Exercice 1 (5,5 points)

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1 Devoir commun de mathématiques Durée : heures SUJET A Exercice 1 (5,5 points) QCM questions 1 à 6 (réponse exacte +0,75 point, pas de réponse 0 point, réponse fausse 0,5 point) Sachant que une et une seule réponse est exacte pour chaque question, cocher la bonne réponse sans explication On a tracé les représentations graphiques de deux fonctions f et g dans un repère orthogonal ( carreaux pour 1 unité en abscisse et 3 carreaux pour 1 unité en ordonnée) Cocher la réponse exacte 1 Quel est l ensemble de définition de la fonction f? 1a 1b a [ 4 ;7] b [ 4 ;6] c [ ;3] d [ 1,5 ;4] 1c 1d Quelle est l image de 7 par la fonction f? a b a 0 b 1,5 c d 7 n a pas d image par la fonction f 3 Quelle est l image de 1 par la fonction f? 3a 3b a 3 b c 4 d 1 n a pas d image par la fonction f c 3c d 3d 4 Quel est l ensemble des solutions de l équation f (x)=0? a {0} b { 3,5 } c { ; 3 ; 5} d 4a 4b 4c 4d 5 Quel est l ensemble des solutions de l inéquation f (x)? a [ 4 ; 1] U [,5 ; 6] b [ 4 ; ] c [ 1 ;,5] d [ 1,5 ; ] 5a 5b 5c 5d 6 Quel est l ensemble des solutions de l inéquation f (x) > g (x)? a [ 4 ; 1,5] U [,5 ; 6] b [ 1,5 ;,5] c [ 4 ; 1,5[ U ],5 ; 6] d ] 1,5 ;,5[ 6a 6b 6c 6d 7 Déterminer le tableau de variations de la fonction f

2 Exercice (6,5 points) La fonction f est définie sur IR par f(x) = (x - 3) + 4x Factoriser f(x) Développer f(x) 3 Résoudre (x 3)(x 1) < 0 4 Utiliser la forme la plus adaptée pour résoudre : a f(x) = 3 b f(x) 4x - 6 Exercice 3 (6 points) 1 Dans un repère, placer les points A(-;4), B(3;5) et C(6;-) Déterminer par le calcul les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 3 Soit E le point tel que Calculer les coordonnées de E 4 Démontrer que Que peut-on en déduire? 5 On donne F le point de coordonnées (16;0) Les points E, F, B sont-ils alignés? Exercice 4 (10 points) La fonction f est définie pour x 1 par f (x) = x + 1 x 1 (x+1) 1 a Calculer l image de par f b Que vaut f(0)? a Quelle est la valeur affichée par votre calculatrice lorsque vous calculez : f( ) = ( + 1) (arrondir le résultat à 10 - près) b Quelle est la valeur exacte de f ( )? Vous donnerez le résultat sous la forme, a et b étant deux entiers naturels 3 a Montrer que f (x) = b Résoudre l équation f(x) = 0 c Résoudre l inéquation f(x) 0 4 Compléter le tableau de valeurs prises par f, sur la feuille annexe Les résultats seront arrondis au centième (on pourra utiliser le tableur de la calculatrice)

3 Exercice 5 (6 points) 1 Sur la feuille annexe, on a dessiné un parallélogramme ABCD Construire sur cette feuille annexe, les points F et G tels que :, En utilisant la relation de Chasles, trouver une égalité permettant de placer le point E qui vérifie Placer ce point E 3 Démontrer que 4 En déduire en fonction de et 5 On admet que (ne pas le démontrer) Les points E, F et G sont-ils alignés? Exercice 6 (6 points) Soit ABCD un quadrilatère inscrit dans un cercle Γ, comme le montre la figure ci-contre Soit K le point du segment [AC] tel que 1 Montrer que les triangles ABD et KBC sont semblables En déduire l égalité AD BC = KC BD a Démontrer que b Montrer que les triangles ABK et DBC sont semblables c En déduire un produit égal à AB CD 3 (question Bonus : n enlève pas de point si la question n est pas faite) Déduire des questions 1 et que dans le quadrilatère ABCD, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés

4 Annexe Nom : Classe : Exercice 4 : x -1,5-1, -0,9-0,6-0,3 0 0,3 0,6 0,9 f(x) Exercice 5 :

5 Correction Devoir commun de mathématiques SUJET A Exercice 1 (5,5 points) 1 Réponse b : [ 4 ;6] Réponse d : n a pas d image 3 Réponse b : 4 Réponse c : { ; 3 ; 5} 5 Réponse a [ 4 ; 1] U [,5 ; 6] 6 Réponse d : ] 1,5 ;,5[ 7 Déterminer le tableau de variations de la fonction f Exercice (6,5 points) 1 Factoriser f(x) Développer f(x) f(x) = (x - 3) + 4x - 6 f(x ) = 4x 1x x 6 f(x ) = (x 3)(x 3) + (x 3) f(x ) = 4x 8x +3 f(x ) = (x 3) [ (x 3)+] f(x ) = (x 3)() 3 Utiliser la forme la plus adaptée pour résoudre : a f(x) < 0 (x 3)()<0 Utilisation d un tableau de signes x 3 >0 x > 3 >0 x > 1 x x f(x ) + + S = ] 1 ; 3 [ b f(x) = 3 4x 8x + 3 = 3 4x 8x = 0 x (4x 8) = 0 a b=0 a=0 ou b=0 x =0 ou 4x 8 = 0 x = 0 ou x = S = {0;} c f(x) 4x - 6 (x 3) + 4x 6 4x 6 (x 3) 0 Un carré étant toujours positif ou nul, on en déduit que tout nombre réel est solution de cette inéquation S = IR Exercice 3 (6 points) ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC 3 ( ) AB x =5 x =1 ; y= 3 y=1 donc AB (5 ;1) et si on note D(x ;y), alors DC D (1 ; 3) 6 x y d où 3 Si on note E (x ;y), alors ED ED 3 EA = 0 1 x +6+3x =0 3 y 1+3y=0 1 x 3 y et EA x = y = 15 7 x 4 y donc 3 EA 6+3x 1+3y E ( 3,5 ;7,5)

