TS - Maths - Révisions Nombres complexes

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "TS - Maths - Révisions Nombres complexes"

Transcription

1 TS - Maths - Révisions Nombres complexes Exercice 1 LIBAN 01 On considère la suite de nombres complexes z n définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : z n+1 = 1 + iz n. Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose u n = z n. 1. Calculer u 0.. Démontrer que u n est la suite géométrique de raison et de premier terme.. Pour tout entier naturel n, exprimer u n en fonction de n.. Déterminer la limite de la suite u n. 5. Etant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l aide d un algorithme, la plus petite valeur de l entier naturel n telle que u n > p. Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l entier n. Variables : u est un réel p est un réel n est un entier Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur Entrée : Demander la valeur de p Traitement : Sortie : Partie B 1. Déterminer la forme algébrique de z 1.. Déterminer la forme exponentielle de z 0 et de 1 + i. En déduire la forme exponentielle de z 1. π. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos 1 Exercice ANTILLES-GUYANE 01 On note C l ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé O ; u, v. On prendra comme unité cm sur chaque axe. Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions. On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe f z = z + z + 9. TS - Révisions - Complexes - Page 1/ 11

2 1. Calculer l image de 1 + i par la fonction f.. Résoudre dans C l équation f z = 5. Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l affixe est solution de l équation A étant le point dont l affixe a une partie imaginaire positive. On laissera les traits de construction apparents.. Soit λ un nombre réel. On considère l équation f z = λ d inconnue z. Déterminer l ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l équation f z = λ admet deux solutions complexes conjuguées.. Soit F l ensemble des points du plan complexe dont l affixe z vérifie f z 8 =. Prouver que F est le cercle de centre Ω 1 ; 0 et de rayon. Tracer F sur le graphique. 5. Soit z un nombre complexe, tel que z = x + iy où x et y sont des nombres réels. a Montrer que la forme algébrique de f z est x y + x ix y + y. b On note E l ensemble des points du plan complexe dont l affixe z est telle que f z soit un nombre réel. Montrer que E est la réunion de deux droites D 1 et D dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l annexe en traçant ces droites. 6. Déterminer les coordonnées des points d intersection des ensembles E et F. Exercice PONDICHERY 01 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct O ; u, v. On note i le nombre complexe tel que i = 1. On considère le point A d affixe z A = 1 et le point B d affixe z B = i. à tout point M d affixe z M = x + iy, avec x et y deux réels tels que y 0, on associe le point M d affixe z M = iz M. On désigne par I le milieu du segment [AM]. Le but de l exercice est de montrer que pour tout point M n appartenant pas à OA, la médiane OI du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM propriété 1 et que BM = OI propriété. 1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend z M = e i π. a Déterminer la forme algébrique de z M. b Montrer que z M = i. Déterminer le module et un argument de z M. c Placer les points A, B, M, M et I dans le repère O ; u, v en prenant cm pour unité graphique. Tracer la droite OI et vérifier rapidement les propriétés 1 et à l aide du graphique.. On revient au cas général en prenant z M = x + iy avec y 0. a Déterminer l affixe du point I en fonction de x et y. b Déterminer l affixe du point M en fonction de x et y. c Ecrire les coordonnées des points I, B et M. TS - Révisions - Complexes - Page / 11

3 d Montrer que la droite OI est une hauteur du triangle OBM. e Montrer que BM = OI. Exercice PONDICHERY 01 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé O ; u, v. Pour tout entier naturel n, on note A n le point d affixe z n défini par : z 0 = 1 et z n+1 = + i z n. On définit la suite r n par r n = z n pour tout entier naturel n. 1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe + i.. a Montrer que la suite r n est géométrique de raison. b En déduire l expression de r n en fonction de n. c Que dire de la longueur OA n lorsque n tend vers +?. On considère l algorithme suivant : Variables n entier naturel R réel P réel strictement positif Entrée Demander la valeur de P Traitement R prend la valeur 1 n prend la valeur 0 Tant que R > P n prend la valeur n + 1 R prend la valeur R Fin tant que Sortie Afficher n a Quelle est la valeur affichée par l algorithme pour P = 0,5? b Pour P = 0,01 on obtient n =. Quel est le rôle de cet algorithme?. a Démontrer que le triangle OA n A n+1 est rectangle en A n+1. b On admet que z n = r n e í nπ 6. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A n est un point de l axe des ordonnées. c Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points A 6, A 7, A 8 et A 9. Les traits de construction seront apparents. Exercice 5 NOUVELLE CALEDONIE 01 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O ; u, v. On note C l ensemble des nombres complexes. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. Proposition : Pour tout entier naturel n : 1 + i n = n. TS - Révisions - Complexes - Page / 11

