le nom et date entre parenthèe renvoient à la bibliographie en fin d article. ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

2 Récemment, le indice de prix à la conommation (IPC) ont été au cœur d une polémique ur une poible uretimation de l inflation. Parti de État-Uni, le débat autour du rapport Bokin (1996) et étendu au Canada, au Royaume-Uni et à la France. L enjeu et important puique le IPC ont utilié pour réévaluer de pretation, maintenir le pouvoir d achat du Smic ou bien indexer le tranche d impôt. En dehor de nouveaux produit qui contituent, elon la Commiion Bokin et le organime tatitique nationaux, la ource de biai la plu importante le biai viendrait eentiellement de l inuffiante prie en compte de ubtitution, c et-à-dire de tranfert d achat de conommateur ver d autre produit ou point de vente en fonction de l évolution différenciée de prix au cour du temp. L indice de prix et obtenu par agrégation ucceive de ou-indice. À chaque étape de ce proceu, l agrégation et lapeyrienne : le évolution indiciaire entre deux période ont pondérée proportionnellement aux valeur de la conommation à la période initiale. Si on fait l hypothèe que le conommateur déplacent leur achat ver le produit qui augmentent relativement le moin, ce indice ne tiennent pa compte de leur place croiante dan le panier du conommateur. Or, le ubtitution ont importante au niveau détaillé de l IPC, là où ont utilié le prix relevé à partir d un decriptif trè poué de produit. Aini, le prix de pluieur dizaine de orte de café ont relevé chaque moi pour le calcul de l indice de prix. À ce niveau, de micro-indice (1) étaient calculé il y a peu à l aide de moyenne arithmétique de rapport de prix (2). Il y avait donc là une ource de uretimation de l inflation, un biai de ubtitution, auquel le tatiticien américain comme ceux de État membre de l Union européenne ont remédié en remplaçant la formule de la moyenne arithmétique de rapport de prix par une moyenne géométrique. de maintenir à la période courante le niveau d utilité de la période de bae. Cette approche repoe toutefoi ur une hypothèe fondamentale : l exitence d une fonction d utilité (3) par rapport à laquelle le choix de conommateur ont rationnel. Cela ignifie qu à chaque période, le quantité acquie maximient le niveau d utilité ou la contrainte de budget. Ce budget et bien ûr égal à ce quantité valoriée par le prix aocié (cf. encadré 1). On dit qu une telle fonction d utilité rationalie le donnée (prix et quantité). Lorque la fonction d utilité admet une forme «claique», on retrouve le indice connu. Par exemple, i la fonction d utilité et de type Cobb-Dougla, la formule à employer pour obtenir un IUC et la moyenne géométrique ; i la fonction d utilité et de type quadratique, c et l indice de Fiher. L indice de Lapeyre, quant à lui, correpond à une fonction d utilité à facteur complémentaire pour laquelle il n y a pa de ubtitution (cf. encadré 2). Ce fonction d utilité ont la propriété d être homothétique : i deux panier ont équivalent, alor il le retent tant que le quantité relative de produit retent inchangée dan le deux panier. L IUC contitue la référence pour le tatiticien d indice de prix (4). Il cherchent à en approcher au mieux, compte tenu de moyen de collecte dont il dipoent. C et pourquoi, en quelque année, la quai-totalité de pay ont abandonné, dan le calcul de micro-indice, la formule de Lapeyre pour la moyenne géométrique. La première uppoe que le agent n ont, rationnellement, aucune raion de ubtituer le produit entre eux alor que la moyenne géométrique renvoie à la fonction d utilité de Cobb-Dougla, donc à l hypothèe d une bonne ubtituabilité de produit et de point de vente (5). L indice de prix à utilité contante La théorie microéconomique jutifie ce choix. Elle propoe, en effet, une olution éduiante au problème de ubtitution : l indice à utilité contante (IUC). Son principe et imple : il conite à meurer l évolution minimale de la dépene de conommateur entre la période de bae et la période courante permettant, face à la variation différenciée de prix de produit offert, 1. Un micro-indice et calculé à partir de relevé de prix relatif à une clae étroite de produit, la variété, réalié dan de point de vente localié dan la même agglomération. Il y a environ un millier de variété (répartie dan le 304 pote de l IPC) et une centaine d agglomération. Cependant, toute le variété n étant pa uivie dan toute le agglomération, il n y a «que» micro-indice environ (Cf. Pour comprendre l indice de Prix, 1998). 2. Etimateur de indice de Lapeyre avec de probabilité d incluion proportionnelle aux valeur de vente de la période de bae. 3. Dan cette étude, le fonction d utilité ont implicitement continue, concave et non aturée. 4. Aini que pour la commiion Bokin. 5. L élaticité de ubtitution d une fonction d utilité de Cobb-Dougla et égale à un en tout point. 82 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

