I- Définition d un Vecteur:
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- Simon Gauthier
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2 I- Définition d un Vecteur: Un vecteur est une grandeur définie par trois paramètres: - Une direction : qui désigne le support du vecteur - Un sens : qui désigne l orientation du vecteur - un module : qui désigne la grandeur du vecteur Sens Direction Module
3 II- Composantes d un Vecteur: On choisit un repère orthonormé (O, x, y, z) On décompose le vecteur V suivant les axes ox, oy et oz V z Ce vecteur s écrit donc dans ce repère comme: V V y V V x V y V z V i x V y j V k z V x 3
4 III- Somme de deux Vecteurs: On veut faire la somme des deux vecteurs S Extré mité Origi ne S S 4
5 IV- Somme de plusieurs Vecteurs: On veut calculer le vecteur somme de plusieurs vecteur S = + +C+D D D S D C C 5
6 6 C C V- L addition de vecteurs est associative: C C C C C C C C C
7 VI- Multiplication de vecteurs par un scalaire : La multiplication d un vecteur par un scalaire p est un vecteur : C p Dont la direction est celle de, et le module est : Le sens est : Celui de C p si p est positif p p > 0 7
8 VI- Multiplication de vecteurs par un scalaire : Contraire à si p est positif p VII- Vecteurs opposés: Si p=-1 p < 0 On a les vecteurs et 8
9 III- Soustraction de deux Vecteurs: On veut calculer le vecteur différence de deux vecteurs D 9
10 Exemples Exercice 1: Soient les vecteurs V i j, V 4i, V3 4i j 1 Construire sur une feuille de papier millimétré les vecteurs : V1V V3V C V V V 1 3 Exercice : Soient les vecteurs, et V1 3i j k V i 4 j 3k V3 i j k Trouver les modules de V, 3 V1 V V et 3 V 1 3V 5V 3 10
11 11 Corrigé : j i i j i V V 4 ) ( 1 Exercice 1: On peut calculer analytiquement ou graphiquement j i i j i V V 8 ) 4 ( ) (4 3 j i j i i j i V V V C 14 ) (4 ) 4 ( ) ( 3 1 V 1 V V 3 V 1 V V V 3 C
12 Exercice : V1 3i j k V i 4 j 3k et V3 i j k Trouver les modules de : Soient les vecteurs : V V V et V 1 3V 5V 3 V3 1 3 V V 3 ( 1) () () 9 3 V i j 3 V V 4i 4 j 1 3 0k V1 V V3 (4) ( 4) (0) 3 4 V 3V 5V 5i j k 1 3 k V 1 3V 5V 3 (5) ( ) (1) 30 1
13 VIII- Produit scalaire de deux vecteurs Définition Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire qui s écrit:.. cos,, C est donc un nombre qui peut être donc positif ou négatif 13
14 VIII- Produit scalaire de deux vecteurs... 0 si. si / /. C..C p. p.. p p. 14
15 VIII- Produit scalaire de deux vecteurs Expression en composantes cartésiennes Si on connait les composantes des vecteurs et alors: xi y j zk xi y j zk. ( i j k ).( i j k ) x y z x y z En appliquant les propriétés du produit scalaire on a: i. i j. j k. k 1 i. k j. i j. k 0 Et enfin:. + + x x y y z z 15
16 IX- Produit vectoriel de deux vecteurs Définition: Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur V V. sin, V - Le vecteur est perpendiculaire au plan formé par et. V -Orienté de telle sorte que le trièdre soit direct. (,, V ) On utilise donc la règle de la main droite 16
17 VIII- Produit scalaire de deux vecteurs Propriétés: C C p p p 0 soit : 0 soit : 0 ou alors : // alors C.C C. 17
18 VIII- Produit scalaire de deux vecteurs Expression cartésienne i j k x y z x y z i j k y z x x z y x y z i j k y z x x z y x y z i j k i j k x y z y z z y z x x z x y y x x y z 18
