I) A quoi sert une fonction circulaire?

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1 FCHE METHODE sur les FONCTONS CRCULARES ) A quoi sert une fonction circulaire? a) Exemples :. Un triangle a deux cotés de cm et l angle entre ces cotés est de x! Comment varie son aire en fonction de l angle x? f(x) = 5 sin(x).. l a nagé m avec un angle de x par rapport au bord de la rivière! A quelle distance du bord se trouve til en fonction de l angle x? f(x) = sin(x).. l roule à vélo à la vitesse de m.s et les roues ont un rayon de,5 mètres. A quelle hauteur au dessus de la route, la punaise plantée sous son pneu se trouve telle en fonction du temps t? : f(t) =,5,5 cos(t).. l court à la vitesse de 5m.s sur un cercle de m de rayon. Quelles sont ses coordonnées en fonction du temps t, dans un repère orthonormal d origine le centre du cercle? : x(t) = cos(,5t) et y(t) = sin(,5t) 5 Un pilote veut atteindre m d altitude en ligne droite en montant avec un angle de x! Quelle distance doitil parcourir en fonction de l angle x? f(x) = sin(x) b) Remarques : Dans notre univers, il existe de nombreux phénomènes «périodiques» c est à dire qui reprennent les mêmes valeurs à intervalles de temps réguliers ( alternance du jour et de la nuit, les saisons, la pleine lune, l apparition de la comète de Haley par exemple, les marées, ). Pour rendre compte de ces phénomènes, on utilise en mathématiques des «fonctions périodiques» et les fonctions périodiques de référence sont les fonctions circulaires ( cosinus, sinus ) Ce qui suit donne les principales «choses» à connaître concernant ces fonctions. ) Qu est ce que la fonction cosinus, sinus? Définition : ( CERCLE TRGONOMETRQUE ) Un cercle de rayon égal à et orienté ( munis d un sens direct et d un sens indirect ) est appelé cercle trigonométrique. Le sens direct est aussi appelé sens «trigonométrique» ou «sens positif». ( c est le sens inverse de celui des aiguilles d une montre ) Sens indirect : Sens direct : + Cercle trigonométrique

2 Propriété : ( CORRESPONDANCE entre R et le CERCLE TRGONOMETRQUE ) Soient un point du cercle trigonométrique ( appelé l origine ) et x un nombre réel. Au nombre réel x, il correspond un unique point M du cercle trigonométrique tel que : la longueur de l arc M soit égale à x en tournant dans le sens positif si x est positif et dans le sens négatif si x est négatif. ( l arc peut dépasser un tour complet ) ( admis ) Autrement dit: A tous nombre réel, on peut associer un unique point du cercle trigonométrique Exemples : Au nombre correspond le point M tel que M ait pour longueur en tournant dans le sens +. Au nombre correspond le point P tel que P ait pour longueur en tournant dans le sens. Au nombre 7 correspond le point S tel que S ait pour longueur 7 en tournant dans le sens +. Remarque : P M S 7 + A des nombres différents, peuvent correspondre le même point du cercle trigonométrique, par exemple, au nombre, correspond le point, mais au nombre correspond aussi le point car périmètre du cercle = R = = et pour le nombre on a donc fait un tour complet à partir de, de même, aux nombres,, 8,, correspondent le point. Propriété : ( PERODE DE ) Soit un nombre x R et M le point correspondant du cercle trigonométrique. A tous nombres de la forme x + k où k Z correspond le même point M du cercle trigonométrique. ( tous les on retombe sur le même point du cercle ) Preuve : Le cercle ayant un rayon de, son périmètre est égal à, donc, à partir d un point, si on parcours un arc de cercle de longueur,, 8,, k ( k Z ) alors on effectue un ou plusieurs tours complets et on se retrouve sur le point de départ. Définition : ( MESURE PRNCPALE d un ANGLE en RADANS ) Soient et M deux points non diamétralement opposés du cercle trigonométrique. Soit O le centre du cercle. l n y a qu un seul arc faisant strictement moins d un demi tour et permettant joindre à M de vers M. La «longueur orientée» de cet arc est appelée mesure principale de l angle OM exprimée en radians. Cette mesure est nécessairement comprise entre ( ½ tour ) et ( + ½ tour). Si les points et M sont diamétralement opposés alors la mesure principale est par définition égale à ( et non pas ) M O