3 Le problème de la rationalité de conommateur L hypothèe d une rationalité de choix de conommateur peut embler trè forte. En outre, i elle et atifaite, comment en aurer? Dan le ca d une eule période 0, l exitence d une fonction d utilité homothétique rationaliante et triviale : il uffit de la choiir linéaire : Uq ( )= 0 (p 0 déigne le vecteur de prix, q 0 celui de quantité). Le chéma 1-A repréente la courbe d indifférence de cette fonction d utilité paant par q 0. Avec deux période, le problème et déjà plu compliqué. Cette foi, la fonction d utilité n et plu linéaire que par morceaux : Uq ( )= Min{ α α } 0 0, 1 1 où α 0 et α 1 ont deux nombre poitif. Le chéma 1-B illutre cette contruction : il y a autant de façon de choiir le rapport α1 / α0 que de façon de choiir le rayon OX dan le cône limité par le vecteur q 0 et q 1. La ituation et déjà beaucoup plu complexe que dan le ca d une eule période : la contruction précédente n et pa toujour poible, comme le montre le chéma 1-C. Le ca de troi période et illutré par le chéma 1-D. Avec un nombre quelconque de période et de produit, l exitence et la contruction d une fonction d utilité homothétique rationaliante linéaire par morceaux devient trè vite un problème redoutable. Encadré 1 L IUC ASSOCIÉ À UNE FONCTION D UTILITÉ Pour un enemble fini E de période t on dipoe de relevé de prix p t et de quantité vendue q t pour un enemble de produit et un enemble de point de vente. Le vecteur p t et q t ont autant de compoante qu il y a de couple «produit-point de vente». On uppoe qu il exite une fonction d utilité U qui rationalie le donnée ( pt, qt ) t E : { } U( qt ) = Max U( q), ptq ptqt pour tout t E niveau d utilité initial Uq ( t ) comme référence. Cette ituation et repréentée ur la figure uivante : niveau d utilité à la période t niveau d utilité à la période t p t p t p t Autrement dit, à chaque période t E, le panier q t doit être optimal (pour U) ou la contrainte budgétaire t t. Dualement (1) : q t q t q t { } t t = Min t, Uq ( ) Uq ( t ) pour tout t E L IUC à une date t par rapport à une date t, pour un niveau d utilité donné u, et le rapport de deux dépene : la dépene minimale qui permet d atteindre le niveau d utilité u à la date t (repectivement t) face aux prixp t ' (repectivementp t ). Pour exprimer mathématiquement l IUC, il convient donc d introduire la dépene minimale C U (u, p) permettant d atteindre un niveau d utilité donné u face à un ytème de prix p exogène : C ( up, ) = Min U {, U( q) u} L IUC entre deux date t et t et alor défini par : IUC t'/ t ( U, u) = C ( up, C up U t' )/ (, U t ) L IUC préente l inconvénient de dépendre du niveau d utilité de référence u. Il et aez naturel de choiir le Le panier ~ q t ' aure au moindre coût face au ytème de prix p t ' le niveau d utilité initialu( q t ). Alor : IUC t'/ t = p ~ t' q t'. pt qt En général, avec un autre niveau d utilité de référence, par exemple le niveau finalu( q t ' ), l IUC obtenu et différent. Ce problème diparaît lorque la fonction d utilité U et homothétique, c et-à-dire : Uq ( ) = Uq ( ') U( λq) = U( λq') pour tout λ>0 et tou le panier q, q. Ceci et immédiat dan le ca particulier où U et homogène (de degré 1) : U( λq) = λu( q) pour tout λ>0et tout panier q car alor C ( up, ) = uc ( 1, p ). Aini : U U 1. Le fonction conidérée dan cette étude ont continue et non aturée. IUC t'/ t ( U, u) = C ( 1, p C p U t' )/ ( 1, U t ) ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

4 La théorie micro-économique de préférence révélée permet de réoudre ce problème. Développée par Afriat (1967, 1981), elle a également bénéficié de travaux de Diewert (1973) et Varian (1982, 1983). Il ont dégagé une condition aurant l exitence d une fonction d utilité rationaliant de donnée en prix et en quantité pour un enemble quelconque de période. Cette condition, dite HARP (6), et aez imple, du moin dan a formulation : Il exite une fonction d utilité homothétique rationaliant de donnée ( pt, qt) t E de prix et de quantité ur un enemble E de période i et eulement i : i j j k pm qi... 1 i i j j pmqm pour tout «cycle» de période i, j,,m, i E. Le compoante du vecteur p t ont le prix de produit à la période t, celle du vecteur q t le quantité (7). Le cycle de période i, j, k,..., m, i n et pa ordonné chronologiquement, a longueur et quelconque. Le membre de gauche de l inégalité et un indice de quantité de type Lapeyre chaîné. Il agit de 6. Homothetic Axiom of Revealed Preference. 7. ptqt déigne le produit calaire de deux vecteur. Schéma 1 Contruction d une fonction d utilité linéaire par morceaux rationaliant de donnée en prix et quantité (ca de deux produit) A - Une période B - Deux période (donnée rationaliable) Produit 2 Une fonction d utilité linéaire rationalie le donnée. La courbe d indifférence paant par q0 coïncide avec la droite de budget Produit 2 p 0 p 1 X p 0 q 0 q 1 q 0,2 q 0 O q 0,1 Produit 1 O Produit 1 C - Deux période (donnée non rationaliable ) D - Troi période (donnée rationaliable) Produit 2 Produit 2 X p 0 p 0 q 0 p 1 p 2 q 0 p 1 q 1 q 1 q 2 O Produit 1 O Produit 1 84 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

