Oscillateur harmonique - Régime libre

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1 Mécanique 2 - Oscillations libres page 1/9 Oscillateur harmonique - Régime libre Table des matières 1 Oscillateur harmonique 1 2 Oscillations libres Pulsation propre - Isochronisme des oscillations Étude énergétique Oscillations libres amorties Facteur d amortissement - Facteur de qualité Régime pseudo-périodique Régime apériodique Régime critique Portrait de phase 9 1 Oscillateur harmonique On appelle oscillateur harmonique tout système à un degré de liberté dont l évolution au cours du temps (en l absence d amortissement et d excitation) est régi par l équation différentielle suivante : d 2 x dt 2 +ω2 0x = 0 quelle que soit la nature physique de la variable x. C est, par exemple, l équation différentielle vérifiée par l oscillateur harmonique horizontal 1 : 1.

2 Mécanique 2 - Oscillations libres page 2/9 En l absence de frottements, l énergie mécanique est constante au cours du temps, ce qui nous permet d écrire : de m dt = 0 L oscillateur harmonique évolue dans un puit de potentiel de type parabolique : soit on a exactement (cas de l énergie potentielle élastique) : E p (x) = E p (0)+ 1 2 kx2 soit on obtient en linéarisant E p (x) pour x proche de 0 (position d équilibre stable) : E p (x) E p (0)+ 1 2 kx2 L oscillateur harmonique est soumis à une force de rappel proportionnelle à x : 2 Oscillations libres F x = de p dx = kx 2.1 Pulsation propre - Isochronisme des oscillations La solution générale de cette équation différentielle est : x(t) = x m cos(ω 0 t+ϕ) On en déduit alors l expression de la vitesse : ẋ(t) = x m ω 0 sin(ω 0 t+ϕ) = v(t)

3 Mécanique 2 - Oscillations libres page 3/9 x m et ϕ sont déterminés par les conditions initiales. Si x(0) = x 0 et v(0) = v 0 alors x m = x tanϕ = v 0 ω 0 x 0 ( ) 2 v0 ω 0 La période T 0 = 2π ω 0 est indépendante des conditions initiales; c est une propriété importante de l oscillateur harmonique appelée isochronisme des oscillations. 2.2 Étude énergétique Calculons l énergie mécanique : E m = E c +E p = 1 2 mx2 mω 2 0sin 2 (ω 0 t+ϕ)+ 1 2 kx2 mcos 2 (ω 0 t+ϕ) = 1 2 kx2 m Calculons la valeur moyenne de E p de même E p déf = 1 T T 0 E p (t)dt = kx2 m 2 cos2 (ω 0 t+ϕ) = kx2 m 4 E c = kx2 m 4 La valeur moyenne de l énergie cinétique et la valeur moyenne de l énergie potentielle sont égales. E p = E c = E m 2

4 Mécanique 2 - Oscillations libres page 4/9 3 Oscillations libres amorties 3.1 Facteur d amortissement - Facteur de qualité Enprenantencomptelaforcedefrottementfluide, F f = hẋ u x,l équation différentielle devient : mẍ = kx hẋ En présence de frottements, l énergie mécanique n est plus constante au cours du temps, ce qui nous permet d écrire : de m dt = P nc = hv 2 = hẋ 2 que l on met sous la forme normalisée 2 : ẍ+2αẋ+ω 2 0x = 0 avec 2α = h m et ω2 0 = k, ou encore : m ẍ+2ξω 0 ẋ+ω 2 0x = 0 où ξ est une constante sans dimension qui est appelée facteur d amortissement de l oscillateur, ω 0 étant sa pulsation propre. Pour décrire l oscillateur amorti, on peut préférer au couple (ω 0,ξ) le couple (ω 0,Q), Q étant un paramètre sans dimension appelé facteur de qualité défini par : Q = 1 2ξ = ω 0 2α = mω 0 h L équation différentielle peut donc aussi s écrire : ẍ+ ω 0 Qẋ+ω2 0x = 0 2. l équation est dite normalisée lorsque le coefficient devant ẍ est égal à 1

