Étude de fonctions. A. Rappels utiles. 1- Ordre des nombres et opérations

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1 Étude de fonctions La connaissance des variations de quelques fonctions simples (affines, carré, inverse, racine carrée, valeur absolue) permet d'étudier les variations de fonctions plus complees. A. Rappels utiles Pour démontrer les propriétés à connaître sur le sens de variation des fonctions nous serons amenés à utiliser quelques définitions et propriétés importantes. 1- Ordre des nombres et opérations Propriété 1 : Quels que soient les nombres réels a et b, a b a b négatif. Pour étudier l'ordre de 2 nombres, on peut essayer de déterminer le signe de leur différence. Par eemple, pour comparer 1 3 et 3 1 on pourra calculer = = 1 3. Comme est strictement positif, on peut dire que 1 3 > 3 1. Propriété 2 : Quels que soient les nombres réels a, b et c, si a b, alors a + c b + c. Une inégalité étant donnée, on obtient une nouvelle inégalité de même sens en ajoutant un même nombre au deu membres. On se donne deu nombres a et b tels que a b et on compare a + c et b + c. Pour cela on étudie leur différence : (a + c) (b + c) = a + c b c = a b. Comme a b, a b est négatif, donc (a + c) (b + c) est négatif et a + c b + c. KB 1 sur 6

2 Propriété 3 : Quels que soient les nombres réels a, b et k : - si a b et si k est positif, alors ka kb. - si a b et si k est négatif, alors ka kb. Une inégalité étant donnée, on obtient une nouvelle inégalité : - de même sens en multipliant les deu membres par un nombre strictement positif - de sens contraire en multipliant les deu membres par un nombre strictement négatif On se donne deu nombres a et b tels que a b et on compare ka et kb. Pour cela on étudie leur différence ka kb = k(a b). Comme a b, a b est négatif ; alors on deu cas possibles : - si k est positif, ka kb est négatif, donc ka kb. - si k est négatif, ka kb est positif, donc ka kb. Eemple d'application Résoudre l'inéquation 2 5 < a) on ajoute 6 dans les deu membres et on obtient 4 5 < 1 b) on ajoute 5 dans les deu membres et on obtient 4 < 6 c) on multiplie les deu membres par 1 4 qui est négatif et on obtient > 1 4 6, et finalement > 3 2. Le raisonnement peut être fait dans l'autre sens en multipliant par 4, en ajoutant 5, puis en ajoutant 6 ; on revient alors sur l'inéquation de départ 2 5 < Cette inéquation est donc équivalente à > 3 2, on en déduit que l'ensemble des solutions est [ 3 2 ;+ [. 2- d'une fonction Étudier le sens de variation d'une fonction c'est déterminer les intervalles sur lesquels elle est soit croissante, soit décroissante. a) Fonctions croissantes Une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsqu'elle conserve l'ordre des nombres. Quels que soient les réels a et b de I, si a < b alors f (a) < f (b). Graphiquement, la courbe représentative de f «monte» sur l'intervalle I. La fonction f est croissante sur I. La courbe monte. Lorsque les valeurs de augmentent, les valeurs de f () augmentent aussi : f conserve l'ordre des nombres. KB 2 sur 6

3 b) Fonctions décroissantes Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse l'ordre des nombres. Quels que soient les réels a et b de I, si a < b alors f (a) > f (b). Graphiquement, la courbe représentative de f «descend» sur l'intervalle I. La fonction f est décroissante sur I. La courbe descend. Lorsque les valeurs de augmentent, les valeurs de f () diminuent : f inverse l'ordre des nombres. Un eemple Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par f ()= En regardant la représentation graphique de f fournie par une calculatrice on peut constater que f est une fonction décroissante. Démontrons le. Pour cela considérons deu réels a et b tels que a b et comparons f(a) et f(b). On part de a b. On multiplie par 2, d'où : 2a 2b. On ajoute 5, d'où : 5 2a 5 2b. On multiplie par 1 5 2a, d'où 5 2 b Finalement f(a) f(b). L'ordre des nombres a et b a été inversé, la fonction f est donc décroissante. B. Fonctions de référence 1- Fonctions affines Une fonction f est une fonction affine s'il eiste deu réels a et b tels que pour tout réel, f () = a + b. Elle est définie sur R. Sa représentation graphique est la droite d'équation y = a + b. (le réel a est appelé coefficient directeur de la droite, le réel b est appelé ordonnée à l'origine (image de ) ). Si a =, f est une fonction constante. Pour tout réel, f () = b. La représentation graphique de f est une droite horizontale (parallèle à l'ae des abscisses du repère). Si a, f s'annule pour = b a. On distingue les deu cas suivants : KB 3 sur 6

