Intégrale de Lebesgue.

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1 Intégrale de Lebesgue. L. Quivy Ens Cachan 23 septembre 2013

2 1 Changement de variables 2 Le lien entre l intégrale de Lebesgue et l intégrale "usuelle" 3 L espace L 1 4 Intégrales dépendant d un paramètre Continuité Dérivabilité 5 Transformées de Fourier de fonctions de L 1 Définitions Propriétés Convolution dans R

3 Théorème Convergence monotone de Beppo Levi: Soit (f n ) n N une suite de fonctions mesurables et positives sur R. On suppose que, pour tout x R, la suite (f n (x)) n N est croissante. Alors, la fonction f : R R {+ }, définie par f (x) = lim n f n(x) pour tout x R, est mesurable et vérifie lim n f n (x)dx = f (x)dx cette quantité pouvant être finie ou infinie.

4 Théorème Intégration terme à terme de séries de fonctions: Soit (f n ) n N une suite de fonctions mesurables de R dans R vérifiant f n (x) dx < +, n=0 alors la série de fonctions f n converge absolument presque partout et sa somme est intégrable. De plus, on peut permuter somme et intégrale: ( ) f n (x) dx = f n (x)dx. n=0 n=0

5 Théorème Théorème de Fubini: Si x R P, y R Q, avec P + Q = N; si f : R N R et si f < +, alors, R N pour presque tout x R P, la fonction f (x, ) est intégrable sur R Q et x f (x, y)dy est intégrable sur R P R Q pour presque tout y R Q, la fonction f (, y) est intégrable sur R P et y f (x, y)dx est intégrable sur R Q R P et ( ) ( ) f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx. R N R Q R P R P R Q

6 Dans le cas des fonctions positives, on a un théorème réciproque: Théorème Fubini-Tonelli Soit f : R N R + une fonction positive et mesurable. Alors l intégrale de f (finie ou infinie) est donnée par: ( ) ( f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx = R N R P R Q R Q R P f (x, y)dx ) dy.

7 Definition (x, y, z) (u, v, w) = ϕ(x, y, z). Soient Ω et Ω deux ouverts de R 3 et soit ϕ une bijection de Ω sur Ω, continûment différentiable ainsi que son inverse. On appelle matrice jacobienne la matrice des dérivées partielles: Jac ϕ (x, y, z) = D(u, v, w) D(x, y, z) = u x v x w x u y v y w y u z v z w z. On appelle jacobien de la transformation, le déterminant de la matrice jacobienne: J ϕ (x, y, z) = det(jac ϕ (x, y, z)). Cette définition se généralise à une transformation dans R n.

8 Théorème Soient U et V deux ouverts de R n. Soit ϕ : U V une fonction de classe C 1, bijective, dont le jacobien ne s annule pas sur U et soit f : V R p. Alors on a l équivalence f intégrable sur V (f ϕ)j ϕ intégrable sur U et, en notant x = (x 1,, x n ) et u = (u 1,, u n ) = ϕ(x), f (u)d n u = f ϕ(x) J ϕ (x) d n x. V U

9 Proposition Si f est une fonction continue (ou continue par morceaux) sur un intervalle [a, b], (a < b) de R, il y a égalité entre l intégrale de Lebesgue de f sur cet intervalle et l intégrale "usuelle" (celle de Riemann ou celle des fonctions réglées, définie à partir de fonctions en escalier). En particulier, on a toujours d dx x a f (t)dt = f (x) lorsque f est continue sur [a, b], a < x < b et f (b) f (a) = b a f (t)dt lorsque f est de classe C 1 sur [a, b].

10 Proposition Soit f une fonction positive sur [a, b[ (pour un certain a R et b > a, éventuellement infini) et continue (ou continue par morceaux) sur [a, b[. Il y a convergence de l intégrale impropre (la quantité lim f x b [a,x] existe et est finie) si et seulement si l intégrale de Lebesgue est finie. De plus, on a égalité entre l intégrale de f au sens de Lebesgue sur [a, b[ et l intégrale impropre lim f. x b [a,x] [a,b[ f

11 Proposition Soit f une fonction continue (ou continue par morceaux) sur [a, b[ (pour un certain a R et b > a, éventuellement infini). Il y a convergence absolue de l intégrale impropre (la quantité lim f existe et est finie) si et seulement si l intégrale de x b [a,x] Lebesgue f est finie. De plus, on a égalité entre l intégrale de [a,b[ f au sens de Lebesgue sur [a, b[ et l intégrale impropre lim f. x b [a,x]

12 Definition Espaces L 1 : Soit X un sous-ensemble de R n. L espace L 1 (X ) est l espace vectoriel des fonctions (réelles ou complexes), intégrables sur X, définies à une égalité presque partout près. En particulier, L 1 (R) (ou simplement L 1 ) est l espace des fonctions intégrables sur R par rapport à la mesure de Lebesgue, définies à une égalité presque partout près. Pour tout segment [a; b] de R, L 1 ([a; b]) est l espace des fonctions définies sur [a; b], intégrables pour la restriction de la mesure de Lebesgue sur [a; b]. Cela signifie que le prolongement de f à R, obtenu en posant f (x) = 0 pour tout x / [a; b], est élément de L 1 (R). Ces espaces peuvent être munis de la norme (dite norme de convergence en moyenne): f 1 = f dµ.

