Devoir Surveillé /Evaluation

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Devoir Surveillé /Evaluation"

Transcription

1 Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Devoir Surveillé /Evaluation Le 4 septembre 4 Documents écrits, électroniques, calculatrices et téléphones portables interdits La plus grande attention sera apportée à la qualité de la rédaction, syntaxe et orthographe comprise Changez de copie quand vous changez de problème, numérotez les copies, les questions et soulignez les résultats Exercice Calcul de l intégrale de GAUSS On note f la fonction définie sur R par exp( s ) ds = e s ds Etude de la fonction f a Montrer que f est une fonction impaire de classe C sur R et déterminer son sens de variation b Montrer que pour tout x, e x e x et f(x) f() e e x c En déduire que f est majorée sur R et montrer que f admet une limite finie en + Limite que l on notera et que l on ne cherchera pas à calculer a Justifier que f est de classe C sur R Pour un entier naturel non nul n, on note f (n) la dérivée n-ième de f Montrer, en raisonnant par récurrence, que pour chaque n N, il existe une fonction polynômiale p n telle que x R, f (n) (x) = p n (x)e x b Donner la parité de p n Soit n, p deux entiers naturels, n p + c Donner le développement limité de s e s en à l ordre p d En déduire le développement limité de f en à l ordre p + et une expression explicite de p n () en fonction de n (On distinguera suivant que n est pair ou impair) 3 Intégrales de WALLIS Pour un entier naturel n, on pose W n = cos n (x) dx 3a Calculer W et W 3b Montrer que (W n ) n est une suite décroissante positive 3c (Astucieux) Montrer que pour tout entier n, (n + )W n+ = (n + )W n Indication:Ecrire cos n+ (x) = cos n (x)( sin (x)) et, en intégrant par parties, exprimer l intégrale cosn (x) sin(x) sin(x) dx en fonction de W n+ 3d En déduire que la suite ((n + )W n+ W n ) n N est constante égale à π 3e Justifier la famille d inégalités n N, nwn π (n + )W n et en conclure que lorsque n +, W n π n 4 Calcul de 4a Montrer que pour tout réel u, on a e u + u { ( u) n e nu si u 4b Soit n un entier naturel non nul Montrer que e nu (+u) si u n 4c En déduire que pour tout entier n non nul, d une part, ( t ) n dt e nt dt = n f( n), 4d et d autre part n f( n) = e nt dt dt (+t ) n 4e Montrer, en mettant correctement en place le changement de variable t = sin x, que nw n+ f( n) 4f Montrer, en mettant correctement en place le changement de variable t = tan x, que dt (+t ) = n 4 (cos x)n dx et que nwn f( n) 4g Déterminer les limites de ( nw n ) n N et ( nw n+ ) n N et conclure quant à la valeur de

2 Sous réserve d existence, on pose, pour un nombre réel x, Exercice Etude d une fonction définie par une intégrale x + cos t dt et g(x) = ln (x + + x ) ; Montrer que g est définie sur R et de classe C sur R Calculer g On définit les fonctions sh et ch par : x R, sh(x) = ex e x et ch(x) = ex + e x a Montrer que : x R, ch x sh x = b Montrer que sh réalise une bijection de R sur R et que sa fonction réciproque sh est dérivable sur R Déterminer ( sh ) c Montrer que g = sh 3 Etude de f 3a Quel est le domaine de définition de f? 3b Quel est son sens de variation? 3c On rappelle que + cos t = cos ( t ) Calculer f() 3d Encadrer x + cos t, pour x > et t [, π], par deux quantités indépendantes de t En déduire un équivalent simple de f en + Quelle est la limite de f en +? 4 Etude de f au voisinage de x = 4a Soit h un réel strictement positif Effectuer le changement de variable u = h cos ( t ) pour exprimer l intégrale I (h) = sin ( ) t h + cos ( t à l aide de la fonction g Quelle est la limite de I(h) lorsque h +? 4b Justifier l inégalité x + cos t + cos t x >, t [, π], x + cos t x 4c Déduire des deux questions précédentes la valeur de la limite lorsque x tend vers + de f(x) f() x Indication:Poser x = + h, utiliser l inégalité sin (t/) Quelle est la signification géométrique de ce résultat? ) dt