5 l expreion claique d un indice de volume (8). Comme le indice de prix de ce type, cet indice préente l inconvénient de ne pa revenir à 1 lorque le quantité retrouvent leur valeur initiale («défaut de circularité»). La condition HARP limite ce défaut de circularité : l indice de Lapeyre chaîné vaut au moin 1. De façon équivalente, elle exprime que l indice de volume de Paache chaîné vaut au plu 1 lorque le quantité reviennent à leur valeur initiale. Aini, la condition HARP exprime agréablement : Si le quantité retrouvent leur valeur initiale, la fourchette de indice de volume «Paache chaîné» et «Lapeyre chaîné» contient la valeur 1. Le fonction d utilité rationaliante dont la condition HARP révèle l exitence ont le fonction homothétique. Elle offrent un avantage déciif : l IUC aocié ne dépend pa du niveau d utilité de référence (cf. encadré 1). La richee de donnée canner La vérification de la condition HARP néceite de connaître le quantité en plu de prix. Pour le calcul de l IPC, on ne dipoe de cette information qu à un niveau agrégé. Encore, ce donnée ne ont-elle diponible qu annuellement. C et ur de telle donnée que le travaux empirique ont été mené juqu à préent, notamment par Maner et MacDonald (1988) qui ont utilié de donnée agrégée ur la période , aux État-Uni. Ce travaux ont cependant d un intérêt limité puique le ubtitution ont lieu eentiellement au niveau détaillé. En effet, en France, le biai de ubtitution et pratiquement nul au niveau agrégé (Lequiller, 1997), c et-à-dire dan le calcul de l indice d enemble à partir de indice de pote. À ce niveau, le pondération ont revue chaque année, lor du chaînage de l indice. Le biai de ubtitution et modéré au niveau intermédiaire, lor du calcul de indice de pote par agrégation de micro-indice obtenu au niveau détaillé. Il et donc judicieux de calculer de IUC au niveau détaillé, celui de produit réellement obervé, où ur de période trè courte à l intérieur d une année, de forte évolution relative de prix entre ce produit, au gré de tratégie de marque et de circuit commerciaux, induient le ubtitution le plu importante. Mai cela néceite de donnée 8. Tel qu en calcule par exemple la comptabilité nationale françaie. Encadré 2 QUELQUES EXEMPLES FONDAMENTAUX Un exemple fondamental de fonction d utilité homogène et la fonction de Cobb-Dougla : U q a q ( ) = ( ) α Avec a > 0,α > 0 et α = 1 où déigne un produit dan un point de vente. Lorqu une telle fonction d utilité rationalie le donnée, l IUC aocié, à une période t par rapport à une période t, et la moyenne géométrique pondérée : w t t' t p p où w t q p = t ' q p ' t La fonction de Cobb-Dougla poède une propriété remarquable : le part dan la dépene de conommation de différent produit retent contante : w t =α pour tout et toute période t t t Un autre exemple important et la fonction d utilité quadratique : U( q) = a, ' q q, ' ' où ( a, ') et une matrice ymétrique (dont le coefficient ont convenablement choii). Si une fonction de ce type rationalie le donnée, l IUC correpondant et l indice de Fiher : L P t '/ t t '/ t Mai l exemple le plu imple et encore la fonction d utilité à facteur complémentaire : q U( q)= min où a > 0 a L indice à utilité contante aocié n et autre que l indice de Lapeyre mai aui de Paache, qui coïncident alor. ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

6 en prix et en quantité au niveau le plu fin, à un rythme menuel. Seule le donnée canner (9) le permettent. Elle ont recueillie par de ociété d étude de marché ur le produit vendu dan le grande urface, grâce à l exploitation du code-barre. Ce ociété réalient de étude utiliée par le indutriel et le ditributeur pour mettre au point de nouveaux produit, meurer l impact de campagne publicitaire, etc. Le donnée utiliée pour cette étude ont été fournie à l Inee par la ociété AC Nielen. Elle ont relative à troi type de produit, huile alimentaire, leive et café, vendu dan quatre cent upermarché et hypermarché ur l enemble de la métropole. Elle recouvrent une période de troi année : 1994, 1995 et Ce relevé ont accompagné d une decription trè pouée de produit. Aini, on dipoait avant apurement de 523 produit élémentaire ditinct pour le huile, 383 pour le leive et 1168 pour le café! L avantage et que l on peut aini prendre pleinement en compte le ubtitution entre produit. En contrepartie, ce produit élémentaire croié avec le point de vente donnent lieux à un nombre trè élevé de relevé potentiel dont une proportion importante et fréquemment inobervable. Ce problème et réolu en agrégeant le point de vente elon quatre forme de vente : petit ou grand upermarché et petit ou grand hypermarché. Pour chacune de ce quatre forme de vente, on retient alor le produit élémentaire qui ont été vendu chaque moi de la période d étude (de janvier 1994 à décembre 1996) dan l un au moin de point de vente. On élimine aini le produit nouveaux et ceux qui ont retiré temporairement ou définitivement de l une de quatre forme de vente. Ont aini été retenu 138 produit élémentaire pour le huile, 133 pour le leive et 353 pour le café, repréentant repectivement 91 %, 75 % et 92 % du chiffre d affaire avant apurement. Finalement, on obtient pour l enemble de trente-ix moi, 333 érie de prix et quantité pour le huile, 424 érie pour le leive et 895 pour le café (10). Le conommateur ont globalement rationnel Pratiquement, la vérification de la condition HARP ur ce donnée et trè lourde dè que le nombre de moi d obervation dépae quelque unité. Varian (1982, 1983) a propoé un algorithme qui permet d y parvenir (cf. encadré 3). Le réultat obtenu ur le donnée cannée utiliée et important : le prix obervé et le quantité échangée ur le marché ont effectivement rationaliable par une fonction d utilité homothétique. Pour le café, il a même été poible de rationalier la totalité de donnée (moi 1 à 36). Pour le huile et le leive, eule le ou-période 1-26 et 1-27 ont pu être rationaliée (11). 9. Ou encore donnée cannée, donnée cannographique ou micro-donnée. 10. On trouvera une decription détaillée de donnée canner dan Magnien et Pougnard (1998). 11. En impoant le moi 1, janvier 1994, parmi le période rationaliée. Encadré 3 UN ALGORITHME DE CALCUL L algorithme de Warhall (1962) aocie à une matrice carrée M = ( m ij ) la matrice carrée D = ( d ij ) définie par : d ij = infi, k, l,..., m, j ( mik + mkl mmj ) Autrement dit, i m ij repréente le «coût» de paage direct de i en j alor d ij repréente le coût minimal de paage de i en j ur l enemble de «chemin» allant de i à j. On montre que la matrice D obtient comme uit : (1) faire k = 1 ; (2) pour tou i, j :imij mik + mkj faire mij = mik + mkj ; (3) i k < T faire k = k + 1 et aller en (2) ; inon faire d = m pour tou i, j. ij ij L algorithme de Warhall permet donc de calculer trè facilement le quantité : inf ikl,,,..., mj, In i k i i p q p q k l m j... pk qk pmqm en poant m kl = In p k q l pui, par application de la pkqk fonction exponentielle (croiante, comme la fonction logarithme), le quantité : i k inf ikl,,,..., mj, i i p q p q k l m j... pk qk pmqm Le borne 1/ ji et ij de la fourchette de IUC en déduient immédiatement. L algorithme de Warhall permet de avoir i la condition HARP et vérifiée : i, lor d une étape k, ona m ii < 0 pour un i, alor la condition HARP n et pa atifaite. Sinon elle l et. 86 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

7 L indice à utilité contante n et donc pa eulement un concept théorique : on exitence et établie ur de produit de grande conommation comme le café, le huile alimentaire et le leive. Graphique I La plage de IUC A - Pour le huile alimentaire Bae en janvier 1994 (moi 1) La détermination de IUC Sachant qu il exite de fonction d utilité homothétique rationaliant le donnée cannée, il rete à déterminer le IUC aocié à chacune d elle entre deux date quelconque. On ait que cet enemble et majoré, en général trictement, par l indice de Lapeyre et minoré par l indice de Paache. Maner et MacDonald (1988) ont déterminé, lorque la condition HARP et atifaite, le borne inférieure et extérieure de la plage de IUC d une période i par rapport à une période j : elle valent repectivement 1/ ji et ij où ij et égal à: Min p q i i i k k l m ik,,. l.., m, j... j j i i k k pmq pour toute équence de période i, k, l,..., m, j E. On montre (Magnien et Pougnard, 2000) que toute valeur comprie entre ce borne et un IUC. Ce IUC ont relatif aux fonction d utilité homothétique qui rationalient le donnée. Le réultat du calcul d IUC obtenu ur le donnée utiliée apparaient ur le graphique I-A, I-B et I-C. Pour chacun de troi produit, la plage de IUC d un moi donné par rapport au moi de janvier 1994 y et repréentée. Aini, pour le huile alimentaire, le IUC du moi d août 1995 (moi 20) prennent, en bae en janvier 1994 (moi 1), toute le valeur comprie entre 107,0 et 107,8. Cela ignifie que pour n importe quel chiffre compri entre 107,0 et 107,8 il exite une fonction d utilité homothétique qui rationnalie le donnée de prix et de quantité obervée et telle que ce chiffre oit l IUC en août 1995, bae janvier Ce IUC ont aocié aux différente fonction d utilité homothétique qui «rationalient» le donnée relative à un enemble de période le plu grand poible : il ne agit donc pa de fonction d utilité qui rationalient le eule donnée échelonnant du moi de bae au moi ou revue ; il agit encore moin de fonction d utilité ne rationaliant que le donnée de eul moi de bae et ou revue. La largeur de la plage fluctue : elle peut e réduire fortement et même annuler (moi 11, 12 et 13 pour le leive) : il y a alor unicité de l IUC. j m B - Pour le café Bae en janvier 1994 (moi 1) C - Pour le leive Bae en janvier 1994 (moi 1) Source : AC Nielen, calcul de auteur. ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

