En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x.

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1 I. Propriétés algébriques La fonction logarithme néperien est dérivable et strictement croissante de R + sur R. Le théorème de la bijection, qu on abordera au chapitre 7, permet de prouver l existence de sa bijection réciproque : Théorème (Définition de l exponentielle Il existe une unique fonction dérivable de R sur R +, appelée exponentielle et notée exp, vérifiant les propriétés suivantes : y R +, exp(ln(y = y et x R, ln(exp(x = x. Remarque (Interprétation Cette propriété entraîne l équivalence suivante : y = exp(x x = ln(y. Par exemple : ln = 0 donc exp(0 = ; ln e = donc exp( = e. L équivalence précédente permet plus généralement de résoudre des équations. Exercice 2 (Exponentielle et puissance. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, exp(n = e n. 2. Montrer que la relation reste valable lorsque n est un entier relatif quelconque. ( 3. Soit un entier q >. Montrer que : exp = e q. On pourra utiliser le fait que la somme de q termes égaux à /q vaut. 4. Soit p un entier naturel. En utilisant la somme de p termes égaux à /q montrer que exp Remarque 2 (La notation puissance L exercice précédent permet de prouver que, pour tout nombre rationnel r, exp(r = e r. q ( p = e p q. q La fonction exp étant la seule fonction continue sur R vérifiant cette propriété, on est amené à la proplonger en posant : pour tout nombre réel x, exp(x =. En particulier : x, y R, +y = e y et e x =. Exercice 3 (Équations avec produits d exponentielles Résoudre dans R : e 3 x = [exp(] 2 ; exp(5 x e x 2 + = e. Voir aussi l exercice. Exercice (Application directe : résolution d équations ( x Résoudre dans R : exp(3x = exp(x 2 ; exp(+x 2 = 0 ; exp =. II. Étude de la fonction exponentielle Corollaire 2 (Propriétés algébriques Soient n Z et x, y R. Alors : exp(0 = exp(x + y = exp(x exp(y exp( x = exp(x y = exp(x exp(x exp(y exp(n x = (exp(x n exp(x/n = (exp(x /n (si n 0. Voir l exercice 4 pour la démonstration. Comme ln est définie sur ]0; + [, sa réciproque exp est donc à valeurs dans ]0; + [ : Proposition 3 (Signe La fonction exp est strictement positive : x R, > 0. Remarque 3 (Interprétation La courbe C exp de exp dans un repère (O, i, j est toujours au-dessus de l axe (Ox, sans jamais le rencontrer. Hypokhâgne B/L 200/20 /6 Lycée Félix Éboué, le 8/0/0

2 Le théorème permet aussi d obtenir la dérivée de exp : Proposition 4 (Formules de dérivation La fonction exponentielle est dérivable sur R et exp = exp. Soit u une fonction réelle dérivable sur un intervalle I. La fonction (exp u = e u est dérivable sur I et (e u = u e u. Voir l exercice 5 pour la démonstration. Exercice 4 (Études de variations Pour chacune des fonctions suivantes, Calculer la dérivée puis étudier son signe ; Dresser le tableau de variation Déterminer une équation réduite de la tangente à la courbe au point d abscisse 0. f : x exp( 3 x ; g : x 5 exp( x 2 ; h : x 2 exp( x. Comme exp = exp > 0 sur R, on en déduit : Corollaire 5 (Variations La fonction exp est strictement croissante sur R. Remarque 4 (Interprétation La fonction exponentielle conserve l ordre au sens strict : (a, b R 2, ( a < b exp(a < exp(b. Conséquence : a = b exp(a = exp(b. Cas particuliers : exp(x = > x = > 0. Exercice 5 (Applications directes : inéquations Résoudre dans R : exp(3x > exp(x 2 ; exp( + x 2 > 0 ; exp Voir l exercice 3 pour une synthèse des études de signes avec exp/ln. ( x >. III. Limites Proposition 6 (Taux d accroissement en 0 L égalité exp (0 = se ré-écrit lim =. x 0 x Remarque 5 (Tangente remarquable La tangente à C exp au point d abscisse 0 est la droite d équation y =. La courbe C exp est toujours au-dessus de cette tangente : x > 0, (avec égalité si, et seulement si, x = 0. Voir l exercice 6 pour la démonstration. Le résultat suivant sera démontré au chapitre 4, à l aide des suites géométriques. Hypokhâgne B/L 200/20 2/6 Lycée Félix Éboué, le 8/0/0