4 . Soit E l équation z z z + 8 = 0 où z désigne un nombre complexe. Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans C, de E sont les sommets d un triangle d aire 8.. Proposition : Pour tout nombre réel α, 1 + e iα = e iα cosα.. Soit A le point d affixe z A = 1 1+i et M n le point d affixe z A n où n désigne un entier naturel supérieur ou égal à. Proposition : si n 1 est divisible par, alors les points O, A et M n sont alignés. 5. Soit j le nombre complexe de module 1 et d argument π. Proposition : 1 + j + j = 0. ANNEXE EXERCICE A A A A 1 A 5 O A 0 ANNEXE EXERCICE 8 A 6 A 0 A 5 A A 0 TS - Révisions - Complexes - Page / 11

5 TS - Maths - Révisions CORRECTION Nombres complexes Exercice 1 LIBAN 01 On considère la suite de nombres complexes z n définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : Partie A Pour tout entier naturel n, on pose u n = z n. 1. u 0 = z 0 = i =. z n+1 = 1 + iz n. u n+1 = z n+1 = 1 + iz n = 1 + i z n = z n = u n. D après le cours, pour tout entier naturel n, on a u n = n ; un est la suite géométrique de raison et de premier terme u0 =.. u n est une suite géométrique de raison > 1 et de premier terme strictement positif, elle diverge donc vers Variables : u est un réel p est un réel n est un entier Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur Entrée : Demander la valeur de p Traitement : Tant que u p Faire Affecter à n la valeur n + 1 Affecter à u la valeur u Fin du Tant Que Sortie : Afficher n Partie B 1. z 1 = 1 + i i = i 1.. z 0 = 1 i = e iπ/6 1 + i = e iπ/. z 1 = e iπ/6 e iπ/ = e iπ/1.. Des deux questions précédentes, on obtient que i 1 = e iπ/1 = π π cos + isin 1 1 D où π cos = = TS - Révisions - Complexes - Page 5/ 11

6 Exercice ANTILLES GUYANE 01 On note C l ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé O ; u, v. On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe f z = z + z f 1 + i = 1 + i i + 9 = 1 i + i + 9 = 5. On résout dans C l équation f z = 5 : f z = 5 z + z + 9 = 5 z + z + = 0 ; = 16 = 1 = Donc l équation admet deux racines complexes conjuguées : + i = 1 + i et 1 i On appelle A le point d affixe z A = 1 + i et B le point d affixe z B = 1 i z A = 1 + = cosθ A = 1 Soit θ A un argument de z A : sinθ A = Donc z A = e iπ = θ A = π + kπ où k Z Les nombres complexes z A et z B sont conjugués, donc ils ont le même module et des arguments opposés donc z B = e iπ z A = donc le point A se trouve sur le cercle de centre O et de rayon. De plus la partie réelle de A vaut 1 donc A se trouve sur la droite d équation x = 1. Idem pour B. Voir graphique page 7.. Soit λ un nombre réel. On considère l équation f z = λ d inconnue z. f z = λ z + z + 9 = λ z + z + 9 λ = 0 Pour que l équation f z = λ admette deux solutions complexes conjuguées, il faut et il suffit que le discriminant du polynôme z + z + 9 λ soit strictement négatif. = 9 λ = 6 + λ = λ ; < 0 λ < 0 λ < 8 L ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l équation f z = λ admet deux solutions complexes conjuguées est l intervalle ] ; 8[.. Soit F l ensemble des points du plan complexe dont l affixe z vérifie f z 8 = f z 8 = z + z = z + z + 1 = z + 1 ; donc f z 8 = z + 1 = z + 1 car le module d un carré est égal au carré du module. Donc f z 8 = z + 1 = z + 1 = Soit Ω le point d affixe 1, donc de coordonnées 1; 0 ; si on appelle M le point d affixe z, alors z + 1 = z M z Ω =. L ensemble des points M vérifiant z M z Ω = est le cercle de centre Ω et de rayon. On trace F sur le graphique voir page Soit z un nombre complexe, tel que z = x + iy où x et y sont des nombres réels. a f z = z + z + 9 = x + iy + x + iy + 9 = x + ix y y + x + iy + 9 = x y + x ix y + y b On note E l ensemble des points du plan complexe dont l affixe z est telle que f z soit un nombre réel. f z réel x y + y = 0 yx + 1 = 0 y = 0 ou x = 1 Donc E est la réunion de deux droites D 1 d équation y = 0 l axe des abscisses et D d équation x = 1. TS - Révisions - Complexes - Page 6/ 11