8 Le indice de Lapeyre et de Paache ont de temp à autre de IUC Lorque la fonction d utilité et homothétique, l IUC et inférieur à l indice de Lapeyre (12) et upérieur à l indice de Paache. Puiqu il y a toute une plage d IUC, le biai de ubtitution réultant de l uage d un indice de Lapeyre ne peut être défini de façon unique : eul un encadrement peut en être donné, meuré par l écart avec le plu grand et le plu petit de IUC. Le même problème e poe avec l indice de Paache. Le biai de ubtitution minimum de indice de Paache et de Lapeyre, meuré par référence au «ba» ou au «haut» de la plage de IUC, évoluent aez différemment l un par rapport à l autre mai aui dan le temp. Il peuvent annuler à de période différente ou imultanément. C et ce que l on oberve avec chacun de produit (cf. graphique II-A, II-B et II-C). Diewert (1990) a expliqué comment la faiblee du biai de ubtitution de l indice de Lapeyre (Paache) par rapport à l IUC réulte d une relation appropriée entre la variation relative de prix d une part et la ubtituabilité de produit ou de point de vente à la période de bae (courante) d autre part. La nullité de ce biai, obervée ur le donnée utiliée ici, correpond à un ca extrême de cette relation. Elle réulte de la forme particulière de certaine de fonction d utilité homothétique rationaliante. On montre (13), en effet, que le fonction d utilité linéaire par morceaux, dont on a précédemment ébauché la contruction (cf. chéma 1), ont «repréentative» (14) de toute le autre fonction d utilité homothétique rationaliante. Ce fonction linéaire par morceaux ont l expreion uivante (15) : { } Uq ( ) = Min α, t E ( α > 0) t t t Le chéma 2 repréente une courbe d indifférence propre à ce type de fonction d utilité dan le ca de deux produit. Ce courbe ont la particularité de poéder de point anguleux. Conidéron alor un moi de bae t correpondant à un tel point anguleux (cf. chéma 3-A). En q t la ubtituabilité entre le produit et faible (16). 12. Il uffit, pour en aurer, de revenir à la figure de l encadré 1 : par optimalité du panier ~ q t face au ytème de prix p ' t ' on a p ~ q p q t ' t ' t ' t. 13. Cf. Magnien et Pougnard (2000). 14. L IUC calculé avec une fonction d utilité homothétique rationaliante quelconque et égal à l IUC calculé avec l une de ce fonction. 15. Qui généralie la contruction ébauchée dan le ca d une, deux et troi période ur le chéma L élaticité de ubtitution et nulle. Graphique II Plage de IUC et indice de Lapeyre et de Paache A - Pour le huile alimentaire Bae en janvier 1994 (moi1) B - Pour le café Bae en janvier 1994 (moi 1) Source : AC Nielen, calcul de auteur C - Pour le leive Bae en janvier 1994 (moi 1) Lapeyre Paache ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

9 Schéma 2 Courbe d indifférence d une fonction d utilité homothétique, linéaire par morceaux Produit 2 Tant que la variation relative de prix de ce produit n et pa trop forte entre le moi de bae t et le moi ou revue t, le panier de bae q t aure au moindre coût un niveau d utilité inchangé. L IUC coïncide alor avec l indice de Lapeyre. L enemble de vecteur de prix p t' pour lequel il en et aini contitue un cône C repréenté ur le chéma 3-A (17). 0 Produit 1 Aini, pour le huile, pendant le ix premier moi de 1994, l indice de Lapeyre et un IUC : la haue de prix et plutôt uniforme (18) (cf. graphique II-A). Enuite, la différentiation de évolution de prix et uffiamment importante (le vecteur de prix ort du cône C) pour que l indice de Lapeyre uretime l inflation. Au contraire, avec le café, l évolution de prix de produit rete eentiellement uniforme : le vecteur de prix rete preque toujour dan le cône C, i bien que l indice de Lapeyre et preque toujour un IUC (cf. graphique II-B). Schéma 3 Subtituabilité ou non en un point anguleux d une courbe d indifférence A - L indice de Lapeyre ne préente pa de biai de ubtitution Produit 2 p t p t C Si, au contraire, la fonction d utilité et linéaire au voiinage de q t alor, aui faible que oit la variation relative de prix, la compoition du panier (Q t ur le chéma 3-B) qui aure au moindre coût le même niveau d utilité era ditincte de celle de q t : l IUC era ditinct de l indice de Lapeyre. Cette linéarité, ituation dan laquelle la ubtituabilité de produit et «parfaite (19)», n et donc atifaite ni pour le huile, ni pour le leive, ni pour le café en janvier 1994 (moi 1) : avec chacun d eux, il y a pluieur moi pour lequel l indice de Lapeyre et un IUC (20). 