3 Théorème 7 (Limites aux bornes et croissances comparées IV. Exponentielle de base a La fonction exponentielle vérifie lim ex = + et lim x ex = 0. L axe des abscisses est donc asymptôte à C exp en. Soit n N. Alors lim = + et lim xn x xn = 0. Plus généralement, pour toute fonction polynôme non nulle P, lim P(x = + et lim x P(xex = 0. Remarque 6 (Notations de Landau On peut donc écrir n = o (ex ou x n << (xn. ( De même : <<. x x n Remarque 7 (Autres limites Les limites lim = 0 et lim x xn xn = + s obtiennent simplement par opérations sur les limites. Exercice 6 (Asymptotes Déterminer les asymptotes des fonctions suivantes : En + : En : a(x = x2 + c(x = x2 + x ln x a(x = x2 + c(x = xe e b(x = ex e x + e x d(x = xe e. b(x = ex e x + e x d(x = ln( + e x L exercice précédent est un bon test sur les connaissances à maitriser sur les fonctions ln et exp. Exercice 7 Première partie : approche Soit k un réel. On considère l application Φ k : { R R x e k x.. Vérifier que Φ k vérifie les propriétés du corrollaire 2 et de la proposition Montrer que, sur R, Φ k = k Φ k. 3. Dresser le tableau de variation de Φ k dans les cas k > 0, k < 0 et k = Soient l un second réel. Seconde partie Φ (a Montrer que : Φ k Φ l = Φ k+l et k Φ l = Φ k l. En déduire les limites aux bornes de ces deux fonctions. (b On suppose que k > l. Étudier les positions relatives des courbes de Φ k et de Φ l. On pose a = e k (élément de ]0, + [.. Justifier que, pour tout x R, Φ k (x = ln a. Ce réel est appelé exponentielle { de base a du nombr et est noté exp a (x. R R L application exp a : x ln a est appelée fonction exponentielle de base a. 2. À l aide de la première partie : Donner le signe de exp a (x. Montrer que, sur R, exp a = ln(a exp a. Dresser le tableau de variation de exp a dans les cas a > 0, a = et a ]0, [. 3. Soient b un second réel strictement positif. Φ (a Montrer que : exp a exp b = exp a b et a Φ b = Φ a/b. En déduire les limites aux bornes de ces deux fonctions. (b On suppose que a > b > 0. Étudier les positions relatives des courbes de exp a et de exp b. Hypokhâgne B/L 200/20 3/6 Lycée Félix Éboué, le 8/0/0

4 Travaux dirigés. Applications du cours Exercice (Calcul algébrique Simplifier les expressions suivantes, lorsque c est possible : A = ln e 3x + ln e 2 B = e 3 ln x ln x2 e C = exp(x2 D = exp(x 2 + ( 2 e 2x E = ln(2x [ ( ] 2 F = exp ln(x 2 ln (x2 G = (ln x 2 ln(x 2. Exercice 2 (Dérivation Dériver les expressions suivantes, puis étudier le signe de la dérivée : a(x = ln( + e x b(x = x 2 ln ( + e /x2 c(x = ln(e 2x d(x = ( x f(x = ln(x + x 2 + g(x = exp(4x 3 3x h(x = e 3+x4 k(x = e 2x ln x ( l(x = 3e3x + 2 m(x = + x exp. e x Exercice 3 (Ensemble de définition Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions ci-dessous : f : x e3x 2 /2 4 ; g : x ln(x2 4x + 3 e Démonstrations de cours Exercice 4 (Propriétés algébriques Corollaire 2 Soient x, y deux réels. On pose X = exp(x et Y = exp(y.. On veut montrer que : exp(x exp(y = exp(x + y. (a Montrer que : ln (exp(x exp(y = x + y. (b Conclure en composant cette relation par exp. 2. En posant y = x, montrer que exp( x = exp(x. 3. En écrivant x y = x + ( y, montrer que exp(x y = exp(x exp(y. Exercice 5 (Propriétés algébriques Proprosition 4. Justifier à l aide du cours que, pour tout réel x, ln(exp(x = x. 2. En utilisant la dérivée logarithmique (Cf. thème 3B, I, déduire que exp (x = ; puis conclure. exp x Exercice 6 (Tangente au point d abscisse 0 On considère la fonction f définie sur R par : f(x = exp(x (.. Dresser le tableau de variation de f (sans les limites. 2. En déduire le signe de f(x en fonction d R. 3. Etudier la position relative de Γ et de T. 3. Équations, inéquations Exercice 7 (Inéquations simples Résoudre dans R les inéquations suivantes : (I ln(x > 0 (I < 0 (I 3 ln(x < ln(2x + 3 (I 4 e (2x e 4x+5 0 (I 5 (ln x 2 2 ln x (I 6 exp((x 4 (2 x e (I 7 ln ( x > (I 8 ln ( 2 x Exercice 8 (Changement de variable compréhension. Résoudre dans R l équation x 2 4x 5 = En déduire la résolution des problèmes suivants : ln(4x 0. Hypokhâgne B/L 200/20 4/6 Lycée Félix Éboué, le 8/0/0