3 Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Correction DS Correction Ex On note f la fonction définie sur R par exp( s ) ds = e s ds Etude de la fonction f a f est la primitive s annulant en de la fonction paire φ : s e s, continue sur R C est donc une fonction de classe C sur R et, pour tout x R, f (x) = e x La fonction f est donc strictement positive ( f (x) est l exponentielle d un nombre réel et f est donc strictement croissante sur R b Soit x R, x, on a alors successivement x x x x e x e x croissance de exp Si x, on a donc que pour tout s [, x], e s e s et donc, par croissance de l intégrale ie, après calculs, c On a donc, pour x [, + [, e s ds e s ds f(x) f() e e x f(x) f() + e e x f() + e Comme f est croissante, cette inégalité est vraie pour tout x R, ce qui montre que f est majorée (remarquer que le membre de droite ne dépend pas de x) f est donc croissante et majorée, elle admet une limite finie en + par le théorème de la limite monotone On note cette limite = lim x + e s ds a Comme s s est C sur R (c est une fonction polynomiale) et que exp est C, la composée, qui n est autre que φ est de classe C sur R En posant x R, p (x) =, p est polynomiale et Posons, pour n N, la proposition x R, f () (x) = φ(x) = p (x)e x H n : x R, f (n) (x) = p n (x)e x où p n est une certaine fonction polynomiale On vient de vérifier que H est vraie Supposons H n vraie pour un certain n N, par dérivation de produit et de composé, on a où on a posé, pour x R, x R, f (n+) (x) = p n (x)( x)e x + p n(x)e x = p n+ (x)e x p n+ (x) = p n (x)( x) + p n(x) p n étant polynômiale, il est clair que l expression définissant p n+ montrer que p n+ est polynomiale On a donc montré que H n+ est vraie

4 Par récurrence, n N, H n est vraie b f (n) est impaire si n est pair, paire si n est impair Ceci est du au fait que la dérivée d une fonction paire est impaire et la dérivée d une fonction impaire est paire Comme p n = f (n) φ et que la fonction φ est paire, p n est impaire si n est pair, paire si n est impair Soit n, p deux entiers naturels, n p + c On a e s = s + ( s ) + + ( s ) p + o ( s p)! p! p ( ) k = s k + o ( s p) k! k= d Et, donc, par intégration des développements limités, En déduire le développement limité de f en à l ordre p + et une expression explicite de p n () en fonction de n (On distinguera suivant que n est pair ou impair) = f() + e s ds p k= ( ) k k!(k + ) xk+ + o ( x p+) On a par ailleurs f() = et, par la formule de TAYLOR YOUNG, comme f (n) () = p n (), que p+ n= p n () x n + o ( x p+) n! On en déduit, par unicité des DL que, pour n pair, p n () = et que pour n impair, n = k +, pn() n! = ( )k k!(k+), ie 3 Intégrales de WALLIS Pour un entier naturel n, on pose 3a On a 3b Soit n N Pour x [, π ], on a W = W = p k+ () = ( ) k (k)! k! W n = car cos x et donc, par croissance de l intégrale, et donc dx = π cos n (x) dx cos(x) dx = [sin x] π = cos n+ x cos n x cos n+ x dx = W n+ W n+ W n Comme n est quelconque, (W n ) n est une suite décroissante positive 3c On a W n+ = = = W n cos n+ x dx = cos n x( sin x) dx cos n x dx = W n cos n x cos x dx cos n x sin x sin x dx

5 Dans la dernière intégrale, on a cos n x sin x = d d n + dx (cosn+ x) et (sin x) = cos x dx Sachant que les fonctions x cos n+ x et x sin x sont de classe C sur [ ], π, la formule d intégration par parties s applique pour donner [ cos n x sin x sin x dx = ] π n + cosn+ x sin x + cos n+ x dx n + = + n + W n+ On a donc W n+ = W n n+ W n+ et, en multipliant par n + et en passant les W n+ du même côté, on obtient que 3d Pour n N, posons l hypothèse de récurrence (n + )W n+ = (n + )W n H n : (n + )W n W n+ = π On a déjà démontré H en 3a Soit n N, supposons que H n est vrai Comme on a (n + )W n+ = (n + )W n, en multipliant par W n+ chaque membre, on obtient (n + )W n+ W n+ = (n + )W n W n+ = π et ceci montre que H n+ est vraie Par récurrence, on a donc n N, (n + )W n W n+ = π 3e Soit n N On a W n+ W n par décroissance de la suite W En multipliant par (n + )W n (qui est, on obtient (n + )W n+ W n (n + )W n Comme le terme central vaut π, on a donc une inégalité cherchée De même, si n, on a W n W n et en multipliant par nw n, on obtient nw n nw n W n = π En remarquant que cette inégalité est aussi vraie (trivialement) pour n =, on a en résumé, n N, nw n π (n + )W n En réécrivant ceci, puis en passant à la racine carré, on a, pour n, n n + n π W n n n + W n π Les deux termes extrèmes tendent vers et le théorème des «gendarmes»implique que Wn π n n, ce qui est exactement W n n + π n 4 Calcul de 4a Posons, pour u R, g(u) = e u ( + u) La fonction g ainsi définie est de classse C sur R et vérifie u R, g (u) = e u, g (u) = e u On connait le signe de e u suivant les valeurs de u (e u < pour u >, e u > pour u > et vaut pour u = On en déduit le tableau de variations de g et le fait que g est décroissante strictement sur ], ], croissante strictement sur [, + [ g admet donc un minimum strict en et celui ci vaut g() = En conclusion 4b Soit n un entier naturel non nul u R, + u e u