7 Le cercle F est de centre Ω d affixe 1 et de rayon. Donc les points d intersection du cercle F avec l axe des abscisses ont pour coordonnées 1 ; 0 et 1 + ; 0. Les points A et B ont pour affixes z A et z B dont les parties réelles sont égales à 1 ; donc A et B sont situés sur la droite D. ΩA = z A z Ω = 1 + i + 1 = i = donc le point A appartient au cercle F. ΩB = z B z Ω = 1 i + 1 = i = donc le point B appartient au cercle F. Les coordonnées des quatre points d intersection des ensembles E et F sont : 1 ; 0, 1 + ; 0, 1; et 1; D F A v Ω O u D 1 B 6. Exercice PONDICHERY Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend z M = e i π. 1 a z M = i = 1 i. b z M = iz M = i1 i = i + i = i. Module et argument méthode algébrique : z M = + 1 = et si l on nomme θ un argument de z M alors, par propriété, cos θ = sinθ = 1 On reconnaît θ = 5π modulo π. 6 Module et argument par la forme exponentielle : z M = i z M = 1 e i π = argz M = arg i + argz M = π π = 5π module π. 6 TS - Révisions - Complexes - Page 7/ 11

8 1 B c La figure n est pas à l échelle. Graphiquement on vérifie les propriétés 1 et. M 1 1 O A 1 I M. Cas général en prenant z M = x + iy avec y 0. a z I = z A + z M = x i y. b z M = ix + iy = y i x. x + 1 c I ; y, B0 ; 1 et M y ; x. d OI x + 1 y BM = y + x 1 = x y + 1 x y 1 = 0 donc les droites OI et BM sont perpendiculaires. e BM = y + x 1 = x + 1 y x y et d autre part, OI = + = x y donc OI = BM. Exercice PONDICHERY 01 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé O ; u, v. Pour tout entier naturel n, on note A n le point d affixe z n défini par : z 0 = 1 et z n+1 = On définit la suite r n par r n = z n pour tout entier naturel n i = + = + i = + i = = 16 = sqr t = + i = + 1 i + i z n Or cos π 6 = et sin π 6 = 1. Donc le nombre complexe + i a pour module et pour argument π donc sa forme exponentielle 6 est ei π 6.. a r n+1 = z n+1 = + i z n = + i z n = r n Donc la suite r n est géométrique de raison q = et de premier terme r 0 = z 0 = 1. n b La suite r n est géométrique donc, pour tout n, r n = r 0 q n, donc r n =. TS - Révisions - Complexes - Page 8/ 11