6 4 On sait que ED 3 EA = 0 Donc : EA + AD 3 EA = 0 (relation de Chasles) EA AD = 0 EA = AD AE = DA CQFD On peut en déduire que A, E, D sont alignés (car AE et AD sont colinéaires) 5 x EF x EB 16 (-3,5) EF 0 7,5 = 3 et donc EF 19,5 3 ( 3,5) et EB donc EB 6,5 7,5 5 7,5,5 y EF = 3 On en déduit que EF = 3 EB donc EF et EB sont colinéaires et E, B, F sont alignés y EB EB = 48,75 donc ) (ou : x EF y EB = 48,75 et y EF x Exercice 4 (10 points) La fonction f est définie pour x 1 par f (x) = x +1 (x +1) 1 a f() = +1 1 (+1) = 3 3 = 4 b Que vaut f(0)? L image de par f est 4 f(0) = (0+1) = 1 1 = a la calculatrice affiche environ 3,73 b f( 3 ) = ( 3 + 1) = ( 3 +1)( 3 +1) ( 3 1)( 3 +1) ( 3 +1) = ( ) 3 1 f( 3 ) = (4 + 3 ) = = 3 f( 3 ) = 3 3 a f (x) = x +1 (x +1) = (x +1) () (x +1) () = () f(x ) = (x +1)[ 1 (x +1)()] = (x +1)[1 (x 1)] (x +1) (x +1)(x +1)() = (x +1)( x ) = (x +1)( + x )( x ) CQFD b En utilisant la forme factorisée : a = 0 a = 0 et b 0 b On en déduit que x +1 = 0 ou + x = 0 ou x = 0 x = 1 ou x = ou x = Ces nombres ne sont pas des «valeurs interdites» Donc : S = { ; 1 ; } c Résoudre l inéquation f(x) 0 x x x x f(x ) Les solutions de l inéquation f(x ) >0 sont les éléments de [ ; 1] ]1 ; ] 4 x -1,5-1, -0,9-0,6-0,3 0 0,3 0,6 0,9 f(x) -0,05 0,05-0,06-0,41-1,03 -,00-3,55-6,56 -,61

7 Exercice 5 (6 points) 1 Sur la feuille annexe, DE + EB = O DE + ED + DB = 0 DE = DB DE = DB 3 Démontrer que 3 BA + BC + 5 CA = GB + BC + CF (d après la question 1 )) = GF (relation de Chasles) On a prouvé que GF = 3 BA + BC + 5 CA 4 Comme GF = 3 BA + BC + 5 CA alors GF = 3 AB + AD + 5 CD + 5 DA (car BC = AD comme ABCD est un parallélogramme, et RdC) GF = 3 AB + AD 5AB 5 AD (car ABCD est un parallélogramme donc CD = AB ) GF = 8 AB 4 AD 5 donc on en déduit que GF = 4 GE Donc GF et GE sont colinéaires, et G, F, E sont alignés Exercice 6 (6 points) Soit ABCD un quadrilatère inscrit dans un cercle Γ, comme le montre la figure ci-contre Soit K le point du segment [AC] tel que 1 ADB et KCB sont deux angles inscrits interceptant le même arc ( AB ) donc ces deux angles ont même mesure DBA = KBC d après l énoncé On en déduit que les triangles DBA et KBC ont en commun les mesures de deux de leurs angles Ces triangles sont donc semblables Correspondance de sommets : triangle DBA triangle KBC D C ; B B A K Les mesures des côtés de triangles semblables sont proportionnelles donc DB CB = DA CK = BA BK d où, en utilisant la première égalité DB CK = CB DA a ABK = ABD + DBK et DBC = DBK + KBC comme ABD = KBC d après l énoncé, et en tenant compte de la présence de DBK dans chacune des égalités, on a : ABK = DBC b BDC et BAK sont deux angles inscrits interceptant le même arc (qui est BC ) donc ces deux angles ont même mesure ABK = DBC d après l énoncé On en déduit que les triangles ABK et BDC ont en commun les mesures de deux de leurs angles Ces triangles sont donc semblables Correspondance de sommets triangle ABK triangle BDC A D ; B B K C

8 c Les mesures des côtés de triangles semblables sont proportionnelles donc AB DB = AK CD = BK BC d où, AB CD = DB AK 3 (question Bonus) le produit des longueurs des diagonales est AC BD la somme des produits des longueurs des côtés opposés est AD BC + AB CD Or AD BC + AB CD = KC BD + KA BD (d après 1 ) et ) ) = BD (KC + KA) (factorisation) = BD AC (car K [AC]) L égalité cherchée est donc prouvée