6 Si u, on a, en appliquant l inégalité de la question précédente pour u u que u e u On peut prendre la puissance n de cette inégalité de nombres positifs pour obtenir ( u) n e nu Si u, on a < + u e u On peut «prendre l inverse»pour obtenir < e u +u (la fonction x x est strictement décroissante sur ], + [) On peut prendre la puissance n de cette inégalité de nombres positifs pour obtenir e nu ( + u) n 4c Soit n N, par le changement de variable linéaire bijectif, s = nt, ds = ndt, t =, s = n/t =,s =, on a e nt dt = n n e s ds = n f( n) En prenant u = t dans la première des inégalités précédentes, on a que pour tout t [, ], u = t et En intégrant, par croissance de l intégrale, ( t ) n dt ( t ) n e nt e nt = n f( n) 4d De même, en prenant u = t dans la première des inégalités précédentes, on a que pour tout t [, ], u = t et En intégrant, par croissance de l intégrale, ( + t ) n e nt e nt = f( n) n ( + t ) n dt 4e Effectuons le changement de variable t = sin x dans l intégrale, on a dt = cos x dx, lorsque x =, t =, lorsque x = π, t = et donc, comme x t = cos x est C sur [, π ], à image dans [, ] et que t ( t ) n est C sur [, ], ( sin x) n cos x dx = ( t ) n dt ie, en utilisant sin x = cos x, On a donc, en utilisant l inégalité de 4c ( t ) n dt = W n+ nwn+ f( n) 4f Sur le même modèle, effectuons le changement de variable t = tan x dans l autre intégrale, on a dt = ( + tan x) dx =, lorsque x =, t =, lorsque x = π 4, t = et donc, comme x t = tan x est C sur [, π 4 ], à image dans [, ] et que t ( + t ) n est C sur [, ], 4 ( + tan x) n ( + tan x) dx = ( + t ) n dt Sachant que ( + tan x) = cos x, on a donc 4 (cos x) n dx = ( + t ) n dt Comme dans l intégrale de droite, l intégrande est positive et que π π 4, on a nwn f( n)

7 4g On a, lorsque n +, nwn π π n (n ) et de même pour nw n+ On en déduit que ( nw n ) n N et ( nw n+ ) n N ont pour limite commune π et, par le théorème des gendarmes, ceci est aussi la limite de f( n) lorsque n + Comme est la limite de f(x) lorsque x +, est aussi la limite de f( n) lorsque n + et donc, par unicité de la limite, π = En résumé, avec le vocabulaire des intégrales généralisées, on a démontré que et donc que Ce qui est un résultat à retenir!!! + + e s ds = π et π e s ds = + e t Correction Ex Sous réserve d existence, on pose, pour un nombre réel x, dt = π x + cos t dt et g(x) = ln (x + + x ) Appliquons les théorèmes de stabilité par composition pour la classe C x + x = t est de classe C sur R car c est une fonction polynomiale, elle est à valeurs dans [, + [ ], + [ car x et donc + x Comme t t est de classe C sur ], + [, alors x t = + x est bien définie, de classe C sur R Comme x x est de classe C sur R, par somme h : x x + + x est de classe C sur R On a x R, h (x) = + x + x = x + + x + x Pour x, il est clair que h(x) > (somme de deux termes positifs dont l un l est strictement Pour x <, on a + x > x = x par stricte coirssance de et donc x + + x > Au total, h > sur R, ieh est à valeurs dans ], [ Comme g(x) = ln h(x) et que ln est C sur ], [, on a alors que g est définie et C sur R On a par ailleurs, x R, g (x) = h (x) h(x) = + x On définit les fonctions sh et ch par : a Soit x R, on a, x R, sh(x) = ex e x et ch(x) = ex + e x ch (x) = 4 (ex + e x ) = 4 (ex + + e x sh (x) = 4 (ex e x ) = 4 (ex + e x ch x sh x = b Comme x e x et x e x sont de classe C alors, par somme, différence et multiplication par un scalaire, ch et sh sont de classe C sur R avec, pour x R, ch (x) = (ex e x ) = sh(x) sh (x) = (ex ( e x )) = ch(x)

