Planche n o 13. Fonctions circulaires réciproques : corrigé

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1 Eercice n o Planche n o Fonctions circulaires réciproques : corrigé ) Arcsin eiste si et seulement si est dans, Donc, sinarcsin) eiste si et seulement si est dans, et pour tout de,, sinarcsin ) = ) Arcsinsin) eiste pour tout réel mais ne vaut que si est dans π, π S il eiste un entier relatif k tel que π +kπ < π +kπ, alors π kπ < π et donc Arcsinsin) = Arcsinsin kπ)) = kπ De plus, on a k π + < k+ et donc k = E π + ) puis Arcsinsin) = π E π + ) S il eiste un entier relatif k tel que π +kπ < π +kπ, alors π < π +kπ π et donc Arcsinsin) = Arcsinsinπ +kπ)) = π +kπ De plus, k π < k+ et donc k = E π ) puis Arcsinsin) = π +π E π ) ) Arccos eiste si et seulement si est dans, Donc, cosarccos) eiste si et seulement si est dans, et pour tout dans,, cosarccos ) = ) Arccoscos) eiste pour tout réel mais ne vaut que si est dans,π ) S il eiste un entier relatif k tel que kπ < π+kπ, alors Arccoscos) = kπ avec k = E π S il eiste un ) entier relatif k tel que π+kπ < kπ alors Arccoscos) = Arccoscoskπ )) = kπ avec +π k = E π 5) Pour tout réel, tanarctan) = 6) Arctantan) eiste si et seulement si n est pas dans π + πz et pour ces, il eiste un entier relatif k tel que π +kπ < < π +kπ Dans ce cas, Arctantan) = Arctantan kπ)) = kπ avec k = E π + ) Eercice n o ) ère solution Posons f) = Arccos + Arcsin pour dans, f est définie et continue sur,, dérivable sur, De plus, pour dans,, f ) = = Donc f est constante sur, puis sur, par continuité de f en et en Pour tout de,, f) = f) = π,, Arccos+Arcsin = π ème solution Il eiste un unique réel θ dans,π tel que = cosθ, à savoir θ = Arccos Mais alors, π )) Arccos+Arcsin = Arccoscosθ)+Arcsin sin θ = θ+ π θ = π π )) Arccoscosθ) = θ car θ,π et Arcsin sin θ = π θ car π θ est dans π, π ) http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés

2 ) ère solution Pour réel non nul, posons f) = Arctan+Arctan Notons que f est impaire f est dérivable sur R et pour non nul, f ) = + + = f est donc constante sur, et sur,+ mais pas nécessairement sur R ) Donc, pour >, f) = f) = Arctan = π, et puisque f est impaire, pour <, f) = f ) = π Donc, R, Arctan+Arctan π = si > π si < = π sgn) ème solution Pour réel strictement positif donné, il eiste un unique réel θ dans θ = Arctan Mais alors,, π tel que = tanθ à savoir Arctan+Arctan π )) tan = Arctantanθ)+Arctancotanθ) = Arctantanθ)+Arctan θ = θ+ π θ = π car θ et π θ sont éléments de, π ) ) cos Arctana) = +tan Arctana) = +a De plus, Arctana est dans π, π et donc cosarctana) > On en déduit que pour tout réel a, cosarctana) = Ensuite, +a sinarctan a) = cosarctan a) tanarctan a) = a +a a R, cosarctana) = +a et sinarctana) = a +a ) D après ), cosarctana+arctanb) = cosarctana)cosarctanb) sinarctana)sinarctanb) = ab +a +b, ce qui montre déjà, puisque ab, que cosarctana+arctanb) et donc que tanarctana+arctanb) a un sens Immédiatement, tanarctana+arctanb) = a+b ab Maintenant, Arctan a + Arctan b est dans π, π π, π π,π er cas Si ab < alors cosarctana + Arctanb) > et donc Arctana + Arctanb est dans π, π Dans ce cas, ) a+b Arctana+Arctanb = Arctan ab ème cas Si ab > alors cosarctana+arctanb) < et donc Arctana+Arctanb est dans π, π π,π Si de plus a >, Arctana+Arctanb > π π et donc Arctana+Arctanb est dans,π Dans ce cas, Arctana+Arctanb π est dans π, π a+b a+b et a même tangente que Arctan Donc, Arctana+Arctanb = Arctan +π Si a <, on ab ab trouve de même Arctana+Arctanb = Arctan a+b ab π En résumé, http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés

3 Arctana+Arctanb = Arctan a+b si ab < ab Arctan a+b +π si ab > et a > ab Arctan a+b π si ab > et a < ab Eercice n o Pour réel, on pose f) = sin Arcsin t dt+ cos Arccos t dt La fonction t Arcsin t est continue sur, Donc, la fonction y De plus, sin est définie et dérivable sur R à valeurs dans, Finalement, la fonction définie et dérivable sur R De même, la fonction t Arccos t est continue sur, Donc, la fonction y y Arcsin t dt est définie et dérivable sur, y sin Arcsin t dt est Arccos t dt est définie et dérivable sur, De plus, la fonction cos est définie et dérivable sur R, à valeurs dans, Finalement, la fonction cos Arccos t dt est définie et dérivable sur R Donc, f est définie et dérivable sur R et, pour tout réel, f ) = sincosarcsin sin ) sincosarccos cos ) = sincosarcsin sin ) Arccos cos )) On note alors que f est π-périodique et paire Pour élément de, π, f ) = sincos ) = f est donc constante sur, π et pour élément de, π π /, f) = f = Arcsin ) / t dt + Arccos / π tdt = dt = π Mais alors, par parité et π-périodicité, R, sin Arcsin t dt+ cos Arccos t dt = π Eercice n o ) ère solution Pour tout réel, + > = et donc < R, impaire, et pour tout réel, + < Ainsi f est définie et dérivable sur + f ) = + = + + ) = + = Arctan ) Donc il eiste une constante réelle C telle que pour tout réel, f ) = Arctan+C = fournit C = et donc, ) R, Arcsin = Arctan + ème solution Pour réel donné, posons θ = Arctan θ est dans π, π et = tanθ + = tanθ +tan θ = cos θ tanθ = cosθtanθ car cosθ > ) = sinθ, http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés

4 et donc f ) = Arcsinsinθ) = θ car θ est dans = Arctan π, π ) ) ère solution Pour tout réel, < + + = + + = avec égalité si et seulement si = f est donc définie et continue sur R, dérivable sur R De plus, f est paire Pour tout réel non nul, f ) = + ) ) + ) + ) = + = ε + où ε est le signe de Donc il eiste une constante réelle C telle que pour tout réel positif, f ) = Arctan+C y compris = puisque f est continue en ) = fournit C = et donc, pour tout réel positif, f ) = Arctan Par parité, ) R, Arccos + = Arctan ème solution Soit θ = Arctan pour réel donné θ est dans π, π et = tanθ Donc + = tan θ +tan θ = cos θ tan θ) = cos θ sin θ = cosθ) θ si θ, π { { f ) = Arccoscosθ)) = θ si θ π Arctan si Arctan si, = Arctan si = Arctan ) si = Arctan ) La fonction Arcsin est définie et continue sur,, dérivable sur, \ {} car pour élément de,, est élément de, et vaut si et seulement si vaut + est défini et positif si et seulement si est dans,, et nul si et seulement si = f est donc définie et continue sur,, dérivable sur,, Pour dans,,, on note ε le signe de et on a : f ) = ) +) ) +) ε = + Si est dans,, f ) = = Arcsin) ) Donc, il eiste un réel C tel que, pour tout de, par continuité en et en ) f ) = Arcsin+C = fournit C = π Donc, pour tout de 5, ) = π Arcsin = π ) Arcsin = Arccos,, f ) = Arccos Si est dans,, f ) = = Arcsin) ) Donc il eiste un réel C tel que, pour tout de, par continuité) f ) = Arcsin+C = fournit π π = C Donc,,, f ) = Arcsin+ π http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés

5 ) f est dérivable sur D = R\{ ;} et pour élément de D, on a : f ) = +) + +) + ) + +) + ) = = + + +) = f est donc constante sur chacun des trois intervalles,,, et,+ Pour >, f) = f) = Pour < <, f) = lim t t> Pour <, f) = lim t ft) = π + π = ft) = Arctan π )+Arctan = π + π = π { si,,+ R\{ ;}, f ) = π si, Eercice n o 5 Arctan + Arctan 5 < Arctan+Arctan = π et tan Arctan + Arctan ) = = Comme Arctan +Arctan 5, π, on a donc Arctan +Arctan 5 = Arctan 7 9 De même, Arctan 7 9 +Arctan 8, π et tan Arctan Arctan ) = = =, et donc Arctan Arctan 8 = Arctan = π Finalement, Arctan + Arctan 5 + Arctan 8 = π Eercice n o 6 On va retrouver le résultat de l eercice n o dans un cas particulier) Soient a et b deu réels positifs Alors, Arctan a, π, Arctanb, π et donc, Arctana Arctanb π, π De plus, tanarctana Arctanb) = tanarctana) tanarctanb) +tanarctana)tanarctanb) = a b +ab, et donc, puisque Arctan a Arctan b π, π, ) a b a, b, Arctana Arctanb = Arctan +ab Soit alors k un entier naturel non nul Arctan k+) k ) = Arctan = Arctank+) Arctank ) puisque k +k )k+) k et k+ sont positifs) Par suite, si n est un entier naturel non nul donné, u n = n Arctan n k = Arctank+) Arctank )) = k= k= = Arctann+)+Arctann π n+ k= n Arctank k= Arctan k http ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés

6 La limite de u n vaut donc π + π π = π lim n + k= n Arctan k = π Eercice n o 7 ) f est définie et dérivable sur D = R\ ) Pour élément de D, { } f ) = Arctan + ) ) = Arctan + ) De plus, pour non nul : f ) = g) où g) = Arctan ) Pour élément de D \{}, + + Maintenant, g ) = + +) )6 +) +) = +) ) = ) +9 + = ) +7 + = ) +7 ) > Donc, g est strictement décroissante sur,, sur, et sur,+ En +, g) tend vers Donc g est strictement positive sur,+ Quand tend vers par valeurs inférieures, g tend vers π + < et quand tend vers par valeurs supérieures, g) tend vers + Donc g s annule une et une seule fois sur l intervalle, en un certain réel de, g est de plus strictement négative sur, et strictement positive sur, Quand tend vers, g) tend vers Donc g est strictement négative sur, ) Enfin, puisque f ) = g) pour, on a les résultats suivants : sur,, f >, sur,, f >, sur,, f <, sur,+, f > Comme f ) = >, on a donc : sur,, f >, sur,, f < et sur,+, f > f est strictement croissante sur, et sur,+ et est strictement décroissante sur, Eercice n o 8 ) Pour tout réel de,, sinarcsin) = sinarcsin)cosarcsin) = ) Pour tout réel de,, cosarccos) = cos Arccos) = ) Arccos ) Pour tout réel de,, sin = cosarccos)) = Eercice n o 9 ) Soit R cos = k Z/ = Arccos ) ) +kπ ou k Z/ = Arccos +kπ http ://wwwmaths-francefr 6 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés

7 S = Arccos ) Soit R ) ) +πz Arccos ) ) +πz sin) = ) ) k Z/ = Arcsin +kπ ou k Z/ = π+arcsin +kπ k Z/ = ) Arcsin +kπ ou k Z/ = π + ) Arcsin +kπ ) Soit R tan) = k Z/ = Arctan)+kπ ) Une solution est nécessairement dans, et même dans, La fonction Arcsin) + Arcsin est continue et strictement croissante sur, en tant que somme de deu ) fonctions continues et strictement croissantes sur, La fonction Arcsin) + Arcsin réalise donc une bijection ) de, sur, π Comme π, π, l équation proposée a une solution et une seule et cette solution est dans, Si Arcsin) + Arcsin = ) π alors sin Arcsin) + Arcsin = )) ) Réciproquement, puisque,, Arcsin)+Arcsin Arcsin)+Arcsin = ) π Dans l intervalle, π, il y a un nombre et un seule dont le sinus vaut à savoir π Donc, pour dans,, Arcsin) + Arcsin = ) π sin Arcsin) + Arcsin = )) + ) )+ )+ ) = car le premier membre de l équation initiale est positif) = ) ) = ) ) = 5 + ) et = et /, { 7 + = et /, }, = 7 = car ) 7 { } S = 7 et /, 5) Une solution est nécessairement dans, Soit donc un réel de, http ://wwwmaths-francefr 7 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés

8 Arcsin) = Arcsin+Arcsin ) sinarcsin)) = sin = Arcsin+Arcsin ) + )) = ou + = = ou + + ) ) = = ou ) ) = + = ou 6 +) = +) 7 7 = ou = 7 = ou = ou = Réciproquement, pour chacun des ces trois nombres, la seule implication écrite est une équivalence si est dans, ) 7 ce qui est le cas puisque ± = ) = ) et de plus Arcsin+Arcsin ) est dans π, π Or, Arcsin ) Arcsin = Arcsin + Arcsin Arcsin 6 6 = Arcsin = π ) 7 7 et donc Arcsin +Arcsin, π ) ) 7 7 De même, par parité, Arcsin +Arcsin π, ce qui achève la résolution S = {, 8, } 8 6) Soit R Arcsin eiste si et seulement si, Ensuite, Arcsin ) eiste, et,, et ),, et ), et +, et ), Pour,, sinarcsin)) = sinarcsin)cosarcsin) = = sinarcsin )), et de plus, Arcsin ) π, π Par suite, solution, et Arcsin), et Arcsin) S =, π, π π, π, 7) Par croissance de la fonction arctangente sur R, si, Arctan )+Arctan)+Arctan+) Arctan )+ Arctan) + Arctan) = En particulier, Arctan ) + Arctan) + Arctan + ) π Une solution est donc nécessairement strictement positive http ://wwwmaths-francefr 8 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés

9 Soit donc un réel strictement positif Arctan )+Arctan)+Arctan+) = π Arctan )+Arctan+) = π Arctan) ) Arctan )+Arctan+) = Arctan tanarctan )+Arctan+)) = et Arctan )+Arctan+) π, π )++) )+) = et Arctan )+Arctan+) π, π = et Arctan )+Arctan+) π, π π, π = et Arctan )+Arctan+) = et Arctan )+Arctan+) π, π ) ) = car Arctan + + S = { } =,8 et / π, π ) {, } http ://wwwmaths-francefr 9 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés