Tutorats de Mécanique Quantique Fascicule d exercices n 2

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1 1 Département des Sciences de la Matière Magistère de Sciences de la Matière, 1ère année Tutorats de Mécanique Quantique Fascicule d exercices n Exercice I : Soient A, B deux opérateurs hermitiques. A quelle condition ce produit est-il hermitique? Exercice II : On suppose que i et j sont des kets propres d un opérateur hermitique A. À quelle condition peut-on conclure que i + j est aussi un ket propre de A? Exercice III : Projecteurs 1) Montrer qu un projecteur P a = a a est un opérateur hermitique. ( a est un ket normé) ) Montrer que P a = P a. 3) On considère un ket quelconque b. 3.1) Montrer que P a b est un vecteur propre de P a et déterminer la valeur propre correspondante. 3.) Trouver un second vecteur propre de P a et la valeur propre associée. 3.3) Montrer que P a est une observable. Exercice IV : On appelle Φ n les kets propres (non dégénérés) d un opérateur hermitique H et E n les valeurs propres correspondantes ( H est par exemple l opérateur hamiltonien d un système physique). On définit l opérateur U(m, n) = Φ m Φ n. 1) Calculer l adjoint U (m, n) de U(m, n). ) Calculer le commutateur [H, U(m, n)]. 3) Démontrer la relation U(m, n)u (p, q) = δ n,q U(m, p) Exercice V : Soit A un opérateur hermitique dont les valeurs propres, notées a i, sont connues. Donner l expression sur la base propre de A de : i) A ii) L opérateur exp[if(a)] où f(a) est un polynôme en A. (L exponentielle d un opérateur est définie à partir du développement en série de l exponentielle exp(x) = 1+x+x /!+...)

2 Exercice VI : L opérateur hamiltonien d un système à deux états est donné par : H = a( ) où a est un nombre qui a les dimensions d une énergie et 1 et sont deux kets orthonormés. Trouver les énergies propres de ce système et les kets propres correspondants. On pourra utiliser une représentation de l espace des états pour faire le calcul. Exercice VII : On considère un système physique dont l espace des états à 3 dimensions est rapporté à une base ( φ 1, φ, φ 3 ). Dans cette base, l opérateur hamiltonien H du système et un opérateur A sont représentés par : H = ω où ω 0 et a sont des constantes positives. 1) H et A sont-ils hermitiques? Commutent-ils? A = a ) Le système physique est à l instant t = 0 dans l état : ψ = 1 φ φ + 1 φ On mesure l énergie à cet instant. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles probabilités? Calculer H et l écart quadratique moyen H. 3) Le système étant toujours dans l état ψ, on mesure A. Quelle est la valeur de A? Quels résultats peut-on trouver et avec quelles probabilités? Quel est le ket d état du système immédiatement après la mesure? 4) On mesure H et on trouve ω 0, puis on mesure A et on trouve a. Quel est l état du système après ces deux mesures? On mesure à nouveau H. Combien trouve-t-on? Exercice VIII : Soit un système physique dont l espace des états est à 4 dimensions. Soient deux opérateurs agissant dans cet espace et dont les représentations matricielles sont : A = a a a a où a et b sont des constantes réelles. B = 1) A et B sont-ils hermitiques? Commutent-ils? ) Déterminer les valeurs propres de A b 0 0 ib 0 0 ib 0 0 b ) Déterminer les valeurs propres et kets propres de B (sans diagonaliser une matrice 4 4!) 4) Donner les notations de Dirac pour la base commune à A et B. A et B forment-ils un ensemble complet d observables qui commutent (ECOC), c est-à-dire leur base propre commune est-elle déterminée de manière unique?