4 Si a >, f est une fonction croissante. Si a <, f est une fonction décroissante. -b/a -b/a f () f () On considère la fonction affine f définie par f() = a + b et deu réels 1 et 2 tels que 1 < 2. Comparons f( 1 ) et f( 2 ). Si a >. On a 1 < 2, en multipliant par a on obtient a 1 < a 2, et en ajoutant b on trouve a 1 + b < a 2 + b, soit f( 1 ) < f( 2 ) ; l'ordre est conservé, f est donc croissante. Si a <. On a 1 < 2, en multipliant par a on obtient a 1 > a 2 (car a négatif) et en ajoutant b on trouve a 1 + b > a 2 + b, soit f( 1 ) > f( 2 ) ; l'ordre est inversé, f est donc décroissante. 2- Fonction carré Il s'agit de la fonction qui transforme tout réel en ². C'est une fonction paire définie sur R. ² La fonction carrée est décroissante sur ]- ; ] et croissante sur ] ; + ]. est un minimum : un carré est toujours positif. La courbe est une parabole. On considère la fonction f définie par f() = ² et deu réels 1 et 2 tels que 1 < 2. Comparons f( 1 ) et f( 2 ) et pour cela calculons : f( 1 ) f( 2 ) = 1 ² 2 ² = ( )( 1 2 ). On sait que 1 < 2, donc que 1 2 est négatif. Si 1 et 2 sont positifs, alors est positif, donc ( )( 1 2 ) est négatif, soit f( 1 ) < f( 2 ). f conserve l'ordre sur [ ; + [ donc f est croissante sur [ ; + [. Si 1 et 2 sont négatifs, alors est négatif, donc ( )( 1 2 ) est positif, soit f( 1 ) > f( 2 ). f inverse l'ordre sur ]- ; ] donc f est croissante sur ]- ; ]. 3- Fonction inverse Il s'agit de la fonction qui transforme tout réel non nul en 1. Son ensemble de définition est R* (on ne peut pas diviser par ). C'est une fonction impaire. KB 4 sur 6

5 1/ La fonction inverse est décroissante sur ]- ; [ et sur ] ; + [. La courbe est une hyperbole. On considère la fonction f définie par f() = 1/ et deu réels non nuls 1 et 2 tels que 1 < 2. Comparons f( 1 ) et f( 2 ) et pour cela calculons : f( 1 ) f( 2 ) = = Comme 1 < 2, on sait que 2 1 est positif. Si 1 et 2 ont le même signe, alors 1 2 est positif aussi, donc f( 1 ) f( 2 ) est positif. Ainsi, si 1 et 2 sont dans ]- ; [ ou dans ] ; + [ on a f( 1 ) > f( 2 ), l'ordre est inversé donc f est décroissante sur ]- ; [ et sur ] ; + [. 4- Fonction racine carrée Il s'agit de la fonction qui transforme tout réel positif en. Son ensemble de définition est R + = [; + [. est le réel positif dont le carré est égal à. La courbe est une demi-parabole. On considère la fonction f définie par f() = et deu réels positifs 1 et 2 tels que 1 < 2. Comparons f( 1 ) et f( 2 ) et pour cela calculons : KB 5 sur 6

6 f( 1 ) f( 2 ) = 1 2 = ( 1 2 )( ) = Comme 1 < 2, on sait que 1 2 est négatif. D'autre part est positif. On a donc f( 1 ) f( 2 ) négatif, soit f( 1 ) < f( 2 ). f conserve l'ordre sur [ ; + [ donc f est croissante sur [ ; + [. 5- Fonction valeur absolue. Il s'agit de la fonction qui transforme tout réel en. C'est une fonction paire définie sur R. Si, = ; si <, =. La courbe est formée de deu demi-droites issues des droites d'équation y = et y =. Sur [ ; + [ la fonction valeur absolue coïncide avec la fonction affine f 1 définie par f 1 () = qui est croissante et sur ]- ; ] elle coïncide avec la fonction affine f 2 définie par f 2 () = - qui est décroissante. KB 6 sur 6