8 Il est clair que ch(x) > comme somme de deux nombres positifs (les exponentielles) et donc sh est strictement croissante sur R Comme par ailleurs lim x + ex = + et lim x + e x = on a lim sh(x) = + et lim x + sh(x) = x DU théorème de la bijection, on déduit que sh réalise une bijection de R = ], + [ sur lui-même Comme sh = ch ne s annule pas sur R, La réciproque sh est elle même de classe C sur R avec, pour y R, en posant y = sh(x), x = sh (y), (sh ) (y) = sh (x) = ch x = + sh x = + y c On en déduit que g et sh ont même dérivée sur R, R étant un intervalle, cela signifie que ces deux fonctions diffèrent d une constante et, comme sh() =, sh () = = g() Au final, g = sh 3 Etude de f 3a La question du domaine de définition de f se ramène à la question suivante : pour quelles valeurs de x R, l expression π x + cos t dt est-elle une intégrale bien définie? Pour que cette intégrale soit bien définie, il suffit que l intégrande, fonction de t [, π] soit continue sur cet intervalle Le domaine de définition de t x + cos t dépend de x Si x <, comme cos t décrit [, +] lorsque t décrit [, π], il existe un intervalle I contenu dans ce dernier intervalle sur lequel x + cos t < L intégrande n est donc pas définie sur cet intervalle et l intégrale n a pas de sens et x n est pas dans le domaine de définition de f Si x, alors pour tout t [, π], x + cos t et donc, par composition, la fonction t x + cos t est définie et continue sur [, π] L intégrale définissant f a donc un sens et x est dans le domaine de définition de f En résumé, le domaine de définition de f est [, + [ 3b Pour étudier le sens de variation de f, on pourrait dériver mais nous n avons malheureusment pas à notre disposition de théorèmes permettant la dérivation de telles fonctions définies par des intégrales Il faut donc recourir à la définition première de la croissance et utiliser les propriétés de croissance de l intégrale Si x, x [, + [ avec x x, alors, par croissance de la fonction, pour t [, π], x + cos t x + cos t, x + cos t x + cos t, et, par croissance de l intégrale, Ceci montre que f est croissante sur son intervalle de définition 3c On a f() = + cos t dt et donc, par le rappel fait, f() = π x + cos t dt x + cos t dt = f(x ) cos t dt = cos t dt Il faut se débarrasser de la valeur absolue et donc déterminer le signe de cos t suivant les valeurs de t [, π] Pour de tels t, t [ ], π et donc cos t et cos t = cos t On a donc f() = cos t dt = [ sin t ] π = 3d Pour x > et t [, π], x x + cos t x + et donc, après intégration, π x f(x) π x + On a, pour x >, x x f(x) x + π x x et, comme les deux extrémités de cet encadrement ont pour limite lorsque x +, on a En particulier f(x) + lorsque x + f(x) π x ief(x) π x

9 4 Etude de f au voisinage de x = 4a Soit h un réel strictement positif Réécrivons l intégrale I(h) afin de faire apparaitre les éléments du changement de variable (on fit en facteur h au dénominateur Posons u = I (h) = sin ( ) t h ( ) dt + h cos t h cos t, du = h sin t dt, u =, t = π/ u = h, t = pour obtenir que Lorsque h +, h + et donc g( I(h) = h h + u du = g ( ) h ) + (car g(x) + lorsque x + ) et finalement I(h) + 4b Pour x >, on a, en faisant intervenir la quantité conjuguée puis en utilisant le fait que x + cos t + cos t, x + cos t + cos t x = = x (x )( x + cos t + + cos t) ( x + cos t + + cos t) x + cos t 4c On a donc, en posant x = + h, h > destiné à tendre vers +, que x + cos t + cos t x f(x) f() x Comme I(h) + lorsque h +, lorsque x +, sin t pour t [, π] x + cos t sin t en intégrant + h + cos t I(h) f(x) f() x + Ceci indique la présence d une demi-tangente verticale au graphe de f en x = (stricto sensu, il faudrait vérifier aussi que f est continue en + )

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54 Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments () Fonctions réelles : 1 / 54 1 Fonctions logarithmes et exponentielles Le logarithme népérien L exponentielle Logarithmes et exponentielles de base

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année. 6 Dérivation et accroissements

Plus en détail

Fiche méthodologique Fonctions usuelles

Fiche méthodologique Fonctions usuelles Fiche méthodologique Fonctions usuelles BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: = Pelletier Sylvain On liste ici les fonctions à connaître et leur propriétés. Fonction puissance n-ième et racine n-ième { R R Fonction

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites)

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites) Exercices d entrainement pour le chapitre 0 récurrence et suites 0. Énoncés Exercice. Démontrer l inégalité n > n pour tout entier naturel n. Exercice. On définit, pour tout entier n, le n ième nombre

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE. Option Économie

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE. Option Économie AVRIL 22 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie CORRIGÉ DE LA ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Exercice Les symboles Ln et tan représentent respectivement le logarithme népérien

Plus en détail

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉRIVABILITÉ 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée 1.1 Définitions et premières propriétés Définition 1.1 Dérivabilité en un point Soient f : I R une application et a I. On dit que f est dérivable

Plus en détail

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born Devoir de Mathématiques : corrigé Exercice. Résolutions d inéquations (a) Disjonction de cas selon le signe de x. Si x [, ] alors x = x. Dans ce cas : x x

Plus en détail

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2 Université Denis Diderot Paris 7 (03-04) Maths, Agro & Véto Devoir maison Exercice [Sujet Analyse 03] Soit la fonction d une variable réelle f définie sur D = [0,+ [ par f(x) = xe x +x. On appelle Cf la

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : encadrer une intégrale Exercice 2 : donner un encadrement

Plus en détail

FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction.

FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. A 00-0 FONCTIONS USUELLES Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. Exponentielles, logarithmes, puissances. Exponentielle

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité Limites, continuité, dérivabilité (3) () Analyse 1 / 47 Plan 1 Un peu de vocabulaire 2 Limites 3 Opérations sur les limites 4 Relations de comparaison locale, notations de Landau 5 Continuité 6 Fonctions

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle Chapitre 4 Fonction exponentielle Objectifs du chapitre : item références auto évaluation propriétés numériques de la fonction exponentielle propriétés de la fonction exponentielle calculs de ites avec

Plus en détail

Fonctions de référence 1

Fonctions de référence 1 Fonctions de référence Les fonctions sinus et cosinus. Définitions Le plan étant muni d un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir

Plus en détail

Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis

Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Eercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Enoncés Eercice Démonstration du théorème des accroissements finis Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ En appliquant le

Plus en détail

Injectivité, surjectivité, bijectivité des applications. Calculs de dérivées. Études de fonctions

Injectivité, surjectivité, bijectivité des applications. Calculs de dérivées. Études de fonctions MPSI du lcée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 4 septembre 05 FONCTIONS NUMÉRIQUES : GÉNÉRALITÉS Injectivité, surjectivité, bijectivité des applications Exercice : Soit f : R R la fonction

Plus en détail

Représenter graphiquement (sur un même schéma) ces trois ensembles.

Représenter graphiquement (sur un même schéma) ces trois ensembles. PCSI DEVOIR SURVEILLÉ de MATHÉMATIQUES n 4 07/1/001 Durée : 4 heures EXERCICE 1 : Calculatrices interdites Dans le plan complee rapporté au repère orthonormal (O; e 1, e, on définit une transformation

Plus en détail

Limites, continuité et dérivabilité

Limites, continuité et dérivabilité Correction de la Feuille de TD - Analyse 8 9 Limites, continuité et dérivabilité Eercice. Montrer que a = et ( ) =.. Démontrer maintenant ces résultats en utilisant la définition (avec le ε) de la ite.

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Les suites numériques chapitre 4 I Premier regard Définition : suite numérique Une suite numérique est une liste de nombres réels, numérotés généralement par des indices, entiers naturels consécutifs 0,

Plus en détail

Exercices : Fonctions Dérivables

Exercices : Fonctions Dérivables Exercices : Fonctions Dérivables Exercice Déterminez l ensemble de dérivabilité des fonctions suivantes et calculez leur dérivée. ) f : x x 2 + x 2 2) f : x x + cos( x ) 3) f : x arctan( xe x ) 4) f :

Plus en détail

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie Novembre 2 Nouvelle Calédonie Pondichéry Avril 2 Centres étrangers Juin 2 Amérique du nord juin 2 Inde Pondichéry avril 2ds vos annales p 6) Sujets : Novembre 2 Nouvelle Calédonie PARTIE A On considère

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

Mathématique ECS 1 03 Sept Devoir surveillé 1.

Mathématique ECS 1 03 Sept Devoir surveillé 1. Mathématique ECS 0 Sept. 06 Devoir surveillé. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Eo7 Fonctions usuelles Eercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Eercice **I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS CHAPITRE 9 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dans ce chapitre, I désignera systématiquement un intervalle de R non réduit à un point. 1 Développement limité d une fonction au voisinage d un point Définition 9.1 Soient

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Développements limités Relation de prépondérance Si I est un intervalle réel, l ensemble des points adhérents de I, dans R est l ensemble Ī, réunion des points de I et des points de la frontière de I.

Plus en détail

Type bac janvier Corrigé

Type bac janvier Corrigé Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

LES SUITES 3. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Représentation graphique (n ;u n ) 4

LES SUITES 3. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Représentation graphique (n ;u n ) 4 LES SUITES 3 I Généralités 3 1.1 Définitions 3 Exemple : 3 1. Différentes façons de définir une suite 3 a ) Par une formule explicite 3 3 3 b ) Par récurrence 4 ex 4 II Utilisation de la calculatrice Représentation

Plus en détail

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

Un corrigé du problème d'analyse (Vers la formule de Stirling)

Un corrigé du problème d'analyse (Vers la formule de Stirling) EB : Contrôle continu de l'ue EFM3 épreuve de h3 Un corrigé du problème d'analyse Vers la formule de Stirling). Intégrales de Wallis. On a trivialement W dθ et W cosθ)dθ [sin θ. W, W. Soit n N. On a W

Plus en détail

Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries Numériques

Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries Numériques Ecole Polytechnique, 009-00 EV- Mathématiques Appliquées Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements ités, Équivalents, Séries Numériques Fonctions usuelles. Quelques rappels Théorème. (Fonctions

Plus en détail

Exercices : Étude de fonctions

Exercices : Étude de fonctions Eercices : Étude de fonctions Eercice : Calculer les limites suivantes : (. lim 3 2 +(ln) 3 ) 0 + 2. lim 3. lim ln(e +) ln 3 2 + 4. lim 5. lim 6. lim 7. lim e 2 3 2 e 3+ (ln) (e 4 3 ) + e2 ln+ ln+e 8.