5 Mécanique 2 - Oscillations libres page 5/9 On cherche ensuite une solution en e rt qui vérifie l équation différentielle si : r 2 +2αr +ω 2 0 = 0 Suivant le signe du discriminant réduit = 4 degré en r, plusieurs régimes sont possibles 3 : de cette équation du second = α 2 ω Régime pseudo-périodique Si les frottements sont faibles alors α < ω 0, ou encore Q > 1 2 et < 0. La solution générale de l équation différentielles est : x(t) = e αt (Acos(Ωt)+Bsin(Ωt)) en introduisant la pseudo-pulsation Ω telle que Ω 2 = ω 2 0 α 2 ( = Ω 2 = (iω) 2 et r = α±iω). On obtient alors l expression générale de la vitesse (algébrique) : ẋ = αe αt (Acos(Ωt)+Bsin(Ωt))+e αt Ω( Asin(Ωt)+Bcos(Ωt)) Les conditions initiales étant données : { x(0) = A = x0 ẋ(0) = αa+ωb = v 0 On en déduit l expression de la position : x(t) = e αt (x 0 cos(ωt)+ v 0 +αx 0 Ω sin(ωt)) On a tracé ci-dessous la courbe normalisée x(t) x 0 pour v 0 > 0 : 3.

6 Mécanique 2 - Oscillations libres page 6/9 Une telle évolution vers un état permanent (ici x = 0) est qualifiée de relaxation. T = 2π Ω = T 0 ( ) = 2 α 1 ω 0 T Q 2 est la pseudo-période. ( ) x(t) La détermination expérimentale de δ = ln appelé décrément x(t+t) logarithmique permet de calculer le facteur de qualité puisque l on a : δ = αt = ω 0T 2Q = π Q 2 1 4

7 Mécanique 2 - Oscillations libres page 7/9 3.3 Régime apériodique Si les frottements sont importants alors α > ω 0, ou encore Q < 1 2 et > 0. La solution générale de l équation différentielles est : avec Ω 2 = α 2 ω 2 0 (r = α±ω ). x(t) = e αt (Acosh(Ω t)+bsinh(ω t)) On obtient alors l expression générale de la vitesse (algébrique) : ẋ = αe αt (Acosh(Ω t)+bsinh(ω t))+e αt Ω (Asinh(Ω t)+bcosh(ω t)) Les conditions initiales étant données : { x(0) = A = x0 ẋ(0) = αa+ω B = v 0 On en déduit l expression de la position : x(t) = e αt (x 0 cosh(ω t)+ v 0 +αx 0 Ω sinh(ω t)) On a tracé ci-dessous la courbe normalisée x(t) x 0 pour différentes valeurs de v 0 (identifier les 3 cas : v 0 > 0, v 0 = 0, v 0 < 0) :

8 Mécanique 2 - Oscillations libres page 8/9 3.4 Régime critique Ce régime correspond au cas où α = ω 0, ou encore Q = 1 2 et = 0. La solution générale de l équation différentielles est : (r = α). x(t) = e αt (At+B) On obtient alors l expression générale de la vitesse (algébrique) : ẋ = αe αt (At+B)+e αt A Les conditions initiales étant données : { x(0) = B = x0 ẋ(0) = αb +A = v 0 On en déduit l expression de la position : x(t) = e αt ((v 0 +αx 0 )t+x 0 ) On a tracé ci-dessous la courbe normalisée x(t) x 0 pour différentes valeurs de v 0 (identifier les 3 cas : v 0 > 0, v 0 = 0, v 0 < 0) : Le régime critique est le régime apériodique de plus courte durée.

9 Mécanique 2 - Oscillations libres page 9/9 4 Portrait de phase Le protrait du phase est la courbe paramétrique pour laquelle on représente x en abcisse et v ω 0 en ordonnée. Pour un oscillateur harmonique non amorti le portrait de phase est un cercle, alors que pour un oscillateur harmonique amorti c est une spirale qui tend vers le point attracteur (valeurs finales de la vitesse et de la position qui est en général l origine). On remarquera également grâce à l inimation du pendule simple à fil rigide 4 non amorti que lorque l oscillateur n est plus harmonique (pour des angles grands) le portrait de phase ressemble moins à un cercle. 4.