0 q t B - L indice de Lapeyre préente un biai de ubtitution Produit 2 u=u(q t) Produit 1 Le circontance dan lequelle l indice de Paache et un IUC ont analogue : le cône C et aocié au panier de la période courante et il y a coïncidence de deux indice lorque le vecteur de prix de bae appartient à ce cône. La conjonction de deux ca précédent (exitence d une fonction d utilité homothétique pour laquelle l IUC et égal au Paache et d une autre pour laquelle l IUC et égal au Lapeyre) e produit avec le café à de trè nombreue reprie (cf. graphique II-B). 0 p t p t q t Qt u=u(q t) Produit Ce cône et l enemble de vecteur p tel que t =C U (U(qt), p) où C U (u, p) déigne la dépene minimale permettant de dipoer du niveau d utilité u face au vecteur de prix p. 18. Le moi de bae t et le moi 1 c et-à-dire janvier L élaticité de ubtitution et infinie. 20. On imagine difficilement que le prix puient évoluer de façon parfaitement uniforme. ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

10 Une bonne déagrégation de donnée et néceaire Il peut embler urprenant que la condition HARP oit atifaite ur de période aui longue (le 36 moi de uivi du panel pour le café, 27 moi pour le leive et 26 pour le huile), compte tenu du caractère apparemment retrictif de la condition d homothéticité. Tout d abord, la plage de IUC et étroite : moin d un point d indice environ pour le huile et le leive, au plu troi point pour le café dont le prix ont enregitré de trè forte variation. Enuite, Maner et MacDonald (1988) ont avancé l idée que l exitence de fonction homothétique «rationaliante» réulterait d une déagrégation uffiante de donnée. On entend par là que le prix et le quantité ont relatif à de produit dont la decription fait appel à un nombre conéquent de caractéritique. La grande finee de donnée cannée erait donc la raion de bon réultat du tet de la condition HARP. Pour le vérifier, on a teté cette condition à différent niveaux d agrégation de donnée relative au café et aux leive. Ce niveaux ont déterminé par la lite de caractéritique retenue pour la définition de produit et point de vente. Outre la forme de vente (il y en a quatre), ce caractéritique pour le produit ont le uivante : le fabricant (ou ditributeur), la marque, la référence, le conditionnement, le contenu. Chacune d elle prend divere modalité : pour le café, le conditionnement et aini défini par le type d emballage (bocal, boîte, carton, etc.), le nombre de paquet vendu enemble et le poid de l enemble. Toujour pour le café, la decription du contenu et encore plu variée : le type (grain, moulu ou expreo), la qualité (normal ou décaféiné), la gamme (arabica, robuta ou mélange) et l origine. Ce différent contenu ont été regroupé en quelque variété (cf. note (1) et Magnien et Pougnard, 1998). Le tableau indique le différent niveaux d agrégation retenu. Il indique également le nombre de produit ditinct par niveau et la période la plu longue ur laquelle la condition HARP et atifaite, c et-à-dire pour laquelle le donnée ont optimale pour une fonction d utilité homothétique. Cette période et effectivement d autant plu longue que le donnée ont déagrégée. En outre, pour un enemble donné de période, la plage de IUC et d autant plu large que la déagrégation de donnée et importante (cf. graphique III) : une plu grande déagrégation rend d autant plu aiée la rationaliation de donnée. Graphique III Largeur de la plage de IUC elon l agrégation de donnée Indice bae octobre 1996 (moi 22) 3 2,5 2 1,5 1 0, niveau 1 niveau 2 niveau 3 niveau 4 Lecture : cf. la ignification de niveaux dan le tableau. Source : AC Nielen, calcul de auteur. niveau 5 niveau 6 Tableau Niveaux d agrégation et nombre de période rationaliée Niveau d agrégation de donnée Caractéritique retenue Nombre de érie* Café Période rationaliée Nombre de érie* Leive Période rationaliée 1 Variété Variété et forme de vente (FV) Variété, FV et fabricant Variété, FV, fabricant et marque Variété, FV, fabricant, marque, référence Toute * Croiement de différente modalité de caractéritique retenue. Source : AC Nielen, calcul de auteur. 90 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