Plus en détail

ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N

ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N Lycée Dominique Villars ECE COURS ETUDE des SUITES RECURRENTES On appelle suite récurrente toute suite (u n ) n N telle qu il existe une fonction réelle f : I R telle que : n N, u n+ = f(u n ) On va voir

Plus en détail

Chapitre 9. La fonction exponentielle

Chapitre 9. La fonction exponentielle Chapitre 9. La fonction exponentielle Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du chapitre suivant sur la fonction logarithme népérien. I. Définition de la fonction exponentielle

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MTB - ch3 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un nombre

Plus en détail

Correction du devoir surveillé n o 2

Correction du devoir surveillé n o 2 Correction du devoir surveillé n o EA 5 novembre 06 Questions diverses. ( pt.) Arithmétique : r R, n N, u n+ = u n + r. On a alors u n = u 0 + nr pour tout n N. Géométrique : q R, n N, u n+ = qu n. On

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Définitions et premières propriétés Définition. Développement limité Soient f une fonction définie au voisinage de a R (éventuellement non définie en a) et n N. On dit que f possède

Plus en détail

I. Les fonctions de référence

I. Les fonctions de référence I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,

Plus en détail

I Convergence de la suite (s n ).

I Convergence de la suite (s n ). Université Lyon Capes Externe Math. 7-8 I Convergence de la suite (s n ). I..(a) Pour tout k on a k k k k(k ) >. L application x /x étant décroissante sur ], + [ il en résulte (b) On en déduit pour tout

Plus en détail

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Exercice 1 : Si et sont des réels positifs ou nuls, montrer que Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Déterminer les ensembles suivants, mettre

Plus en détail

SUITES - RECURRENCE - SOMMES

SUITES - RECURRENCE - SOMMES SUITES - RECURRENCE - SOMMES Chapitre 1 I Généralités sur les suites Définition I.1 Une suite réelle est une fonction d une partie A de N dans R. u : A R n u(n) := u n l intervalle de définition peut donc

Plus en détail

Analyse 1 Dérivation, étude de fonctions

Analyse 1 Dérivation, étude de fonctions Lycée Louis-Le-Grand, Paris 0/06 MPSI Mathématiques A Troesch Analyse Dérivation, étude de fonctions Indications ou solutions pour l exercice Factoriser par ϕ i (t)exp(a i t) et étudier la limite en +

Plus en détail

0» u k» 1 et u k» u k+1 :

0» u k» 1 et u k» u k+1 : ESSEC CONCOURS D ADMISSION DE 1998 Option économique Mathématiques II Lundi 27 avril 1998 de 8h à 12h La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualitédelarédaction, la clartéetlaprécision des

Plus en détail

Convergence de suites. Suites récurrentes

Convergence de suites. Suites récurrentes Convergence de suites Les suites dont on donne ci-dessous le terme général sont-elles convergentes? cos n + 3n a) ln n + 2n g) sin n n b) 4n 2 + 5n + 6 2n c) en n h) 2 n ( 1) n n 2 d) sin n e n e) n 1

Plus en détail

Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique.

Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Programme de colle - Semaine 4 Fonctions circulaires. Bijections, fonctions circulaires réciproques. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Démonstrations du

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

Concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes.

Concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. Concours commun 009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. Corrigé Problème (Algèbre et géométrie Partie (Étude de deu applications Nous noterons deg P le degré du polynôme P. Pour tout polynôme

Plus en détail

Orsay IFIPS S2 Mathématiques (M160). Table des matières. 1. Suites numériques.

Orsay IFIPS S2 Mathématiques (M160). Table des matières. 1. Suites numériques. Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Mathématiques (M60). COURS DE MATHÉMATIQUES : SUITES NUMÉRIQUES. Table des matières. Suites numériques... Définition..2. Opérations sur les suites. 3.3. Suites majorées, minorées,

Plus en détail

DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc

DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc DS commun Correction Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 0, I= 0 1 0, J= 1 0 0 3 1 0 0 1 3 1 0 a) Montrer qu il existe deux réels et tels que : A=aI+bJ 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

A. Quelques recettes pour le calcul de développements limités

A. Quelques recettes pour le calcul de développements limités Université de Strasbourg Année 203/204 Licence Maths/Info-Maths/Éco Analyse S A. Quelques recettes pour le calcul de développements limités Soient f une fonction usuelle, I D f un intervalle ouvert et

Plus en détail

Corrigé du bac blanc TS 2008

Corrigé du bac blanc TS 2008 Corrigé du bac blanc TS 008 Exercice Conjectures D après la figure donnée sur le sujet, il semble que : f est strictement croissante sur [ 3; ], la courbe représentative de f est en dessous de l axe x

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES.

RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. 1 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. I) RAPPELS DE COURS : Caractérisation par une relation de récurrence Caractérisation par une formule explicite Représentation graphique sur un axe Suites

Plus en détail

LES SUITES. 1 Dénitions générales

LES SUITES. 1 Dénitions générales LES SUITES Objectifs Connaître les dénitions générales. Savoir calculer une limite. Connaître les théorèmes généraux de convergence. Connaître les notions de suites négligeables et de suites équivalentes.

Plus en détail

Formulaire des fonctions usuelles

Formulaire des fonctions usuelles Université d Orléans Formulaire des fonctions usuelles Licence 1 de Mathématiques Groupe 2 Baptiste Morelle 29/09/2008 Page 1 sur 28 Page 2 sur 28 Table des matières Fonctions particulières... 4 Fonction

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Fonctions usuelles réelles

Fonctions usuelles réelles Fonctions usuelles réelles fonctions polynômes et rationnelles 0. les fonctions polynômes Les polynômes seront étudiés en le détail au chapitre 7. définition 4. : n dit que p est une fonction polynôme

Plus en détail

Chapitre 3. Compléments sur les fonctions numériques

Chapitre 3. Compléments sur les fonctions numériques Capitre 3 Compléments sur les fonctions numériques 24 ) Compléments sur la dérivation - ) Dérivées des fonctions u et u n, n Z Téorème : Si u est une fonction strictement positive, dérivable sur un intervalle

Plus en détail

PSI Sujet de révisions n o 1 Solution Exercice On a χ A (X) =

PSI Sujet de révisions n o 1 Solution Exercice On a χ A (X) = PSI Sujet de révisions n o Solution 5-6 Exercice. On a χ A (X) = X 4 y X x = X(X x) + 4 y = X xx + 4 y; le discriminant associé est = 4(x + y 4). Si >, A possède deux valeurs propres distinctes et est

Plus en détail

Intégrales de Wallis

Intégrales de Wallis Intégrales de Wallis John Wallis, mathématicien anglais, est né en 66 et est mort en 73. Wallis est donc antérieur à Newton. ) Définition. On pose n N, sin n t dt. existe pour tout entier naturel n car

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 04 05 L Économie Cours de M. Desgraupes Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques Séance 0 : Fonctions usuelles

Plus en détail

FONCTIONS USUELLES. 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissances. 1.1 Fonction logarithme et exponentielle

FONCTIONS USUELLES. 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissances. 1.1 Fonction logarithme et exponentielle FONCTIONS USUELLES Fonctions logarithme, eponentielle et puissances. Fonction logarithme et eponentielle Définition. Logarithme La fonction ln est l unique primitive de sur R + s annulant en. Proposition.

Plus en détail

Chapitre 4. Généralités sur les Fonctions-Fonctions Transcendantes

Chapitre 4. Généralités sur les Fonctions-Fonctions Transcendantes I Introduction Les fonctions sont des outils fondamentaux pour décrire le monde réel en langage mathématique Une fonction m en correspondance deux variables, la variable indépendante (ou variable d'entrée,

Plus en détail

CAPES 2007 ( Correction du sujet d analyse )

CAPES 2007 ( Correction du sujet d analyse ) CAPES 7 Correction du sujet d analyse Dernière mise à jour : Mardi 7 Avril 7 Vincent OBATON, lycée Stendhal de Grenoble vincent.obaton@ac-grenoble.fr Avec la correction attentive de Muriel et Nathalie

Plus en détail

Feuilles d exercices n 2 : corrigé

Feuilles d exercices n 2 : corrigé Feuilles d exercices n : corrigé ECE Lycée Carnot 8 septembre Exercice (*). Il faut résoudre l inéquation x x. Le trinome correspondant a pour discriminant = 9+6 = 5, donc admet deux racines réelles x

Plus en détail

1.2 Plan d étude et exemples types.

1.2 Plan d étude et exemples types. Université de Rennes Licence Biologie Mathématiques Année 2008-2009.2 Plan d étude et exemples types..2. But Le but de ce chapitre est d étudier les fonctions comme celles données dans les exemples précédents.