3 Exercice IX : Une molécule est formée de 6 atomes A 1, A,..., A 6 formant un hexagone régulier. On considère un électron qui peut être localisé sur le n ième atome (n = 1,,..., 6). L état correspondant est alors noté φ n. On se limitera pour les états de l électron à l espace engendré par les φ n, qui sont supposés orthonormés. 1) On définit l opérateur R par les relations : R φ 1 = φ R φ = φ 3... R φ 6 = φ 1 Trouver les valeurs propres et les états propres de R. Montrer que les vecteurs propres de R forment une base orthonormée de l espace des états. ) Lorsqu on néglige la possibilité pour l électron de passer d un site à l autre, son énergie est décrite par l hamiltonien H 0 qui admet pour états propres les états φ n, avec la même valeur propre E 0. On décrit la possibilité pour l électron de sauter d un atome à l autre en ajoutant une perturbation W à l hamiltonien H 0. W est définie par : W ( φ 1 ) = a φ 6 a φ W ( φ ) = a φ 1 a φ 3... W ( φ 6 ) = a φ 5 a φ 1 Montrer que R commute avec l hamiltonien total H = H 0 + W. En déduire les états propres et les valeurs propres de H. Dans les états propres, l électron est-il localisé? Appliquer ces considérations à la molécule de benzène. Exercice X : On appelle opérateur unitaire U un opérateur tel que U U = UU = 1 1) Monter qu un opérateur unitaire conserve le produit scalaire, c est-à-dire que le produit scalaire de U α par U β est égal au produit scalaire de α par β. ) Montrer que les valeurs propres d un opérateur unitaire sont de la forme λ = exp(iθ) où θ est un nombre réel. 3) Montrer que, dans la représentation matricielle d un opérateur unitaire sur une base, la somme des produits des éléments d une colonne i par les conjugués des éléments correspondants d une colonne j est égale à δ ij. 4) Soit { u i } une base orthonormée de l espace des états. On pose v i = U u i. Montrer que les v i forment une base orthonormée de l espace des états. Exercice XI : 1) Soit F (z) une fonction de la variable z, développable en série entière dans un domaine donné : F (z) = f n z n n=0 3

4 4 Par définition, la fonction correspondante de l opérateur A est l opérateur F (A), défini par une série ayant les mêmes coefficients : F (A) = f n A n n=0 1.1) Déterminer les commutateurs [X, F (P X )] et [P X, F (X)]. 1.) Si ψ a est un vecteur propre de A avec la valeur propre a, montrer que ψ a est vecteur propre de F (A) et déterminer la valeur propre correspondante. ) On considère, dans un problème à une dimension, le hamiltonien H d une particule, défini par : H = P X m + V (X) Les vecteurs propres de H sont désignés par φ n, tels que H φ n = E n φ n..1) Montrer que : φ n P X φ n = α φ n X φ n où α est un coefficient qui ne dépend de E n et E n que par l intermédiaire de leur différence. Il est conseillé pour la démonstration de considérer le commutateur [X, H]..) Vérifier que si { φ n } est une base de l espace des états, alors φ n φ n est égal n à l opérateur identité. Cette relation est appelée relation de fermeture de la base..3) En utilisant cette relation de fermeture, déduire l égalité : m n (E n E n ) φ n X φ n = φ n P X φ n 3) Nous allons maintenant établir un équivalent quantique du théorème du viriel. 3.1) Soit A un opérateur quelconque. Montrer que : φ n [A, H] φ n = 0 3.) Calculer en fonction de P X, X et V (X) les commutateurs : [H, P X ], [H, X]et [H, XP X ]. 3.3) Montrer que φ n P X φ n = ) Établir une relation entre : E c = φ n P X m φ n et φ n X. dv dx φ n Relier alors E c à la valeur moyenne de l énergie potentielle dans l état φ n lorsque le potentiel V est de la forme : V (X) = V 0 X k avec k =, 4, 6,... et V 0 > 0