11 Avec le leive, au niveau le plu agrégé (niveau 1), eul troi moi conécutif ont pu être rationalié : le tet de la condition HARP a même fréquemment échoué ur deux moi. On oberve alor ytématiquement que l indice de Paache (l un de ce deux moi par rapport à l autre) et upérieur à l indice de Lapeyre (21). Indice de Paache et de Lapeyre, et homothéticité L homothéticité de fonction d utilité, an laquelle le calcul d IUC devient problématique puiqu il dépend alor du choix d un niveau d utilité de référence, peut réduire l enemble de période ur lequel de donnée ont rationaliée. Aini, le donnée ur le huile ne ont «homothétiquement» rationaliable que ur 26 moi. Le problème peut d ailleur e poer avec deux période eulement. Il et alor intimement lié à la relation entre le indice de Paache et de Lapeyre. Pour que l indice de Paache oit inférieur ou égal à l indice de Lapeyre, il uffit qu il exite une fonction d utilité homothétique rationaliant le donnée relative à deux période : la période de bae et la période courante (mai pa néceairement le autre). En effet, un IUC intercale alor entre le indice de Paache et de Lapeyre. Réciproquement, i l indice de Paache et inférieur ou égal à l indice de Lapeyre : j j j i i j i i alor : i j j i 1 i i j j inégalité qui n et autre que la condition HARP pour l enemble réduit aux deux période i et j. Aini : L indice de Paache de la période j par rapport à la période i et inférieur ou égal à l indice de Lapeyre i et eulement il exite une fonction d utilité homothétique qui rationalie le donnée ( pi, qi) et ( pj, q j ). Qu il agie du café, de huile ou de leive, cette inégalité et atifaite pour tout couple i, j de moi (22). Cependant, dan le ca du café, i l on e limite aux «café en grain» ou aux «café expreo», on oberve à pluieur reprie le phénomène d inverion de indice de Paache et de Lapeyre (cf. graphique IV-A et IV-B). 21. Ce indice étant calculé ur le donnée agrégée. 22. Pour le huile et le leive, cela ne coule pa de ource : on ne rationalie pa le donnée ur 36 moi. Graphique IV L Indice de Paache peut être upérieur à l indice de Lapeyre A - Café en grain B - Café expreo Bae en janvier 1994 (moi 1) Bae en janvier 1994 (moi 1) Lapeyre Paache Source : AC Nielen, calcul de auteur. ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

12 Agrégeon, pour le café en grain, le relevé relatif à l arabica d une part (le produit de qualité upérieure, donc de prix plu élevé) et le relevé relatif aux mélange d autre part. Alor, entre le moi de janvier 1994 (moi t=1) et le moi de juin 1995 (moi t =18), où l inverion de indice et la plu marquée, c et le prix de café mélangé qui a le plu augmenté (74 % contre 48 %), mai ce ont le quantité vendue d arabica qui ont le plu reculé (- 40 % contre - 21 %). Le chéma 4 repréente cette ituation. Une fonction d utilité rationalie le donnée relative aux date t et t mai elle ne aurait être homothétique : la configuration de prix et de quantité et telle que la tangente en A à la courbe d indifférence initiale ne peut être parallèle à la tangente à la courbe d indifférence en q t (de même que la tangente en B àla courbe d indifférence courante ne peut être parallèle à la tangente à la courbe d indifférence en q t ). C et en contradiction avec la propriété de «parallélime» de tangente aux courbe d indifférence le long d un rayon iu de l origine, caractéritique de fonction d utilité homothétique. L indice de Fiher et une meilleure approximation de l IUC que la moyenne géométrique Il et poible de juger de la qualité de indice de prix uuellement calculé en fonction de leur degré de proximité avec l IUC. Graphique V Indice de Fiher, géométrique et IUC A - Pour le huile alimentaire Bae en janvier 1994 (moi 1) B - Pour le café Bae en janvier 1994 (moi 1) La réputation de l indice de Fiher comme trè bonne approximation de l indice à utilité contante et confirmée puiqu il rete pratiquement toujour Schéma 4 L indice de Paache peut être upérieur à l indice de Lapeyre (exemple du café) Arabica C - Pour le leive Bae en janvier 1994 (moi 1) p t q t p t A 95 B q t Fiher Géométrique Mélange Source : AC Nielen, calcul de auteur. 92 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

13 dan la plage de IUC (23) (cf. graphique V-A, V-B et V-C). Si l on conidère une valeur de l indice de Fiher intérieure à cette plage, alor il exite une fonction d utilité homothétique rationaliant le donnée et par rapport à laquelle cet indice de Fiher et un IUC. Ceci ne ignifie pa pour autant qu une fonction d utilité quadratique rationalie le donnée. D ailleur, une telle fonction n exite pa dan le ca de huile et de leive puiqu à pluieur reprie l indice de Fiher ort légèrement de la plage de IUC. Contrairement à l indice de Fiher, la moyenne géométrique ort fréquemment, le plu ouvent par le haut, de la plage de IUC (auf dan le ca du café). Elle contitue donc une moin bonne approximation de l IUC. Comme l indice de Lapeyre dan une moindre meure toutefoi, elle urpondère le produit dont le prix augmentent le plu. La fonction de Cobb-Dougla ne prend donc pa toujour convenablement en compte le