13 Proposition Les fonctions continues à support compact dans R n (càd qui valent 0 en dehors d un ensemble borné) sont denses dans L 1 (R n ) pour la norme L 1. Autrement dit, pour tout élément f de L 1 (R n ), il existe une suite (f n ) n N de fonctions continues à support compact telle que f n f L 1 (R n ) 0.

14 Definition On note L 1 loc (Rn ) l ensemble des classes d équivalence de fonctions de R n dans R dont la restriction à X appartient à L 1 (X ) pour tous les X bornés inclus dans R n.

15 Théorème (Riesz-Fischer) Soit X un sous-ensemble de R n. L espace L 1 (X ) des fonctions intégrables au sens de Lebesgue, muni de la norme f 1 = f dµ, est un espace vectoriel normé, complet. En particulier, les espaces L 1 (R) et L 1 ([a; b]) sont des espaces vectoriels normés complets. De plus, l espace C([a; b]) des fonctions continues sur [a; b] est dense dans l espace L 1 ([a; b]). Il en est de même pour l espace C(R) des fonctions continues sur R et pour L 1 (R).

16 Continuité Proposition Soit A un sous-ensemble de R n, soit U un ouvert de R p. On considère une fonction f : A U R telle que f (a, ) est continue sur U pour presque tout a A et telle qu il existe g L 1 (A) vérifiant pour presque tout a A, x U, f (a, x) g(a). Alors A f (a,.)da est bien définie et continue sur U.

17 Dérivabilité Proposition Soit A un sous-ensemble de R n, soit U un ouvert de R p. On considère une fonction f : A U R telle que f (, x) est intégrable pour x U, f (a, ) est dérivable par rapport à la i-ème variable sur U pour presque tout a A et de dérivée xi f (a, ) il existe h L 1 (A) vérifiant pour presque tout a A, Alors A f (a,.)da x U, xi f (a, x) h(a). en tout point x de U, de dérivée xi f (a, x)da. est dérivable par rapport à la i-ème variable A

18 Séries de Fourier pour les fonctions non périodiques: f n (x) = 1 T avec (sommes partielles de Fourier) Généralisation: c k = 1 T T ˆf (ν) = 0 + n k= n c k e 2iπkx T f (t)e 2iπkt T dt. f (t)e 2iπνt dt, avec t en secondes et ν la fréquence (en Hz).

19 Définitions Definition On note L 1 (R) l ensemble des fonctions f définies de R dans R, continue par morceaux et telles que f (t) dt <. R Ce sont les fonctions intégrables au sens de Lebesgue. La "norme" dans L 1 est définie par f 1 = + f (t) dt.

20 Définitions Definition Soit f une fonction. On dit que f L (R) si f est une fonction mesurable bornée. La norme dans L est définie par f = sup f (x). x R

21 Définitions Definition Pour f L 1 (R), on note ˆf ou F(f ) la transformée de Fourier de la fonction f définie sur R N par ˆf (ν) = 1 f (x)e iνx dx = F(f )(ν). 2π

22 Définitions Proposition F : f L 1 (R) ˆf L (R). On a donc un problème de non stabilité de la transformée de Fourier de L 1.

23 Définitions Definition On définit F (f ) la cotransformée de Fourier ou transformée de Fourier conjuguée de la fonction f par F(f )(x) = 1 f (ν)e iνx dν 2π

24 Définitions Proposition On a F(f )(ν) = F(f )( ν), et, sous certaines conditions F(F(f )) = f.

25 Propriétés Propriété Si f L 1 (R), alors ˆf est continue sur R et est de plus bornée: ˆf f 1.

26 Propriétés Théorème est un opérateur linéaire. F : f L 1 (R) ˆf L (R)

27 Propriétés Proposition On a les propriétés suivantes: 1 ˆf est continue. 2 Si x n f L 1, alors ˆf est C n et ˆf (n) (ν) = F (( ix) n f (x)).

28 Propriétés Proposition Si f L 1 est dérivable avec f L 1 alors F(f ) = iνf(f ).

29 Propriétés Proposition Plus généralement, si f C n et si m n, f (m) L 1, alors ( F f (n)) = (iν) n F(f ).

30 Propriétés Proposition Soit τ a f la translatée de f de a, c est-à-dire τ a f (x) = f (x + a), alors F (τ a f ) = e i νa F(f ).

31 Propriétés Proposition Soit η a f la dilatée de f de a, c est-à-dire η a f (x) = f ( x a ), alors F (η a f ) (ν) = af(f )(aν).

32 Convolution dans R Definition Soient f et g deux fonctions de L 1 (R). On définit h par h(x) = f (x s)g(s)ds. R On dit que h est la convoluée de f et g et on la note f g.

33 Convolution dans R Propriété 1 Le produit de convolution est commutatif: f g = g f. 2 h L 1 (R).

34 Convolution dans R Proposition Pour f L 1 (R), g Cc p (R) on a f g C p (R) et pour α N, α p, α (f g) = f α g.

35 Convolution dans R Definition On appelle suite régularisante (sur R) une suite de fonctions (φ n ) n 1 définie par φ n (x) = nφ(nx), où φ est une fonction positive, de classe C, d intégrale égale à 1 et de support inclus dans ] 1; 1[.

36 Convolution dans R Proposition Pour f L 1 (R), f φ n (x) = R f ( x z ) φ(z)dz. n la suite régularisantef φ n f, dans L 1 (R). On en déduit la densité de C L 1 (R) dans L 1 (R) (pour la norme L 1 (R)).