5 Exercice XII : 1) Soient A et B deux opérateurs. Montrer que si λ est un nombre et si [A, [A, B]] = 0 alors : [e λa, B] = λ[a, B]e λa ) Montrer que si [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 on a : e A e B = e A+B+[A,B]/ Pour cela on cherchera une équation différentielle pour la fonction : f(λ) = e λa e λb 3) Calculer e iλb Ae iλb lorsque A et B sont des opérateurs qui vérifient : [A, B] = i Exercice XIII : On considère deux opérateurs hermitiques A et B qui vérifient : [A, B] = i. Pour tout nombre réel λ on définit : S(λ) = e iλb 1) Vérifier que S est unitaire et montrer que [A, S(λ)] = λs(λ). ) On suppose que le spectre de A est l ensemble des nombres réels et que les valeurs propres sont non dégénérées. Soit a un état propre de A : A a = a a, montrer que : S(λ) a = e iφ a + λ où φ est un nombre réel. Comment définir les états propres de A pour que cette phase soit nulle? 3) En supposant la condition précédente réalisée, déterminer la représentation de l opérateur B dans la base des états propres de A. Pour cela, on pourra calculer pour un ket ψ quelconque l élément de matrice a B ψ, en utilisant la fonction d onde ψ(a) définie comme : ψ(a) = a ψ. 4) Application : montrer que si P est l opérateur d impulsion et { r } une base propre de l opérateur position, on a : r P ψ = i ψ( r) où la fonction d onde ψ( r) est définie par : ψ( r) = r ψ Exercice XIV : On cherche à déterminer les composantes de la base { p } dans la base { x }. 1) Rappeler l action de l opérateur P en base { p }. ) En développant sur la base { x } la relation rappelée en 1), déterminer une équation différentielle dont l élément de matrice x p, considéré comme une fonction de x paramétrée par p, est solution. 3) Résoudre cette équation différentielle et normaliser la solution en utilisant la transformée de Fourier de la distribution δ. 5

6 6 4) Déduire du résultat précédent une relation entre les fonctions d onde en base { x } et en base { p }. 5) A la lumière de ces résultats, commenter l aspect spécifiquement quantique des relations d incertitude d Heisenberg. Exercice XV : Forme générale de la relation d incertitude. (Remarque : cet exercice faisait partie de l examen de maths ) Pour deux observables quantiques  et ˆB, on se propose de déduire la relation d incertitude A B 1 ˆB] [Â, (1) où A = ψ  ψ et ( A) = ( 1 A ) (1 est l opérateur identité). A est l incertitude sur l observable A quand le système est dans un état ψ quelconque de l espace des états (on supposera ψ normé). 1) On définit les opérateurs δa ˆ =  1 A et δb ˆ = ˆB 1 B. Vérifier que ce sont des opérateurs hermitiques et que [Â, ˆB] = [ δa, ˆ δb]. ˆ ) Vérifier que ( A) = ˆ δa ψ. 3) On rappelle l inégalité triangulaire a + b a + b et l inégalité de Cauchy-Schwarz α β α β. En déduire la relation d incertitude (1). Exercice XVI : On considère une particule de masse m, à une dimension, dans un puits de potentiel infini : 0 si 0 x a V (x) = + ailleurs Les états stationnaires sont décrits par les fonctions : φ n (x) = ( nπx ) a sin a associées à E n = n π ma 1) A t = 0, la particule est dans l état d énergie E 1 = π ma. 1.1) Quelle est la fonction d onde à l instant t > 0? 1.) Quels sont les résultats possibles d une mesure de l énergie à t? ) À t = 0, la particule est dans l état : ψ(x, 0) = 1 ( sin πx ) 3πx + sin a a a pour 0 x a.1) Quelle est la fonction d onde à l instant t > 0? Quels sont les résultats possibles d une mesure de l énergie à t et avec quelles probabilités?.) On mesure effectivement l énergie à l instant t et on trouve E 3 = 9 π ma. Quel résultat trouvera-t-on lors d une mesure à un instant t 1 > t?

7 7 3) A t = 0, la particule est décrite par : Ax(a x) si 0 x a ψ(x) = 0 ailleurs 3.1) Quelle est la probabilité de trouver l énergie E 1 lors d une mesure à t = 0? 3.) Quelle serait la valeur moyenne des mesures effectuées sur un grand nombre de systèmes identiques, tous dans l état ψ(x)? 4) On suppose que la particule dans le puits se trouve dans l état stationnaire d énergie E n. 4.1) Quelle est la probabilité pour qu une mesure de l impulsion P donne un résultat entre p et p + dp? 4.) En déduire la valeur moyenne de l impulsion dans cet état et l écart quadratique moyen p. 5) Si, à t = 0, la particule est dans l état non stationnaire : ψ(x) = 1 () (φ 1 (x) + φ (x)), Exercice XVII : Oscillateur harmonique. quelle est l évolution dans le temps de la valeur moyenne de l impulsion? Cet exercice propose d effectuer les calculs permettant d établir le spectre d énergie d un oscillateur harmonique d hamiltonien 1) On définit les opérateurs Ĥ = 1 m ˆP x + 1 mω ˆX. () â = â = mω ( ) ˆPx ˆX + i mω mω ( ) ˆPx ˆX i mω (3) (4) Vérifier que â est bien l opérateur adjoint de â et donc que ces deux opérateurs ne sont pas hermitiques. Montrer que [â, â ] = 1 ) On définit l opérateur ˆN = â â. Vérifier que ˆN est hermitique et que l hamiltonien peut s écrire Ĥ = ω ( 1) ˆN +. (5) Si l on note n les valeurs propres de l opérateur ˆN, les valeurs propres de Ĥ s écriront donc E n = ω ( n + 1 ), (6) et les opérateurs ˆN et Ĥ auront les mêmes kets propres. On notera n le ket propre correspondant à la valeur propre n de ˆN.