3 Exemples des principales valeurs et positions à retenir : Propriété : ( CONVERSON DE MESURE d ANGLE : DEGRE / RADAN ) Les mesures d angles en degrés et radians sont proportionnelles. correspond à radians On a 5 5 mesure de α en radian = mesure de α en degrés Application : radians 5 x radians où x est inconnu. x Les mesures sont proportionnelles donc = 5 donc x = 5 = = 5 8 radians. radians x radians où x est inconnu. Les mesures sont proportionnelles donc = x donc x = = 8 Définition : ( Cosinus et sinus ) Soit O le centre du cercle trigonométrique et ( O,, J ) un repère orthornormé. Soit x un nombre réel et M le point correspondant du cercle trigonométrique tel que OM= x. Le cosinus de x noté cos(x) est l abscisse du point M dans (O,, J). Le sinus de x noté sin(x) est l ordonnée du point M dans (O,, J). l peut ainsi associer à tous nombre réel les nombres cos(x) et sin(x). degrés 57,9 M J sin(x) O cos(x) Exemples : Au nombre correspond le point J ( ; ) donc : cos( ) = et sin( ) =. Au nombre correspond le point de coordonnées ( ; ) donc cos( ) = et sin( ) =.

4 Propriété : ( VALEURS REMARQUABLES ) ( admis ) x en Degrés x en Radians Cos(x) Sin(x) Propriété 5 : Pour tous x R on a : ) cos(x) et sin(x) ) cos²(x) + sin²(x) = ) cos(x) = cos(x) et sin(x) = sin(x) ) Pour tout k Z on a cos( x + k) = cos(x) et sin( x + k) = sin(x) Eléments de Preuve : ) Car cos(x) et sin(x) sont les coordonnées d un point du cercle trigonométrique de rayon. ) On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OM. ) Au nombre x correspond le point M et à x correspond P,le symétrique de M par rapport à (Ox) qui a même abscisse que M donc cos(x) = cos(x), mais qui a une ordonnée opposée à celle de M donc sin(x) = sin(x). ) Résulte de la propriété car les points qui correspondent aux nombres x + k sont confondus. Définition : ( FONCTONS COSNUS et SNUS ) La fonction cosinus notée cos associe à tous nombre réel x le nombre «cosinus x» noté cos(x). cos : R R x cos(x) La fonction sinus notée sin associe à tous nombre réel x le nombre «sinus x» noté cos(x). sin : R R x sin(x) Exemples : cos ( ) = =,5 sin( ) =,8 cos( ) =,7 ) Propriétés des fonctions cosinus et sinus. Les fonction sinus et cosinus ont des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels qu elles permettent de décrire, voici les principales. Définition 5 : GRAPHQUES DES FONCTONS COSNUS et SNUS. Les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont des sinusoides d équations : y = cos(x) et y = sin(x).

5 Voici un tableau de valeurs des fonctions cosinus et sinus ainsi que les courbes partielles: 5 x cos(x) 5 x 5 Sin(x) 5 y «La courbe est une sinusoide» valeurs de f(x) = cos(x),5 VALEURS de x x,5 valeurs de f(x) = sin(x) y «La courbe est une sinusoide»,5 VALEURS de x x,5

6 Propriété : PARTE et MPARTE La fonction cosinus est telle que pour tout nombre réel x R on a cos(x) = cos(x) On dit alors que la fonction cosinus est «paire» et une conséquence est que la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à (oy). (résulte de la définition de cos ) Exemple : cos( ) = = cos( ) La fonction sinus est telle que pour tout nombre réel x R on a sin(x) = sin(x) On dit alors que la fonction sinus est «impaire» et une conséquence est que la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport au point O. (résulte de la définition de sin ) Exemple : sin( ) = = sin( ) Propriété 7 : PERODCTE Les fonctions cosinus et sinus sont telles que pour tout nombre réel x R et k Z on a cos(x + k ) = cos(x) et sin(x + k ) = sin(x). On dit alors que les fonctions cosinus et sinus sont «périodiques de période» et une conséquence est que les courbes des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par translation de vecteur i. ( les fonctions reprennent les mêmes valeurs tous les ) (résulte des définitions ) Exemples : cos( + ) = = cos( ) sin( + ) = = sin( ) Propriété 8 : SENS DE VARATON et SGNES. (admis ) Pour la fonction cosinus sur [ ; ] : Valeurs de x Variations de x cos(x) Signe de cos(x) + sur [ ; ] : Le maximum de la fonction cosinus vaut pour x = Le minimum vaut pour x = ou x =. Pour la fonction sinus sur [ ; ] : Valeurs de x Variations de x sin(x) Signe de sin(x) + sur [ ; ] : Le maximum de la fonction sinus vaut pour x = Le minimum vaut pour x = ( un cosinus ou un sinus d un nombre réel est compris entre et )

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