19 , Exemples,, Exercice, 3 : Soient les vecteurs Trouver les angles V1 3i j k V i 4 j 3k et V3 i j k V 1, V et V, V3 Exercice 4 : Déterminer la valeur de a telle que les vecteurs soient perpendiculaires. V1 i a j k et V 4i j k Exercice 5 : Soient les vecteurs V1 3i j k V i j k et 3 ( V V ). V ( V V ). V V i j k.trouver, en précisant sa nature (vecteur ou scalaire), lorsque le résultat existe : 19
20 Exercice 3 : Soient les vecteurs V1 3i j k V i 4 j 3k et V3 i j k Trouver les angles et V, V V1, V 3 Par définition le produit scalaire s écrit: V. V VV cos( V, V ) Corrigé Exercice 3 : Calculons les modules des vecteurs V 1 et V V1 (3) ( ) (1) 14 V () ( 4) ( 3) 9 On calcule le produit scalaire des deux vecteurs: VV 1. (3)() ( )( 4) (1)( 3) 11 On en déduit l angle entre les deux vecteurs: cos( V, V ) 1 VV VV
21 Exercice 3 : Soient les vecteurs V1 3i j k V i 4 j 3k et V3 i j k Trouver les angles et V, V V1, V 3 Par définition le produit scalaire s écrit: V. V V V cos( V, V ) Corrigé de l exercice 3 : Calculons les modules des vecteurs V 1 et V V () ( 4) ( 3) 9 V3 ( 1) () () 9 On calcule le produit scalaire des deux vecteurs: VV. 3 ()( 1) ( 4)() ( 3)() 16 On en déduit l angle entre les deux vecteurs: VV. cos( V, V3) VV
22 Exercice 4 : Déterminer la valeur de a telle que les vecteurs V1 i a j k et V 4i j k soient perpendiculaires. On calcule le produit scalaire des deux vecteurs: Corrigé de l exercice 4 : V. V ( )( 4) ( a)( ) ( 1)( ) a 6 1 Deux vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul: On obtient donc: VV 1. 0 a 6 0 a 3
23 Soient les vecteurs V1 3i j k V i j k et V3 i j k Trouver, en précisant sa nature (vecteur ou scalaire), lorsque le résultat existe : ( V V ). V ( V V ). V Exercice 5 : Corrigé de l exercice 5 : On calcule d abord le produit vectoriel des vecteurs V 1 et V i j k ( V V ) 3 1 i 7 j 5k V Le résultat est un vecteur et on calcule le produit vectoriel de ce vecteur avec V 3 ( V V ) i 7 j 5k 4 3 Le résultat final est un vecteur i j k 1 3
24 Soient les vecteurs V1 3i j k V i j k et V3 i j k Trouver, en précisant sa nature (vecteur ou scalaire), lorsque le résultat existe : ( V V ). V ( V V ). V Exercice 5 : Corrigé de l exercice 5 : On calcule d abord le produit vectoriel des vecteurs V 1 et V i j k ( V V ) 3 1 i 7 j 5k V Le résultat est un vecteur et on calcule le produit scalaire de ce vecteur avec V 3 ( V4. V3) ( 1)(1) ( 7)( ) ( 5)( ) ( V. V ) Le résultat final est un scalaire 4
25 Rappel de trigonométrie: 5
26 Propriétés de trigonométrie: Dérivées de trigonométrie Primitives sin Dérivées (sin) =cos (cos) =-sin - cos cos - sin 6 6
27 Calcul infinitésimal 7
28 Rappel de Mathématique Différentielle d une fonction: f f f df dx dy dz x y z f f f, et x y z : sont les dérivées partielles de f(x, y, z) gradian d une fonction: f f f grad f i j k x y z
29 Dérivée d un vecteur unitaire: u ' j ( ) u u cosi sin j u ' cos( ) i sin( ) j sin( ) cos( ) sin sin( ) cos sin - cos cos cos( ) i u ' sini cos j du d d d sin i cos j ( sini cos j) dt dt dt dt sin cos - sin Donc: du d u ' dt dt Et : du ' d u dt dt 9
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31 31
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