Synthèse de cours (Terminale S) Limite d une fonction
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- Sylvaine Larivière
- il y a 7 ans
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1 Synthèse de cours (Terminale S) Limite d une onction Limite d une onction en ou Fonction déinie au voisinae de (resp ) Soit une onction d ensemble de déinition D On dira que «la onction est déinie au voisinae de (resp )» s il eiste un réel A tel que l intervalle A; (resp ;A) soit inclus dans D Limite d une onction en (resp ) Cas d une ite inie Soit une onction d ensemble de déinition D On suppose que est déinie au voisinae de (resp ) sur A; (resp ;A) On dira que la onction admet une ite l en (resp ) si, pour tout intervalle de la orme l; l ( 0 ), il eiste un réel M de A; (resp de ;A) tel que pour tout supérieur (resp inérieur) à M, on a l ; l On écrit alors : (resp ) l Interprétation éométrique (voir ci-dessous) : dans un repère orthoonal, la courbe représentative de la onction admet au voisinae de (resp ) une asymptote horizontale d équation y l M PanaMaths [-8] Septembre 0
2 Eemples classiques : a, 0 a a et 0 a Cas d une ite ininie Soit une onction d ensemble de déinition D On suppose que est déinie au voisinae de (resp ) On dira que la onction admet (resp ) comme ite en (resp ) si, pour tout réel B, il eiste un réel M de D tel que pour tout supérieur (resp inérieur) à M, on a B (resp B ) On écrit alors : (resp ) (resp ) Interprétation de la déinition de : pour tout réel (sous-entendu arbitrairement rand), il eiste une valeur de l ensemble de déinition de la onction au-delà de laquelle toutes les valeurs prises par la onction seront supérieures au réel considéré (de ait, une telle onction ne sera pas majorée!) Attention! Ce qui précède n implique en rien que la onction soit croissante! On pourra par eemple considérer, pour s en convaincre, la onction : sin 5 7 Notion d asymptote oblique Soit une onction d ensemble de déinition D On suppose que est déinie au voisinae de (resp ) et on note C sa courbe représentative dans un repère On dira que la onction admet en (resp ) une asymptote oblique d équation y a b (ou «que la droite d équation y a b est asymptote oblique à C en (resp )») si on a : Remarques : (resp ) a b 0 Lorsqu elle eiste, l asymptote est unique! Pour étudier la position de C par rapport à, on étudie le sine de la diérence a b (cette étude se ait, à priori, sur D ) PanaMaths [-8] Septembre 0
3 Attention! Ce sine n a aucun raison d être constant La onction ci-dessus admet la droite d équation y 5 comme asymptote oblique en et en mais la diérence chane périodiquement de sine (c la iure ci-dessous) La onction sin : 5 7 et son asymptote oblique d équation y 5 Limite d une onction en un réel Cas d une ite inie Soit une onction d ensemble de déinition D et soit a un réel On suppose qu il eiste un réel strictement positi r tel que a r a r a D (on note ; que la onction n est pas nécessairement déinie en a On dit que «est déinie dans un voisinae de a sans nécessairement être déinie en a») On dira que la onction admet une ite inie l en a si pour tout réel strictement positi, a ; a a r; a r a on peut trouver un réel strictement positi tel que si alors on aura l ; l On écrit alors : l PanaMaths [3-8] Septembre 0
4 sin cos Eemples classiques : et 0, (On notera que ces ites 0 0 correspondent en ait à des nombres dérivés) Remarques : On déinira de açon similaire les (éventuelles) ites à droite et à auche de en a On écrira alors : pour la ite à droite et pour la ite à auche Par eemple, la onction admet une ite à droite en a mais n admet pas de ite à auche en ce réel On remarquera éalement que l eistence de ces deu ites n implique en rien leur éalité (considérer la onction partie entière en un réel a ) ; a Enin, on peut avoir Cas d une ite ininie Soit une onction d ensemble de déinition D et