9 n c OA n = z n = r n = r n est une suite géométrique de raison ; or 1 < < 1 donc la suite r n converge vers 0. La longueur OA n tend donc vers 0 quand n tend vers +.. a On fait tourner l algorithme donné dans le texte en prenant pour P la valeur 0,5 : n R P R > P Initialisations 0 1 0, 5 Vrai Traitement 1 0, 866 0, 5 Vrai 0, 75 0, 5 Vrai 0,69 5 0, 5 Vrai 0,56 5 0, 5 Vrai 5 0, 87 0, 5 Faux Sortie Afficher 5 La valeur affichée par l algorithme pour P = 0,5 est 5. b Cet algorithme s arrête dès que R P et affiche alors n, c est-à-dire qu il affiche la plus petite valeur de n pour laquelle R donc r n = OA n est inférieur ou égal à P. On peut donc dire que OA > 0,01 et que OA g eqsl ant0,01. Vérification à la calculatrice : r 0,0100 et r 0, a On considère le triangle OA n A n+1. OA n = r n donc OA n = rn OA n+1 = r n+1 = r n donc OA n+1 = r n A n A n+1 = z n+1 z n = + i z n z n = = 1 + r n = A n A n+1 + OA n+1 = 1 r n + r n = r n = OA n + i 1 z n = 1 + i z n r n = 16 r n = 1 r n donc A n A n+1 = 1 r n D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OA n A n+1 est rectangle en A n+1. b On admet que z n = r n e i nπ 6. Le point A n, d affixe z n, appartient à l axe des ordonnées si et seulement si son argument est π ou π modulo π, c est-à -dire π modulo π, donc il peut s écrire π + kπ où k Z. Le nombre z n a pour argument nπ 6 ; nπ 6 = π + kπ n = + 6k. Mais n est un entier naturel donc k doit être strictement positif donc appartenir à N. Donc si n s écrit + 6k avec k N, alors le point A n appartient à l axe des ordonnées. c Le point A 6 a pour affixe z 6 qui a pour argument 6π = π ; ce point est donc sur l axe des abscisses. 6 Comme le triangle OA 5 A 6 est rectangle en A 6, on trace le cercle de diamètre OA 5 ; le point A 6 est à l intersection de ce cercle et de l axe des abscisses. Le point A 7 a pour affixe z 7 qui a pour argument 7π 6 ; donc les points A 1, O et A 7 sont alignés. Le point A 7 se trouve donc à l intersection du cercle de diamètre OA 6 et de la droite OA 1. TS - Révisions - Complexes - Page 9/ 11

10 Etc. Voir figure en annexe Remarque : les points A et A 9 appartiennent à l axe des ordonnées, ce qui correspond bien à la réponse trouvée à la question. b. Exercice 5 NOUVELLE CALEDONIE 01 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O ; u, v. On note C l ensemble des nombres complexes i n = 1 + i n et 1 + i = 1 + i 1 + i = 1 + i + i = 1 + i 1 = i ; donc 1 + i = i = i = Donc 1 + i n = n ; la proposition est vraie.. On cherche les solutions de l équation E : z z z + 8 = 0. Il y a z = qui annule z. Pour z z + 8 = 0 : = 1 8 = 16 = 16 < 0 L équation admet deux solutions complexes conjuguées : z 1 = + i 16 = + i = + i et z = i L équation E admet pour solutions {, + i, i }. Représentons les points dont les affixes sont solutions de E : v O u B H C A Le triangle ABC est isocèle en A car les points B et C sont symétriques par rapport à l axe O, u et A appartient à cet axe ; donc le milieu H de [BC] est aussi le pied de la hauteur issue de A dans le triangle. H a pour affixe donc AH= ; de plus BC = +i + i = i =. L aire de ce triangle vaut donc : BC AH = = La proposition est fausse.. Soit α un nombre réel quelconque ; on sait que 1 = cos α + sin α. 1 + e iα = 1 + e iα = 1 + cosα + isinα = 1 + cos α + isinαcosα + i sin α = cos α + sin α + cos α + isinαcosα sin α = cos α + isinαcosα = cosα + isinαcosα = e iα cosα La proposition est vraie.. Le nombre complexe z A a pour argument π donc le nombre complexe z A n a pour argument n π argument d un produit. Les points O, A et M n sont alignés si et seulement si l argument de l affixe de M n est π ou π+ π Ã π prés. π + π v O A π u On suppose que n 1 est divisible par ; le nombre n 1 peut alors s écrire k avec k entier et donc n s écrit k + 1. TS - Révisions - Complexes - Page 10/ 11