Plus en détail

Exercice n 114 page 128

Exercice n 114 page 128 Jeudi 28 Février 2013 DM de Maths Exercice n 114 page 128 1) a) Voir papier millimétré 1) b) D après la représentation graphique des premiers termes de la suite (u n ), on peut conjecturer qu elle est

Plus en détail

DEVELOPPEMENTS LIMITES

DEVELOPPEMENTS LIMITES DEVELOPPEMENTS LIMITES 1 Définitions Voici quelques notions utiles pour étudier une fonction numérique au voisinage d un point et donc pour aborder les développements limités. 1.1 Voisinage d un point

Plus en détail

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique TS - Maths - D.S. - Correction Spécialités : SVT - Physique Samedi 05 Décembre 05 - h Exercice ( points) Commun à tous les candidats Une usine produit de l eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de

Plus en détail

Corrigé de E3A 2015 PC math 2. Partie I A. sin(x + π) cos(x + π) = sin(x)

Corrigé de E3A 2015 PC math 2. Partie I A. sin(x + π) cos(x + π) = sin(x) Corrigé de E3A 5 PC math Partie I A.. La fonction tan a pour période π puisque tan(x + π) sin(x + π) cos(x + π) sin(x) cos(x) tan(x).. La fonction tan est strictement croissante et impaire sur π, π [ et

Plus en détail

Les fonctions logarithmes

Les fonctions logarithmes DOCUMENT 34 Les fonctions logarithmes. Eistence des fonctions logarithmes.. L aspect algébrique. L idée de transformer les produits de nombres réels en sommes, afin de simplifier les calculs numériques,

Plus en détail

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE CHAPITRE 4 FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE On appelle fonction numérique une application définie sur une partie D de R, à valeurs dans R. 1 Bornes d une fonction Définition 4.1 Soient D R et f : D R. f

Plus en détail

Etude des fonctions usuelles

Etude des fonctions usuelles Etude des fonctions usuelles 1. Introduction Soit f une fonction réelle de la variable réelle, on a vu que ces fonctions sont souvent définies par des formules, c est-à-dire définies par des epressions

Plus en détail

BTS domotique 1 -Équations différentielles

BTS domotique 1 -Équations différentielles BTS domotique -Équations différentielles Premier ordre 4. Déterminer la solution ϕ de l équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale ϕ() =. Exercice BTS (E) : y 2y = xε x où y est une

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales

Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales Terminale S Problème de synthèse n n est un entier naturel, n. On note f n la fonction définie sur I = ] ;+ [ par f n (x) = (ln x)n et C x² n.sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ;

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux.

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux. SESSION CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES Préliminaire - Quand t tend vers, ft) t t t =. Par suite, f est prolongeable par continuité en. f étant d autre part continue / sur ], ], f est intégrable

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

Fonction d une variable réelle

Fonction d une variable réelle Fonction d une variable réelle 1 Fonction d une variable réelle : généralités Définitions Fonctions et opérations Fonctions et ordre Propriétés particulières Monotonie Limites Limites et opérations Limites

Plus en détail

Fonctions numériques : dérivation

Fonctions numériques : dérivation Fonctions numériques : dérivation Table des matières I Notion de tangente à une courbe Soit f une fonction définie sur un intervalle I de courbe représentative C f et soit A un point fixe de C f. Soit

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions Bibliothèque d eercices Énoncés L Feuille n Limites de fonctions Théorie Eercice Démontrer que 0 Soient m, n des entiers positifs + Étudier 0 3 Démontrer que 0 ( + + ) = Eercice = + m m n Montrer que toute

Plus en détail

ou = La solution à retenir étant bien évidemment celle qui est positive.ainsi = 1+ 5

ou = La solution à retenir étant bien évidemment celle qui est positive.ainsi = 1+ 5 Terminale S Correction du Devoir Surveillé n 5 Exercice 1 : Partie A : Le Nombre d Or 1. =1+ 1+1+ 1+ =1+φ. On obtient l équation du second degré φ 1=0 Le discriminant est = 4=1 4 1 1=5 Il y a donc deux

Plus en détail

TD : Fonctions. Université Pierre et Marie Curie Le 29 novembre 2012 http ://www.eleves.ens.fr/home/waldspur/lm110.html.

TD : Fonctions. Université Pierre et Marie Curie Le 29 novembre 2012 http ://www.eleves.ens.fr/home/waldspur/lm110.html. Université Pierre et Marie Curie Le 9 novembre 0 LM0 ttp ://www.eleves.ens.fr/ome/waldspur/lm0.tml TD : Fonctions Corrigé Eercice :. Réécrivons f () en fonction de y : f () ey + y/ f () ey + y y ( + y

Plus en détail

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx.

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx. EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le résultat suivant : Démontrer que lim x + xe x =. e x lim x + x = +. Partie B. Restitution

Plus en détail

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : résoudre une équation de la forme Exercice 2

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

Devoir Surveillé Vendredi 8 Avril

Devoir Surveillé Vendredi 8 Avril Devoir Surveillé Vendredi 8 Avril BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain $\ CC BY: Durée : h Exercice inspiré de Véto 997) 8.5 Dans la savane, les lionnes chassent des gazelles et des zèbres pour le lion.

Plus en détail

Examen de mathématiques 1 Septembre Corrigé de l examen et remarques

Examen de mathématiques 1 Septembre Corrigé de l examen et remarques Université Pierre et Marie Curie DEUG MIAS 1 Examen de mathématiques 1 Septembre 00 Corrigé de l examen et remarques Questions de cours On trouvera bien sûr la réponse et des détails dans le cours, mais

Plus en détail