Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des sinus (2) 1 ère S. 2 ) Égalité de deux sinus. a et b sont deux réels.

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1 ère S Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des sinus () ) Égalité de deu sinus a et b sont deu réels. bjectifs du chapitre : - étudier la résolution trigonométriques dans (et non plus dans un intervalle borné comme on l a déjà vu) b b - étudier la résolution d inéquations trigonométriques nécessitant un changement d inconnue I. Règles fondamentales ) Égalité de deu cosinus a et b sont deu réels. b sin a = sin b si et seulement si a b k k a b k ' k ' b En effet, si l on note M et N les points images respectifs de a et b sur le cercle trigonométrique. sin a = sin b si et seulement si M et N ont la même abscisse si et seulement si M et N sont confondus symétriques par rapport à l ae des ordonnées cos a = cos b si et seulement si k a b k a b k ' k ' En effet, si l on note M et N les points images respectifs de a et b sur le cercle trigonométrique. cos a = cos b si et seulement si M et N ont la même abscisse si et seulement si M et N sont confondus symétriques par rapport à l ae des abscisses

2 II. Eemples de résolutions d équations trigonométriques ) Eemple Résdre dans l équation cos (). stuce de départ : cos Réécriture de l équation : () s écrit cos cos () cos cos («on équilibre l équation») k k (on «enlève» les cos avec la règle ) k ' k ' S k, k k ', k ' () sin sin k k k ' k ' k k k ' k ' k k 5 k ' k ' 5 S k, k k ', k ' ) Eemple ) Eemple Résdre dans l équation sin stuce de départ : sin Réécriture de l équation : () s écrit sin sin ne pas développer (). Résdre dans l équation cos = sin (). stuce de départ : sin cos Réécriture de l équation : () s écrit cos cos

3 () cos cos k k k' k ' k k ' k k ' k k k ' k ' k k 8 k ' k ' S k, k k ', k ' 8 k 0 : 8 k : k : k : ère famille (points rges) e famille (points verts) III. Équations trigonométriques particulières ) Règles k ' 0 : k ' : Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient dans chaque cas une seule famille de solutions. cos = = k (k ) cos = = + k (k ) cos = 0 k (k ) sin = k (k ) sin = k (k ) sin = 0 = k (k ) ) Justification 5 M 8 M' M0 8 Donner cercles trigonométriques. 9 M 8 M' 0 M 8 5

4 Équation cos = Les solutions ont pr point image. Équation cos = 0 Les solutions ont pr points images et. Les solutions sont les nombres 0,,,, Il s agit des nombres de la forme kavec k. Équation cos = Les solutions ont pr point image. Les solutions sont les nombres,,, Il s agit des nombres de la forme k avec k. Équation sin = Les solutions ont pr point image. Les solutions sont les nombres,,, Il s agit des nombres de la forme kavec k. Les solutions sont les nombres,,,, Il s agit des nombres de la forme k avec k. 7 8

5 Équation sin = IV. Résolution d une équation trigonométrique dans un intervalle donné (eemple) Les solutions ont pr point image. Résdre dans [0 ; ] l équation cos (). ère étape : n rést l équation dans. stuce de départ : cos Les solutions sont les nombres,,,, Il s agit des nombres de la forme k avec k. Équation sin = 0 Les solutions ont pr points images et. () cos cos k k' k k ' k k k ' k ' Les solutions sont les nombres 0,,,,,,,, Il s agit des nombres de la forme k avec k. 9 0

6 e étape : n cherche les solutions dans [0 ; ] V. Inéquations trigonométriques ) Remarques préliminaires ère famille : k k e famille : k ' k ' Il n y a pas de règle. n utilise le cercle trigonométrique. n cherche k tel que : 0 k 0 k k 0,...,8... k Donc k 0 k k k ère famille : : ( n cherche k ' tel que : 0 k ' 0 ' k 5 k ' 0,... 5,... k ' Donc k' k ' k' k' e famille : : ( ) Eemple Résdre dans l intervalle ; l inéquation sin. ère étape : n pose : X =. X sin X Donc X ; ( 5 Pr k 0, 0 7 Pr k, Pr k, 9 Pr k, n donne l ensemble des solutions dans [0 ; ]. Pr k ', Pr k', Pr k ', Pr k', 5 7 D après le cercle trigonométrique : 5 X S 0; ; ; ; ; ; ; ;

7 e étape : r X = ) Pr les sinus Donc 5 5 : ( 5 S ; VI. Utilisation de la calculatrice ) Pr les cosinus cos La calculatrice donne une valeur dans l intervalle ;. VII. Point méthode pr la résolution d une équation trigonométrique dans n regarde : 0 - s il y a un cosinus dans un membre (et un seulement) : on essaie de transformer pr avoir deu cosinus - s il y a un sinus dans un membre (et un seulement) : on essaie de transformer pr avoir deu sinus - s il y a un cosinus dans un membre et un cosinus dans l autre, on transforme le cosinus en sinus le contraire pr avoir soit une égalité de deu cosinus soit une égalité de deu sinus Calculatrice Mode radians : Technique particulière : changement d inconnue X = cos X = sin. Il faut avoir des cosinus des sinus «purs» (pas de cosinus avec des carrés, des cubes ) nd cos 0,5 =,079 La calculatrice donne une valeur dans l intervalle [0 ; ].