11 L argument de l affixe de M n qui est n π peut s écrire k + 1 π = kπ+ π qui est bien équivalent à π ou π + π à π prés ; donc si n 1 est divisible par, alors les points O, A et M n sont alignés. La proposition est vraie. 5. Le nombre j a pour module 1 et argument π donc j a pour module 1 = 1 et pour argument π = π. On a : j = cos π + isin π = 1 + Et : j = cos π + isin π = 1. Donc 1 + j + j = La proposition est vraie. = 0. propriétés du cercle trigonométrique. Une solution plus élégante consiste à écrire le nombre j sous la forme e i π pour prouver que j = 1. Ensuite on développe 1 + j + j 1 j en 1 j qui donne donc 0. Et comme j n est pas égal à 1, le facteur 1 j n est pas nul, mais comme le produit 1 + j + j 1 j est nul, c est le facteur 1+j+j qui est nul. TS - Révisions - Complexes - Page 11/ 11

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Séquence 6 Ensemble des nombres complexes Sommaire Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2

x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2 Partie numérique : 16 points Exercice n 1 (4 points) : Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Aucune justification n'est demandée. Écrire le numéro

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE CHAPITRE Nombres complexes et trigonométrie A Les nombres complexes 66 B Représentation géométrique Affixe Module Argument 67 1 Image d un complexe Affixe d un point, d un vecteur 67 Module 68 3 Nombres

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Brevet Juin 007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Exercice 1 : 1) A = 500 (10 3 ),4 10 7 8 10 4 = 500 10 6 4 10 1 10 7 8 10 4 500 4 = 8 = 500 3 8 8 = 500 3 100 10 4 = 1500 10 0 + 4 = 1500 10 4 = 1,5 10 3 10 4

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS . Les fonctions JUIN : EXERCICES DE REVISIONS y 30 0 0-8 -7-6 - - 0 3 4 6 7 8 x -0 - -0 0 Fonction n : f(x) = y = 30x Fonction n : f(x) = y = -x³ + 3x² + x - 3 Fonction n 3 : f3(x) = y = -x + 30 Fonction

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Une bien jolie curiosité

Une bien jolie curiosité Une bien jolie curiosité Roland Dassonval et Catherine Combelles Tracez un polygone régulier à n sommets inscrit dans un cercle de rayon 1, puis les cordes qui joignent un sommet donné aux n-1 autres.

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Correction du Brevet Blanc Shanghai mars 2013

Correction du Brevet Blanc Shanghai mars 2013 Correction exercice 1(4 points) Correction du Brevet Blanc Shanghai mars 2013 1. Calculer les expressions suivantes A et B et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible : 2. Calculer

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016 LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 015-016 Pourquoi ce livret? Afin de mieux préparer cette rentrée, ce livret reprend un ensemble de notions

Plus en détail

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation 1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis

Plus en détail

CORRECTIONS. Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures

CORRECTIONS. Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures * Calculatrice autorisée pour les deux parties mais en précisant les étapes des calculs. A] Nombres et Calculs : Exercice n 1 : Compléter

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

BREVET BLANC DE MAI 2012

BREVET BLANC DE MAI 2012 COLLEGE GASPARD DES MONTAGNES BREVET BLANC DE MAI 2012 Ce sujet comporte 8 pages numérotées de 1/8 à 8/8, dont une feuille annexe à remettre avec la copie. L usage de la calculatrice est autorisé. Notation

Plus en détail

Exercice 1 : sur 2,5 points 1) Lire graphiquement les équations des droites D 1, D 2 et D 3 tracées dans le repère ci-dessous

Exercice 1 : sur 2,5 points 1) Lire graphiquement les équations des droites D 1, D 2 et D 3 tracées dans le repère ci-dessous NOM : Seconde A B C H J Mardi 19 janvier 010 Exercice 1 : sur,5 points 1) Lire graphiquement les équations des droites D 1, D et D tracées dans le repère ci-dessous ) Dans le même repère, tracer la droites

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Devoir commun de seconde, mars 2006

Devoir commun de seconde, mars 2006 Devoir commun de seconde, mars 006 calculatrices autorisées On rappelle que le soin et la qualité de rédaction entrent pour une part non négligeable dans l appréciation de la copie. Eercice (7 points).