5 (a les systèmes d inconnue (x, y R 2 : { ln x + ln y = 5 ln x ln y = 4 (b les équations d inconnu R : et + e y = 7 2 +y = 5 2. (E a (ln x 2 4(ln x 5 = 0 ; (E b e 2x 4 5 = 0. Exercice 9 (Équations Entrainement À l aide des méthodes abordées dans l exercice précédent, résoudre les problèmes suivants : (E + e x = 2 (E 2 (ln x ln x + 2 = 0 (E 3 e 2x e 4 = 0 (E 4 e 3x e 2x (e (e 2x = Limites Exercice 2 (Croissances comparées En factorisant par les termes prépondérant, calculer les limites suivantes : A = lim ex x B = lim x ex x 4 C = lim E = lim e x x D = lim x x F = lim e2x x 2 G = lim x e2x+ x 5 H = lim x 2 I = lim J = lim x xe 2x K = lim x + x 2 ln(x ln(x 2 + ln(x 2 O = lim x3 2 x + P = lim x 2 x 3 + e 3x x ln(x L = lim exp(x2 e 3x + x Exercice 0 (Apdapation aux inéquations S inspirer des méthodes abordées dans les exercices précédents pour résoudre les problèmes suivants : (J e 2 x (J 2 2e 2x > 0 (J 3 e 2x < 0 (J 4 e 2x e 2 (J 5 6e x (J 6 (ln x ln x. Exercice (Famille d équations Soit k un réel strictement positif. Discuter suivant les valeurs de k le nombre de solutions réelles de l équation (E k e 2x = k. Montrer de même que : x 0, + x. 5. Études de fonctions Exercice 3 (Montrer un inégalité par l étude d une fonction En étudiant une fonction adéquat, prouver les assertions suivantes : (A x 0, + x + x + x2 ] 2. (A 2 x 0, [, < x ln x < 0. e e (A 3 x, ln x x (A 4 x (A 5 x 0, ] 0, e [, x ln ( x + x + x2 2 < e Hypokhâgne B/L 200/20 5/6 Lycée Félix Éboué, le 8/0/0

6 Exercice 4 (application du TVI Déterminer le nombre de solution des équations suivantes sur l intervalle I : x 2004 x 2003 = sur I = [, ] ln x = x2 5 sur I = [, 0] x + 2 3x = + ln(2 + x 2 sur I = [0, ] = 2 + x sur I = [ln 2, 2 ln 2]. Exercice 5 (Encadrement d une solution. Montrer que l équation 3 2x = possède une unique solution α dans R. 2. Vérifier que 0 α. A-t-on 2 Problème (Etude d une fonction On considère la fonction f définie sur R par : f(x = 2 α? ( x + ( x e 2 x. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j d unité graphique 2cm.. (a Déterminer les limites de f en + et. (b Montrer que la droite d équation y = x 2 est (c asymptote à C. Étudier la position de C par rapport à. 2. Justifier que f est dérivable sur R ; puis calculer f (x. 3. Soit u la fonction définie sur R par : u(x = + ( 2 e 2 x. (a Étudier le sens de variation de u. (b Montrer que l équation u(x = 0 possède une unique solution α. Justifier ensuite que α [0; ]. (c Montrer que e 2 α = 2 α. Indication : on pourra utiliser la relation f (α = 0. (d En déduire que : f(α = 2 α2 2 ( 2 α. Donner ensuite un encadrement de f(α. (e Déterminer le signe u(x suivant les valeurs d. 4. Étudier le sens de variation de f ; puis dresser son tableau de variation (en utilsant le réel α. 5. Tracer puis C dans (O, i, j. On placera les éventuelles tangentes parallèles à (Ox Problème 2 (Etude de fonctions Partie A : Etude d une fonction auxiliaire Soit la fonction g définie sur R par : g(x = 2 x 2. On note C g (O, i, j. la courbe représentative de g dans un repère orthonormal du plan. (a Calculer la limite de g en + et en. (b Montrer que la droite d équation y = x + 2 est asymptote à la courbe C g. (c Étudier les positions relatives de par rapport à C g. 2. Dresser le tableau de variation de g. 3. (a Démontrer que l équation g(x = 0 admet exactement deux solutions réelles. (b Vérifier que 0 est l une de ces solutions. L autre solution est appelée α. Justifier que :, 6 α, 5. (c Déterminer le signe de g(x suivant les valeurs d. Partie B : Etude de la fonction principale On considère la fonction f définie sur R par : f(x = e 2 x (.. Calculer la limite de f en + et en. 2. Calculer f (x et démontrer que f (x et g(x ont le même signe. 3. Montrer que : f(α = α2 + 2 α (α défini dans la partie A En déduire une valeur approchée de f(α. 5. Étudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation. 6. Tracer la courbe C dans (O, i, j (unité graphique : 2cm. Hypokhâgne B/L 200/20 6/6 Lycée Félix Éboué, le 8/0/0