ubtitution opérée entre produit ou point de vente (24). pouvaient contribuer à améliorer la méthodologie de IPC dan différent domaine : formule de calcul pour le micro-indice (Silver, 1995), échantillonnage de produit (de Hahn, Opperdoe et Schut, 1997), échantillonnage de point de vente (Boon, Opperdoe et Schut, 1997), traitement de changement de qualité (Silver, 1999), en ont quelque exemple. Ce donnée apparaient aui comme un matériau idéal pour la contruction d indice à utilité contante. Certe, l IUC conduit à la notion de plage d indice (25). L exitence d une plage d indice à utilité contante réulte de la théorie de préférence révélée : une infinité de fonction homothétique rationalient le donnée. Rien ne peut réduire cette plage à une valeur unique (26). Le choix d une valeur dan cette plage et lié à de néceité d uage. L indice de Fiher et un excellent candidat : il a l avantage de «tomber» preque toujour dan la plage de IUC. Son calcul requiert cependant de donnée aui détaillée que pour un IUC. Le perpective ouverte par le donnée cannée L utiliation de donnée cannée apparaît, à plu d un titre, comme une perpective d avenir pour le calcul de IPC. Ce donnée permettent déjà d affiner certaine pondération et de le révier plu fréquemment. De nombreux travaux, mené récemment, ont montré que le donnée cannée 23. Toujour, dan le ca du café. 24. La moyenne géométrique a cependant un autre objet : éviter le phénomène de dérive de la moyenne arithmétique de rapport de prix dan un contexte de chaînage (Lequiller, 1997). 25. Cette notion et étrangère à celle d intervalle de confiance, inhérente à l outil meurant l indice de prix. Cet outil opère, en effet, un tirage aléatoire de point de vente et ne uit que certain produit. Si le relevé de prix était exhautif, cet intervalle diparaîtrait : l etimation erait certaine. 26. Même un relevé exhautif de prix et quantité. ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,

14 BIBLIOGRAPHIE S.N. Afriat (1967), «The Contruction of a Utility Function from Expenditure Data», International Economic Review, 8, pp S.N. Afriat (1981), On the Contructabilty of Conitent Price Indice Between Several Period Simultaneouly, in A. Deaton (ed), Eay in Applied Demand Analyi (Cambridge : Cambridge Univerity Pre). M. Bokin, E. Dulberguer, Z. Griliche, R. Gordon et D. Jorgenen (1996), Toward a More Accurate Meaure of the Cot of Living, Final report to the Senate Finance Committee, décember, État-Uni. J. de Hahn, E. Opperdoe et C. Schut (1997), Item Sampling in the Conumer Price Index : a Cae Study Uing Scanner Data, Internal Report, Statitic Netherland. M. Boon, E. Opperdoe et C. Schut (1997), Effect of Outlet Sampling on the Conumer Price Index : a Cae Study Uing Scanner Data, Internal Report, Statitic Netherland. W.E. Diewert (1973), «Afriat and the Revealed Preference Theory», Review of Economic Studie, 40, pp W.E. Diewert (1990), The Theory of Cot-of-Living Index and the Meaurement of Welfare Change, Price Level Meaurement, W.E. Diewert (Editor). W.E. Diewert et C. Parkan (1978), «Tet for Concitency of Conumer Data and Nonparametric Index Number», Working paper, 78-27, Univerity of Britih Columbia. W.E. Diewert et C. Parkan (1985), «Tet for Concitency of Data», Journal of Econometric, 30, pp Inee (1998), Pour comprendre l indice de Prix, Inee Méthode, n F. Lequiller (1997), «L indice de prix à la conommation uretime-t-il l inflation?», Économie et Statitique, n 303, pp F. Lequiller (1998), Biai de IPC : où en et-on?, Inee Méthode, n F. Magnien et J. Pougnard (1998), Étude du chaînage d indice de prix à l aide de micro-donnée, Inee Méthode, n F. Magnien et J. Pougnard (2000), «Non-parametric Approach to the Cot-of-Living Index», Document de travail, n 0006 de la érie Méthodologie tatitique, Inee. À paraître dan Journal of Official Statitic. M.E. Maner et R.J. MacDonald (1988), «An Analyi of Subtitution Biai in Meauring Inflation, », Econometrica, vol. 56, pp H. Scobie (1998), Utiliation poible de donnée cannographique - Étude de ca à l aide de donnée ur le café, Statitique Canada, n 62F0014MPB au catalogue, Série n 6. M. Silver (1995), «Elementary Agregate, Micro-indice and Scanner Data : Some Iue in the Compilation of Conumer Price», Review of Income and Wealth, 41, pp M. Silver et S. Heravi (1999), The Meaure of Quality-Adjuted Price Change, Proceeding of the Meaurement of Inflation Conference, Augut 31-September 1, H.L. Varian (1982), «The Nonparametric Approach to Demand Analyi», Econometrica, vol. 50, pp H.L. Varian (1983), «Nonparametric Tet of Conumer Behaviour», Review of Economic Studie, 50, pp S. Warhall (1962), «A Theorem on Boolean Matrice», Journal of the American Aociation for Computing Machinery, vol ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N 335,