8 8 A ce niveau, la seule information dont on dispose sur n est qu il est réel puisque l opérateur ˆN est hermitique. On se propose de montrer que n est entier positif ou nul. Il faut d abord établir des résultats intermédiaires. 3) Signification des opérateurs â et â. 4) 3.1) Montrer que [ ˆN, â] = â et [ ˆN, â ] = â (7) 3.) Montrer que les opérateurs â et â permettent de monter ou de descendre dans les valeurs propres de ˆN (ou Ĥ) en transformant un ket propre associé à la valeur propre n en un ket propre associé à la valeur propre n ± 1 ˆN ( â n ) = (n + 1) â n et ˆN(â n ) = (n 1) â n. (8) A chaque opération l énergie de l oscillateur augmente (ou diminue) de la quantité ω. Ainsi ω apparat comme le quantum d énergie que l oscillateur peut gagner ou perdre. 4.1) En calculant n ˆN n et en pensant à l expression de ˆN, montrer que n 0. (9) 4.) Les kets propres de l hamiltonien Ĥ sont non dégénérés (résultat général pour les états localisés d une particule mobile à une dimension). En calculant â n, montrer que â n = n n 1 (10) où n 1 est le ket propre de ˆN associé à la valeur propre n 1. Démontrer de même que â n = n + 1 n + 1. (11) On notera que l obtention de l équation (10) nécessite le choix d un facteur de phase. Un fois que l on a choisi le facteur de phase liant les kets associés aux valeurs propres n aux kets associés aux valeurs propres inférieures d une unité, on ne doit plus faire un choix arbitraire de facteur de phase quand on passe de n à n + 1. Il faut donc établir la relation (11) par calcul direct sans passer par le calcul d une norme. 4.3) On applique l opérateur de descente â de manière itérative à un ket n. Montrer que si n est un nombre entier le processus s arrête au bout d un certain nombre d applications de â alors que si n est non entier on parvient à un résultat en contradiction avec la condition (9). On en déduit donc que n doit être un entier positif ou nul. L état fondamental est donc le ket 0 (attention ce n est pas le ket nul!) et les énergies des états stationnaires de l oscillateur harmonique sont E n = ( n + 1 ) ω avec n = 0, 1,, 3,... (1)

9 9 5) On peut obtenir tous les kets propres de l hamiltonien à partir du ket propre de l état fondamental. Montrer que le ket normé correspondant à l énergie ( n + 1 ) ω est n = 1 n! (â ) n 0. (13) 6) Donner les expressions des éléments matriciels des opérateurs ˆX et ˆP x dans la base n (base propre de l hamiltonien). 7) Fonctions d ondes de l oscillateur harmonique. La résolution directe de l équation de Schrdinger en terme de fonctions d ondes n est pas immédiate car on obtient une équation du second ordre à coefficients non constants (elle est présentée dans le livre de Mécanique Quantique de Cohen-Tannoudji, Diu, Lalo). Il y a une méthode beaucoup plus simple pour obtenir les fonctions d ondes de l oscillateur harmonique. Elle consiste à chercher d abord celle de l état fondamental puis à former les autres par application de l opérateur de montée â. 7.1) L équation donnant le ket propre de l état fondamental est â 0 = 0. (14) Compte tenu de l expression de â en fonction de ˆX et ˆP x, écrire cette équation en terme de fonctions d ondes, c est à dire l équation différentielle donnant la fonction ψ 0 (x), représentation x de 0. C est une équation différentielle du 1er ordre. Montrer que sa solution est ( mω ) ( 1/4 ψ 0 (x) = exp 1 ) mω π x. (15) 7.) On peut obtenir les autres fonctions d onde par action de l opérateur de montée. Montrer par exemple que la fonction d onde du 1er état excité est ψ 1 (x) = [ 4 π ( mω ) ] 3 1/4 ( x exp 1 ) mω x (16) en écrivant en termes de fonction d ondes la relation 1 = â 0. On notera que, tandis que ψ 0 (x) n avait pas de racine et était paire, ψ 1 (x) a une racine et est impaire. On retrouve un résultat général pour les états liés d une particule à une dimension : les fonctions d ondes sont alternativement paires et impaires (l état fondamental étant pair) et le nombre de racines correspond au degré d excitation.

10 10 Exercice XVIII : États quasi-classiques de l oscillateur harmonique. On considère un oscillateur harmonique d hamiltonien : H = 1 m P + 1 mω X. On se propose d étudier les états propres α de l opérateur annihilation a = mω/ [X + ip/(mω)], tels que a α = α α. Question préliminaire : citer un exemple physique pouvant être décrit par cet hamiltonien et une expérience mettant en évidence les propriétés quantiques de cet oscillateur. 1) On décompose α sur la base n des états stationnaires de H, α = c n (α) n. n=0 En utilisant la relation a n = n n 1, montrer que, pour toute valeur de α complexe, il existe une relation de récurrence simple entre les c n (α) permettant de les calculer tous à partir de c o (α). En déduire que tout nombre complexe α est valeur propre de a associée à un état propre α. Calculer les c n (α) correspondants pour que α soit normé. ) Quelle est la probabilité de trouver E n = (n + 1/) ω lors de la mesure de l énergie de l oscillateur s il est dans l état α? Calculer la valeur moyenne de l énergie E, E et l écart quadratique E dans l état α et vérifier que la valeur relative de l énergie est d autant mieux définie que α est grand. A.N. : calculer E et E pour un pendule de longueur 1 m auquel est suspendue une masse de 10 g et dont l amplitude maximale d oscillation est de 10 o. 3) Calculer x, x, p et p dans l état α. Que vaut dans cet état x p? Que pensez-vous de ce résultat? 4) On suppose qu à l instant t o, l oscillateur est dans un état α avec α(t o ) = α o exp(iφ). Montrer qu à un instant ultérieur t, il est dans un autre état propre de l opérateur a, α(t), et donner la valeur de α(t). 5) Que valent, à l instant t, x, x, p et p? Exprimer les résultats en fonction du nombre N de quanta excités dans l état α. Pourquoi, d après vous, appelle-t-on les états α, pour α 1, états quasi-classiques?

11 11 Exercice XIX : États comprimés de l oscillateur harmonique ( squeezed states ). Dans l exercice précédent, nous avons étudié les états semi-classiques (ou cohérents ) de l oscillateur harmonique, pour lesquels nous avons vu que l écart quadratique sur la position, x, a la même valeur que dans l état fondamental 0 de l oscillateur. Nous allons voir qu on peut obtenir des états comprimés pour lesquels x peut devenir beaucoup plus petit que dans l état fondamental. En raison de l analogie formelle entre le traitement quantique des ondes électromagnétiques et une assemblée d oscillateurs harmoniques, les états comprimés peuvent aussi être générés en électromagnétisme. C est dans ce domaine qu ils ont été observés (voir Squeezing the quantum noise limits, Physics Today, Mars 1986). 1) On considère l opérateur : b = A(a µa ), où µ est complexe ( µ < 1) et A est une constante. Déterminer A pour que l on ait [b, b ] = 1. ) On considère un état β de l oscillateur tel que b β = β β, que l on décompose sur la base n en : β = d n n. n=0 Déterminer les relations liant les coefficients d n et montrer qu on peut tous les déterminer à partir de d o. On suppose dans la suite que d o est choisi de façon à ce que β soit normé. 3) L oscillateur est à l instant initial t o dans l état β(t o ). Montrer qu à un instant ultérieur t il sera dans un état propre β(t) d un opérateur de type b défini par (1), avec une valeur propre β(t) et un paramètre µ(t) que l on déterminera. 4) Vérifier que l état β est bien un état comprimé en calculant l écart quadratique x sur la position de l oscillateur dans l état β(t). Montrer qu on peut rendre x aussi petit que l on veut.