soit a un réel On suppose qu il eiste un réel strictement positi r tel que a r a r a D (on note ; que la onction n est pas nécessairement déinie en a On dit que «est déinie dans un voisinae de a sans nécessairement être déinie en a») On dira que la onction admet (resp ) comme ite en a si pour tout réel B, on peut a ; a a r; a r a alors trouver un réel strictement positi tel que si on aura B (resp B ) On écrit alors : (resp ) Remarque : comme précédemment, on peut «seulement» avoir une ite ininie à auche et/ou à droite de a On considèrera, à titre d illustration, l eemple suivant : Interprétation éométrique Si admet un ite ininie en a (resp à auche, à droite), on dit que la courbe représentative C de la onction admet en a (resp à auche de a, à droite de a) une asymptote verticale d équation a Eemples classiques : a a, a a a a, a et PanaMaths [-8] Septembre 0
5 Calcul de ites Opérations et ites Conventions de calcul Pour simpliier certains calculs de ites, on introduit les «nombres» et avec les rèles de calcul suivantes : Addition ; ; a, a ; a, a ; Opposé : et le calcul n est pas déini Multiplication ; ; ; a *, a et a *, a a *, a et a *, a Inverse : 0 et 0 ; ; Les calculs «0» et «0» ne sont pas déinis Il en découle que les calculs ne le sont pas éalement Le calcul «0 0» n est pas déini De açon plus énérale, lorsque le dénominateur du rapport de deu onctions tend vers 0, on se demandera si le sine reste constant (ite de type 0 ou 0 ) ou pas (il n y a aucune raison que ce soit le cas et on pourra considérer la onction lorsque tend vers pour s en convaincre) sin E Pour simpliier certains énoncés (voir ci-après), on peut poser : ; PanaMaths [5-8] Septembre 0
6 Opérations et ites A partir des conventions de calcul ci-dessus, on peut ormellement écrire : Soit et deu onctions déinies dans un voisinae de a (pas nécessairement en a), a et k Alors : k k Lorsque l on est conronté à une situation «interdite» (c les calculs non déinis ci-dessus), on dit que l on a aaire à une «orme indéterminée» On retiendra les quatre types ondamentau de ormes indéterminées :, «0 0», et «0» Le cas des onctions polynômes Soit une onction polynôme La ite en de est la ite correspondante du terme de plus haut deré Eemple : Le cas des onctions rationnelles Soit une onction rationnelle La ite en de est la ite correspondante du rapport des termes de plus haut deré Eemples : PanaMaths [6-8] Septembre 0
7 Comparaison Soit et deu onctions déinies au voisinae de (resp ) On suppose qu il eiste un réel A tel que : A; D et A; D (resp Pour tout réel A (resp A Dans ces conditions, on a : ;A D et ;A D ) ; ), on a : (resp (resp ) ) On a éalement le théorème suivant communément appelé «théorème des endarmes» : Soit, et h trois onctions déinies au voisinae de (resp ) On suppose qu il eiste un réel A tel que : A; D, A; D et A; h ;A D h ) ; Pour tout réel A (resp A Dans ces conditions, on a : ;A D (resp D, ), on a : h h l l (resp h l l ) ;A D et h Théorème des endarmes Eemple de courbes représentatives des onctions (roue), (bleu) et h (vert) PanaMaths [7-8] Septembre 0
8 Limite d une onction composée Soit et deu onctions Soit a, b et l trois éléments de On suppose que : La onction est déinie dans un voisinae de a et b ; La onction est déinie dans un voisinae de b et X Alors on a : Eemples : On cherche : La onction : On a alors : o l On a : X Finalement : Xb l peut être considérée comme la composée de la onction et de la onction : X X X X 7 7 X On cherche : 5cos 7cos 3 On peut écrire : La onction 5cos 7cos 3 On cherche alors : X X 7 5cos 7 cos 3 5 cos 7 cos 3 0 cos 7 cos 8 onctions : : cos et : X 0X 7X 8 On a alors : cos cos 0 peut alors être considérée comme la composée des On cherche alors : X On a immédiatement : X X X Finalement : X0 X0 5cos 7 cos 3 8 X 0 PanaMaths [8-8] Septembre 0
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