Chap 6 Fonction logarithme népérien

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1 Chap 6 Fonction logarithme népérien Terminale ES Chap 6 - Fonction logarithme népérien I. Généralités sur le logarithme népérien...4 ) Introduction...4 2) Définition...4 3) Conséquences directes...4 II. Propriétés algébriques de la fonction ln...5 ) Relation fonctionnelle...5 2) Règles de calculs...5 3) Résolution des équations du type x n = k...5 III. Etude de la fonction logarithme népérien...7 ) Définition...7 2) Continuité et dérivabilité...7 3) Sens de variation et courbe représentative...7 4) Signe de lnx...8 A. Gniady Chap 6 Fonction logarithme népérien / 8

2 A. Gniady Chap 6 Fonction logarithme népérien 2 / 8

3 Vérifier les acquis p 88 Activités : activités et 2 p 89 TES.22 Chap5 Fonction logarithme népérien Exercices TES.220 TES.22 TES.222 TES.223 TES.224 Utiliser la relation fonctionnelle du logarithme pour transformer une écriture. Résoudre des équations et des inéquations avec ln. Déterminer le signe d'une expression avec ln. Connaître la dérivée, les variations et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. Etudier les variations d'une fonction contenant ln. 6-7 p 95, 67 à 77 p 0 Feuille : 3 3 à 8 p 9, 30 à 32, 35, 39 p 98, 6 à 66 p 00 Feuille :, 2, 2, 22, 23, 24, 25, 29 2 p 93 Feuille : à 55 p 99 Feuille : 43 à à 58 p 00 Feuille : 54 à 68 TES.225 Résoudre une équation de la forme x^n= k. 8 à 84 p 0 Feuille : 72, 79 AP p Exercices bilan : p 03, 95 p 05, 99 p 06, 02 p 07, 09 p 09 Feuille : 93 à 02 TP info : TP croissance lente et niveau sonore A. Gniady Chap 6 Fonction logarithme népérien 3 / 8

4 I. Généralités sur le logarithme népérien ) Introduction D'après ce qui a été étudié dans les chapitres précédents, on sait que la fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R et qu'elle est strictement positive sur. R D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que quel que soit le réel a strictement positif, l'équation e x =a admet une unique solution sur, R c'est-à-dire il existe un unique nombre b tel que e b =a. Ce nombre b est appelé logarithme népérien de a. 2) Définition Définition : Soit a un réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de a l'unique solution de l'équation d'inconnue x : e x =a. Cette unique solution se note ln a. 3) Conséquences directes Pour tout réel a strictement positif, dire que e b =a équivaut à b=ln a. Pour tout réel a strictement positif, on a e ln a =a. Pour tout réel b, ln(e b )=b. En effet, par définition, ln(e b ) est l'unique solution de l'équation e x =e b. D'où x=b. Et donc ln(e b )=b. ln =0 (car e 0 = ou encore ln =ln(e 0 )=0 ) ln e= (car e=e ou encore ln(e)=ln(e )= ) Remarque : On a donc 5=ln(e 5 ) et aussi 5=e ln 5 (car 5 est strictement positif). Par contre, 3=ln(e 3 ) (on ne peut pas écrire -3 sous la forme e ln a car 3<0 ) Exercice : a. Réduire : A=ln(e 3 ) B=e ln 8 C=ln(e 2 e x ) (pour tout x R ) D=e ln (x+) +e ln( x+3) (pour tout x>0 ) b. Résoudre dans R l'équation e x =3,5. c. Résoudre dans ]0 ;+ [ l'équation ln x = 2. d. Résoudre dans R équation e x =5. e. Résoudre dans ]0 ;+ [ l'équation +2ln x=. f. Résoudre dans R équation 4 e x 7=5. A. Gniady Chap 6 Fonction logarithme népérien 4 / 8

5 II. Propriétés algébriques de la fonction ln ) Relation fonctionnelle Propriété : Pour tous réels a et b strictement positifs, on a ln(ab)=ln a+lnb Preuve : On sait que pour tous réels x et y, on a e x+ y =e x e y. Donc, en particulier, pour tous réels a et b strictement positifs, e ln a+ln b =e ln a e ln b C'est-à-dire e ln a+ln b =a b Cette égalité équivaut à ln a+ln b=ln(ab) (ce qui est vrai pour tous réels a et b strictement positifs). 2) Règles de calculs Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier naturel p on a : ln( a ) = ln a ; ln ( a b ) =ln a ln b ; ln(a p )= p ln a et ln( a)= 2 ln a Preuve : Pour tout réel a strictement positif, on a a=. On en déduit que pour tout réel a strictement positif, on a a ln( a ) ( a =ln. Ou encore : ln a) ( +ln a=0. D'où : ln = ln a pour tout réel a strictement positif. a) Pour tous réels a et b strictement positifs, on a ln( a b) ( =ln a b) ( =lna+ln =ln a ln b (d'après ce qui b) précède) Si p=2, alors ln(a 2 )=ln(a a)=ln a+ln a=2ln a Si p=3, alors ln(a 3 )=ln(a 2 a)=ln(a 2 )+ln a=2ln a+ln a=3ln a L'égalité citée est la généralisation à tout entier naturel p. On sait que pour tout réel a strictement positif, on a ( a) 2 =a. Donc : ln(( a) 2 )=ln a D'où 2ln( a)=ln a C'est-à-dire ln( a)= ln a pour tout réel a strictement positif. 2 3) Résolution des équations du type x n = k Exemple : On souhaite résoudre l'équation x 5 =000 sur ]0 ;+ [. Les nombres x 5 et 000 étant strictement positifs, cette équation équivaut à : ln( x 5 )=ln(000) équivaut à 5ln x=ln(000) équivaut à ln x= 5 ln(000) équivaut à x=e 5 ln (000). L'équation x 5 =000 a pour ensemble solution S={ e 5 ln000 }. A. Gniady Chap 6 Fonction logarithme népérien 5 / 8

6 Propriété : Soit x et k des réels strictement positifs et n un entier naturel. L'équation x n =k admet dans ]0 ;+ [ une unique solution x=e n ln k Preuve : Sur l'intervalle ]0 ;+ [, x n est strictement positif. Donc si k est aussi strictement positif, alors l'équation x n =k équivaut à ln( x n )=ln k qui équivaut à nln x=ln k qui équivaut à ln x= ln k qui équivaut n à n x=e ln k D'où S={ e n ln k }. Exercice 7 : On pose a=ln 2 et b=ln 3. Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de a et b a. ln 6 b. ln 9 c. ln( 2 d. ln 72 e. 3) ln( 2) e5 Indice n 4 page 95 Exercice 8 : Résoudre sur l'intervalle ]0 ;+ [ les équations et inéquations suivantes : a. ln x+ln 3=2ln 5 b. ln x ln 5 3ln 2 c. ln 4+ln x>3ln 2 Indice n 5 page 95 Exercice 9 : On place un capital C 0, sans prélèvement, à un taux d'intérêt composé de 4 % par an. On note C n le capital à la fin de la n -ième année. ) Quelle est la nature de la suite (C n )? En déduire C n en fonction de n. 2) Déterminer le nombre d'année nécessaire pour dépasser le double du capital initial Indice n 5 page 95 Exercice 0 : Un effectif a subi en 7 ans un taux d'accroissement de 3 %. Déterminer le taux d'accroissement moyen annuel de cet effectif, c'est-à-dire le taux annuel t qui, appliqué 7 années successives à l'effectif initial équivaut à un taux d'accroissement total de 3 %. Indice n 6 page 97 A. Gniady Chap 6 Fonction logarithme népérien 6 / 8

7 III. Etude de la fonction logarithme népérien ) Définition La fonction logarithme népérien est la fonction qui, à tout réel x strictement positif, associe ln x. Remarque : la fonction logarithme népérien est donc définie sur ]0 ;+ [. 2) Continuité et dérivabilité La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur ]0 ;+ [. Et pour tout réel x>0, on a (ln x)'= x Conséquence pour le chapitre : La fonction inverse étant continue sur ]0 ;+ [, elle admet des primitives sur ]0 ;+ [ et d'après ce qui vient d'être énoncé on en déduit que la fonction logarithme népérien x ln x est une primitive de la fonction inverse x x sur ]0 ;+ [. 3) Sens de variation et courbe représentative La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ;+ [. Preuve : pour tout réel x>0, on a (ln x)'=, donc (ln x)' >0. x Ainsi la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+ [. Conséquences : La fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ;+ [, on peut écrire que : Pour tous réels a et b strictement positifs, on a ln a=ln b équivaut à a=b ln a<ln b équivaut à a<b. A. Gniady Chap 6 Fonction logarithme népérien 7 / 8

8 Remarque : Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x. 4) Signe de lnx On sait que la fonction logarithme népérien est continue, strictement croissante sur ]0 ;+ [ et qu'elle s'annule en (puisque ln =0 ). On a donc : ln x<0 sur ]0 ;[ ; ln x>0 sur ] ;+ [ ; ln x=0 si, et seulement si x= On a le tableau de signe : x 0 + ln x 0 + Exercice 2 : Résoudre chacune des inéquations suivantes (on n'oubliera pas de déterminer d'abord l'ensemble de définition). a. ln x 2 b. 2+3ln x>4 c. 3e 2 x 2>0. Exercice 3 : Etudier le signe des expressions suivantes sur ]0 ;+ [. a. f (x)= ln x b. g( x)=ln x+ x 2 ln x. Exercice 4 : Déterminer la dérivée des fonctions suivantes : a. f (x)=ln x(ln x+) b. g( x)= ln x c. h(x)= xln x 2 x+ x+ d. k ( x)= ln x Exercice 5 : Etudier le sens de variation et dresser le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes : a. f (x)=ln x+x b. g( x)= ln x c. h(x)=x ln x. x Exercice 6 : Dans chacun des cas, déterminer l'ensemble de définition de l'inéquation, puis la résoudre. a. ln(3 x+4) 5 b. ln(3 x 7) ln( x+7) c. ln( x 2 +2)<ln(2 x+) A. Gniady Chap 6 Fonction logarithme népérien 8 / 8