Plus en détail

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques (12 points)

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

c) Calculer MP. 3) Déterminer l'arrondi au degré de la mesure de Dˆ.

c) Calculer MP. 3) Déterminer l'arrondi au degré de la mesure de Dˆ. Exercice :(Amiens 1995) Les questions 2, 3 et 4 sont indépendantes. L'unité est le centimètre. 1) Construire un triangle MAI rectangle en A tel que AM = 8 et IM = 12. Indiquer brièvement les étapes de

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Collège OASIS Corrigé de l Epreuve de Mathématiques L usage de la calculatrice est autorisé, mais tout échange de matériel est interdit Les exercices sont indépendants

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Algorithmes (2) Premiers programmes sur calculatrice. Programmation sur calculatrice TI. codage

Algorithmes (2) Premiers programmes sur calculatrice. Programmation sur calculatrice TI. codage Objectifs : lgorithmes () Premiers programmes sur calculatrice - passer de la notion d algorithme à la notion de programme - aborder la notion de langage de programmation - s initier à la programmation

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Thierry JOFFREDO. Mémo DNB. Première partie : calcul, fonctions. Année 2006-07

Thierry JOFFREDO. Mémo DNB. Première partie : calcul, fonctions. Année 2006-07 Thierry JFFRED ØØÔ»»ÛÛÛºÑØÓÒÙØ ºÖ Mémo DN Première partie : calcul, fonctions nnée 006-07 CLCUL SUR LES FRCTINS Fractions égales n obtient une fraction égale en multipliant (ou en divisant) numérateur

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

Brevet Amérique du sud novembre 2011

Brevet Amérique du sud novembre 2011 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) Exercice 1 Cet exercice est un exercice à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1 point. L absence

Plus en détail

BREVET BLANC Corrigé 15 avril 2013

BREVET BLANC Corrigé 15 avril 2013 REVET LN orrigé 15 avril 2013 *********************** Exercice 1 : On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. es représentations sont nommées 1, 2, 3. L une d entre elles est

Plus en détail

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2 ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Rappel : Présenter les parties de l'épreuve sur feuilles

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Partie numérique Exercice 1 1) Les nombres 288 et 224 sont pairs donc ils sont divisibles par 2. Ils ne sont donc pas premiers

Partie numérique Exercice 1 1) Les nombres 288 et 224 sont pairs donc ils sont divisibles par 2. Ils ne sont donc pas premiers Partie numérique Eercice 1 1) Les nombres 88 et sont pairs donc ils sont divisibles par. Ils ne sont donc pas premiers entre eu car leur Plus Grand Commun Diviseur est supérieur ou égal à. ) Pour calculer

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

CONCOURS SEPTEMBRE 2011 SUJETS

CONCOURS SEPTEMBRE 2011 SUJETS CONCOURS SEPTEMBRE 2011 SUJETS Florilège COPIRELEM Page 155 CERPE groupement 1 - septembre 2011 (corrigé page 171) GROUPEMENT 1 septembre 2011 EXERCICE 1 : Dans cet exercice, six affirmations sont proposées.

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Annexe D: Les nombres complexes

Annexe D: Les nombres complexes Annexe D: Les nombres complexes L'équation t + 1 = 0 n'a pas de solution dans les nombres réels. Pourtant, vous verrez lors de vos études qu'il est très pratique de pouvoir résoudre des équations de ce

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 5 et 6 mai 004 SÉRIE COLLÈGE Durée heures MATHEMATIQUES Rédaction, présentation, orthographe (4 points) PARTIE I : ACTIVITES NUMERIQUES (1 points) Dans

Plus en détail

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

MathADoc Diplôme National du Brevet : Groupe Nord 2003

MathADoc Diplôme National du Brevet : Groupe Nord 2003 MathADoc Diplôme National du Brevet : Groupe Nord 2003 Activités numériques : 12 points (Amiens, Lille, Paris, Créteil, Versailles, Rouen) 1. Soit A = 8 3 5 3 20 21 Calculer A en détaillant les étapes

Plus en détail

Le sujet est à rendre avec la copie.

Le sujet est à rendre avec la copie. NOM : Prénom : Classe : ACADEMIE DE BORDEAUX Collège Jean Moulin, COULOUNIEIX-CHAMIERS Durée : h DIPLOME NATIONAL DU BREET Série Collège Brevet BLANC Du janvier 01 Epreuve : MATHEMATIQUES Les calculatrices

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Correction du deuxième Brevet Blanc mai 2013 Lycée International Victor Hugo de Florence.

Correction du deuxième Brevet Blanc mai 2013 Lycée International Victor Hugo de Florence. Exercice 1 (4 points) d après Amérique du Sud, novembre 2010. et donc les nombres semblent égaux, mais il faut le démontrer. Je sais que si alors. Je cherche à savoir si Alors j aurai si je trouve. Conclusion

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Février 2011 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : 4 points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments

Plus en détail

Brevet des collèges, correction 27 juin 2013 Métropole La Réunion Antilles-Guyane

Brevet des collèges, correction 27 juin 2013 Métropole La Réunion Antilles-Guyane Brevet des collèges, correction 27 juin 201 Métropole La Réunion Antilles-Guyane Exercice 1 4 points Avec un logiciel : on a construit un carré ABD, de côté 4 cm. on a placé un point M mobile sur [AB]

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHEMATIQUES Série S

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHEMATIQUES Série S BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2015 MATHEMATIQUES Série S ÉPREUVE DU LUNDI 22 JUIN 2015 Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Durée de l épreuve : 4 heures Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à

Plus en détail

SÉQUENCE 7 FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES. f(0)= 5 0 + 4= 0 + 4 = 4.

SÉQUENCE 7 FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES. f(0)= 5 0 + 4= 0 + 4 = 4. 196 Séquence 7 SÉQUENCE 7 FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Séance 1 JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e 5 4 0 9 L image de 0 par la fonction f est le nombre

Plus en détail

Sujet de mathématiques du brevet des collèges

Sujet de mathématiques du brevet des collèges Sujet de mathématiques du brevet des collèges PONDICHÉRY Avril 2015 Durée : 2h00 Calculatrice autorisée La qualité de la rédaction, l orthographe et la rédaction comptent pour 4 points. EXERCICE 1 Cet

Plus en détail

Ce document regroupe les 6 devoirs à la maison proposés dans la progression.

Ce document regroupe les 6 devoirs à la maison proposés dans la progression. Ce document regroupe les 6 devoirs à la maison proposés dans la progression. Le document a été paginé de façon à ce que chaque devoir corresponde à une page pour en faciliter l impression. Page 2... Devoir

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser

Plus en détail

u n+1 = qu n 100 100 (diminution) (augmentation) ou 1

u n+1 = qu n 100 100 (diminution) (augmentation) ou 1 I SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Dire qu une suite(u n ) est géométrique signifie qu il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier n, u n+1 = qu n Le réel q est appelé la raison de la

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2001 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) Durée : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée. La clarté et la précision de la rédaction seront prises

Plus en détail

Solutions. Exercice 470-1 (Corol aire n 41) Démontrer que, pour tout ensemble {x, y, z} de trois nombres réels quelconques, on a :

Solutions. Exercice 470-1 (Corol aire n 41) Démontrer que, pour tout ensemble {x, y, z} de trois nombres réels quelconques, on a : 888 Pour chercher et approfondir PEP Exercice 473-4 (ichel Lafond - ijon) ans le plan, un triangle a une aire de 344 m Un point P du plan vérifie P = 5 m, P = 33 et P = 39 m alculer les côtés de Solutions

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

ACTIVITES NUMERIQUES 12 points

ACTIVITES NUMERIQUES 12 points BREVET BLANC Mai 2012 Mathématiques Le corrigé La rédaction et la présentation sont prises en compte pour 4 points. Les calculatrices sont autorisées. Durée de l'épreuve : 2 heures. EXERCICE 1 On donne

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail