COMPLEMENTS de MATHEMATIQUES et de PHYSIQUE

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1 COMPLEMENTS de MATHEMATIQUES et de PHYSIQUE Deuième année de Pharmacie LYON EXERCICES CORRIGES DE MATHEMATIQUES Henri IMMEDIATO 996

2 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance NOMBRES COMPLEXES. Définition. L'espace vectoriel réel R des couples (, y ) de nombres réels peut être muni d'une addition : (, y ) + (, y ) = ( +, y + y ) et d'une multiplication : (, y ) (, y ) = ( y y, y y ) Muni de ces opérations, R est un corps noté C. Les éléments de C s'appellent des nombres complees. Un nombre complee de partie réelle et de partie imaginaire y s'identifie avec le point du plan R de coordonnées et y. L'ae des est identifié avec R et s'appelle l' ae réel. L'ae de y s'appelle l' ae imaginaire. Le nombre complee z est appelé l' affie du point M de coordonnées et y. Par abus de langage, on parlera aussi du "point z" du plan complee, au lieu de parler du "point M d'affie z" du plan.. Propriétés. L'élément unité pour la multiplication est (, 0 ). Un nombre réel s'identifie au couple (, 0 ). L'élément unité (, 0 ) est le nombre réel. L'élément ( 0, ) est noté i et l'on a : i = i i = ( 0, ) ( 0, ) = (, 0 ) = Tout nombre complee (, y ) peut être écrit : (, y ) = (, 0 ) + y ( 0, ) = + y i = + i y La propriété essentielle du corps C est que : (, y ) = + i y est la partie réelle du nombre complee + i y. y est la partie imaginaire du nombre complee + i y. Tout polynôme de degré n à coefficients complees possède n racines dans le corps C. On dit que C est algébriquement clos. De plus, c'est le plus petit corps algébriquement clos contenant R comme sous-corps : C est la clôture algébrique de R.. Représentation polaire. Un point du cercle trigonométrique de centre 0 et de rayon, répéré par un angle polaire θ, a pour partie réelle cos θ et pour partie imaginaire sin θ. Le développement en série de Taylor de ces fonctions est : cos θ = θ + + ( ) n θ n + n! Cours - 996

3 sin θ = θ θ θ n+ + + ( ) n +! ( n + )! Ces développements sont uniformément convergents dans tout voisinage de 0 et peuvent donc être manipulés termes à termes. On a : cos θ + i sin θ = + i θ θ i θ + + ( ) n θ n θ n+ + ( ) n +! n! ( n + )! n = n ( i θ) = n! n = 0 Par analogie avec l'eponentielle réelle : n = n e = n! n = 0 on pose : e i θ = cos θ + i sin θ ( Formule d'euler ) Cette fonction a les mêmes propriétés qu'une eponentielle puisqu'elle est définie par une série identique. Un point z du plan peut être repéré par ses coordonnées polaires r et θ : = r cos θ y = r sin θ z = + i y = r cos θ + i r sin θ = r ( cos θ + i sin θ ) = r e i θ r s'appelle le module du nombre complee z. θ s'appelle l' argument du nombre complee z. z = r e i θ Le module d'un nombre complee est un nombre positif (nul seulement si z = 0 ). L'argument d'un nombre complee est défini à k π près. On a, par eemple : z a est la distance entre les points d'affies a et z. i = ei π = e i π Cours - 996

4 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance FONCTIONS DE VARIABLE COMPLEXE. Définition. On appelle ici fonction de la variable complee z toute application de C dans C. Une fonction f (z) de la variable complee z = + i y a une partie réelle et une partie imaginaire qui sont toutes deu des fonctions des deu variables et y : f (z) = P (, y ) + i Q (, y ) On dit qu'une fonction f (z) est dérivable en z 0 si le rapport lorsque z tend vers z 0.. Conditions de Cauchy. f( z) f( z ) z z 0 0 tend vers un limite finie dans C Pour qu'une fonction f (z) = P (, y ) + i Q (, y ) soit dérivable, il faut et il suffit que P et Q vérifient les conditions de Cauchy : P = Q y et P y = Q Ces conditions epriment seulement que la fonction f (z) = P (, y ) + i Q (, y ne dépend pas eplicitement de la variable z quand on fait le changement de variables : z = + i y z = i y De ces conditions de Cauchy résulte le fait que, pour qu'une fonction P (, y ) des deu variables réelles et y soit la partie réelle d'une fonction dérivable f (z), il faut et il suffit que son laplacien P soit nul. P = P + P y = 0 Dans ce cas, la partie imaginaire Q est elle-même une fonction harmonique, c'est-à-dire dont le laplacien est nul, et on peut la définir, à une constante près, à partir des conditions de Cauchy qui donnent deu équations au dérivées partielles : Q = P Q et y y = P Les fonctions P et Q sont des fonctions harmoniques conjuguées. Les lignes P (, y ) = constante sont appelées lignes de niveau. Les lignes Q (, y ) = constante sont appelées lignes de champ. Cours - 996

5 . Singularités des fonctions de variable complee. Une fonction f (z) de la variable complee z est dite fonction monogène en un point a si elle est dérivable f( z) f ( a) en ce point, c'est-à-dire si le rapport a une limite finie lorsque z tend vers a en suivant un chemin z a quelconque dans C. Une fonction monogène en tous points d'un domaine D du plan complee est dite fonction holomorphe dans D. Une fonction de variable complee f (z) holomorphe dans un domaine D entourant un point a peut avoir quatre sortes de points singuliers en a : singularité artificielle : f (z) reste bornée au voisinage de a, mais f ( z ) f ( a ) n'a pas de limite lorsque z z a tend vers a. Dans ce cas, on peut rendre la fonction f (z) monogène en a en changeant la valeur de f (a). Eemple : la fonction égale à z pour z 0 et à pour z = 0 a une singularité artificielle en 0. Elle est rendue holomorphe dans tout le plan en posant f (0) = 0. On suppose, la plupart du temps qu'on a éliminé les singularités artificielles. pôle : f (z) non bornée au voisinage de a, mais est holomorphe au voisinage de a. f( z) Eemple : la fonction n'est pas bornée au voisinage de a mais = z a est holomorphe au z a f( z) voisinage de a. Le point a est un pôle pour la fonction z a. Si le point a est un pôle pour la fonction f (z), le plus entier positif n pour lequel ( z a) n f(z) est holomorphe au voisinage de a s'appelle l' ordre de multiplicité du pôle. Eemple : La fonction ( z )( z ) z ( z ) a un pôle simple en z = 0 et un pôle d'ordre en z =. point essentiel : a est un point singulier pour f (z) et pour une seule détermination pour une valeur de z. Eemple : la fonction e z = e + y e y i + y a un point essentiel en z = 0., mais f est une fonction uniforme, elle a f( z) point critique : la fonction f (z) ne reprend pas la même valeur quand on suit un chemin faisant un tour autour de a. On dit que f (z) est une fonction multiforme ou qu'elle a plusieurs déterminations en un point. On change de détermination en faisant un tour autour du point a. Eemple : la fonction ln z définie par ln ( ρ e i θ ) = ln ρ + i θ augmente de i π quand on fait un tour autour du point 0. On peut rendre uniforme une fonction à plusieurs déterminations en pratiquant une coupure dans le plan complee. Cette coupure constitue une barrière qu'on peut contourner, mais qu'on ne peut pas franchir. Chaque fois qu'on franchit la coupure, on change de détermination. Eemple : la fonction ln z est rendue uniforme dans le plan complee par une coupure allant de 0 à l'infini sur l'ae réel. Dans le plan coupé, on choisit une détermination : la fonction ln z est alors bien définie en tout point du plan et elle est holomorphe dans le plan coupé. La détermination ln z = ln ρ + i θ avec 0 θ < π est appelée la détermination principale du logarithme. Remarques sur les singularités. On étudie les singularités à l'infini en faisant le changement de variable z' = et en étudiant les z singularités de la fonction pour z' = 0. Une fonction f (z) peut n'avoir aucune singularité dans un domaine et, cependant, ne pas être holomorphe dans ce domaine. Par eemple, la fonction z n'a aucun point singulier dans le domaine compris entre deu 4 Cours - 996

6 cercles de centre 0 et cependant, elle change de détermination quand on fait un tour entourant le point 0 : elle n'est pas holomorphe dans le domaine compris entre les deu cerclces. Une fonction qui n'a, dans un domaine D, qu'un nombre fini de points singuliers qui sont des pôles, est appelée une fonction méromorphe dans D. Une fonction holomorphe dans tout domaine borné est appelée une fonction entière. On appelle fonction analytique dans un domaine D toute fonction qui est holomorphe dans D, sauf peut-être dans un ensemble dénombrable de points singuliers (pôles, points essentiels, points critiques). 5 Cours - 996

7 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance INTEGRATION DES FONCTIONS DE VARIABLE COMPLEXE Les résultats fondamentau concernant l'intégration des fonctions de variable complee ont été obtenus par Cauchy au XIX e siècle.. La valeur de l'intégrale reste la même quel que soit le chemin emprunté pour aller d'un point à un autre, tant que la fonction est holomorphe : c'est le théorème de Cauchy. Il revient au même de dire que l'intégrale le long d'une courbe fermée est nulle si la fonction est holomorphe à l'intérieur du contour d'intégration.. Sur toute courbe fermée simple Γ entourant le point a et parcourue dans le sens direct : dz = i π ( Γ ) z a Pour montrer ce résultat, on se ramène à a = 0 par un changement de variable et l'intégrale calcule en passant au coordonnées polaires : dz ( Γ ) z = ( iy)( + idy) + ydy ( Γ ) + y = ( Γ ) + y En un tour sur Γ, θ varie de π et ln r ne varie pas. + i ( Γ ) dy y + y = dz ( Γ ) z dr ( Γ ) r + i dθ ( Γ ). Si f (z) est une fonction holomorphe dans un domaine D et sur la courbe frontière Γ de D, et si a est un point intérieur à Γ, on a : f (a) = f ( z ) dz i π ( Γ ) z a ( Γ étant parcourue dans le sens direct). C'est la formule de l'intégrale de Cauchy. 4. Par récurrence, on en déduit que si f (z) est indéfiniment dérivable dans D, sa dérivée d'ordre n en un point a intérieur à D est donnée par : n! f ( z) f (n) (a) = i π ( Γ ) ( z a) n + dz 5. Si la fonction f (z) est holomorphe dans une couronne D comprise entre deu cercles de centre a et de rayons R et R ' (avec R ' > R ), ainsi que sur ces deu cercles, on peut développer f (z) en série de Laurent sous la forme : n = f (z) = c n ( z a ) n n = avec f ( s) c n = i π γ ( s a) n + ds où γ est un cercle de centre a et de rayon quelconque compris entre R et R '. Le coefficient c de z a dans le développement en série de Laurent de f (z) est appelé le résidu de f au pôle a. se 6 Cours - 996

8 6. Si (C) est un chemin fermé, l'intégrale de f (z) dz le long de (C ) est égale au produit de i π par la somme des résidus de f (z) au pôles à l'intérieur de (C) : C'est le théorème des résidus. f (z) dz = i π R j ( C ) j 7 Cours - 996

9 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance 4 DISTRIBUTIONS Définitions. On appelle "fonction de base" sur R, toute fonction ϕ : R C indéfiniment dérivable à support borné (le support d'une fonction est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel la fonction est nulle). Les fonctions de base sur R forment un espace vectoriel D sur C. Eemple : la fonction égale à e entre et et à 0 en dehors de l'intervalle [ ; ] est indéfiniment dérivable, y compris au points et, et son support est l'intervalle [ ; ] : c'est une fonction de base. On dit qu' une suite de fonctions de base tend vers 0 si la suite des fonctions tend uniformément vers 0 ainsi que toute suite de dérivées de même ordre. On appelle "distribution" sur R toute application linéaire et continue de l'espace vectoriel D des fonctions de base dans le corps C des complees. Le terme "continu" veut dire que si une suite de fonctions de base tend vers 0, alors la suite des images de ces fonctions de base par la distribution est une suite de nombres complees qui tend vers 0. Les distributions sur R forment un espace vectoriel D sur C. Eemples : Toute fonction localement sommable (c'est-à-dire intégrable sur tout ensemble fermé borné) f définit une distribution par < f, ϕ > = f (t) ϕ(t) dt Par eemple, la "fonction de Heaviside" ϒ () égale à 0 pour 0 et à pour > 0 définit la distribution de Heaviside ϒ : < ϒ, ϕ > = ϕ (t) dt 0 La distribution définie par la formule : Propriétés. est appelée "distribution de Dirac". < δ, ϕ > = ϕ (0) Si α est une fonction indéfiniment dérivable, pas nécessairement à support borné, et T une distribution, on peut définir la distribution α T par < α T, ϕ > = < T, α ϕ > puisque α ϕ est une fonction de base, chaque fois que ϕ est une fonction de base. 8 Cours - 996

10 Pour toute distribution T, on peut définir une dérivée dt par < dt, ϕ > = < T, d ϕ >. Contrairement au fonctions, une distribution est toujours dérivable. Comme une fonction peut définir une distribution, on peut se demander quel rapport il y a entre la dérivée au sens des fonctions et la dérivée au sens des distributions. Ce rapport est le suivant : si l on considère une fonction f dérivable partout sauf en un point 0 où la fonction présente un saut σ 0 = f ( + 0 ) f ( 0 ), la dérivée de f, qui est presque partout df définie (définie partout sauf sur un ensemble de mesure nulle), définit une distribution au moyen d une intégrale ; cette distribution est liée à la distribution dérivée df de la distribution définie par la fonction f par la formule : df = df + σ 0 δ. Démonstration : < df, ϕ > = < f, d ϕ > = f d ϕ = 0 dϕ f f d ϕ 0 Pour chaque morceau d intégrale, on intègre par parties : 0 dϕ f = [ f ϕ ] f ϕ = f (0 ) ϕ ( 0 ) + 0 f ϕ f d ϕ = [ f ϕ ] f ϕ = + f ( + 0 ) ϕ ( 0 ) + f ϕ 0 0 Par addition, il vient : f d ϕ = [ f + (0 ) f ( 0 ) ] ϕ ( 0 ) + f ϕ = < σ df 0 δ, ϕ > + <, ϕ > Eemple : soit ϒ la distribution de Heaviside, définie par la fonction égale à 0 pour négatif et à pour positif. Au point 0, elle présente un saut égal à. Sa dérivée au sens des fonctions est presque partout nulle puisque la fonction est constante par intervalles. Sa dérivée au sens des distributions est donc dϒ = δ. 9 Cours - 996

11 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance 5 CONVOLUTION Définition. Si f et g sont deu fonctions localement sommables, alors la fonction h définie par : h () = f ( t ) g ( t ) dt lorsque l'intégrale eiste, est une fonction localement sommable qu'on appelle le "produit de convolution" de f et g et qu'on note : h = f g Propriétés. f g = g f. Le produit de convolution est commutatif. En effet, si l'on pose t = u, on a du = dt et : ( f g ) () = f ( u ) g ( u ) du = f ( u ) g ( u ) du = ( g f ) () On démontre que si f ou g est continue, f g est continue (démonstration pas évidente). Si les deu fonctions f et g ont leurs supports dans l'intervalle [ 0 ; + [, f g eiste et a son support dans [ 0 ; + [. On a alors : ( f g ) () = ϒ () 0 f ( t) g (t) dt Cette propriété se démontre en considérant successivement les deu cas 0 et 0. Définitions. Le support d'une distribution est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel la distribution est nulle. Ceci veut dire que si une fonction de base ϕ a son support en dehors du support de la distribution T, on a < T, ϕ > = 0. Si S et T sont deu distributions sur R, on appelle "produit de convolution" de S et T, la distribution, lorsqu'elle eiste, définie par : < S T, ϕ > = < S, < T y, ϕ ( + y ) > > Condition d'eistence : les supports A et B de S et T sont tels que, pour tout A et pour tout y B : + y borné borné et y borné Propriétés. Si le produit de convolution eiste, il est commutatif : 0 Cours - 996

12 S T = T S Si S ou T a un support borné, S T eiste. Si S et T ont toutes deu leur support borné à gauche, leur produit de convolution eiste et a son support borné à gauche. Les distributions à support borné à gauche forment une algèbre (espace vectoriel muni d'un produit lui donnant une structure d'anneau) appelée l' algèbre de convolution D' +. La distribution de Dirac δ est l'élément unité du produit de convolution : T δ = δ T = T Pour tout entier m, δ (m) T eiste et est égal à la dérivée m-ième de T au sens des distributions : m δ (m) T = d T m Les résultats de l'eercice de la séance 4 s'écrivent : ( δ' λ δ ) ϒ () e λ = δ ( δ" + ω δ ) ϒ( )sin ω ω = δ m δ ( m ) ϒ( ) ( m )! = δ Soit Γ le cercle trigonométrique dans R, toute distribution sur Γ a son support borné. Le produit de convolution de deu distributions sur Γ eiste toujours et les distributions sur Γ forment une algèbre de convolution D' (Γ). Cours - 996

13 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance 6 SERIES DE FOURIER Série de Fourier d'une fonction périodique. Si f est une fonction périodique de période T, on appelle série de Fourier de f la série : n Z * c n (f) e n i où les coefficients de Fourier de f sont donnés par la formule : a + T c n (f) = e n i t f (t) dt ( a réel quelconque ) T a La série de Fourier de f eiste dès que la fonction f est intégrable sur tout intervalle de longueur finie. En tout point où f a une limite à droite f (+0) et une limite à gauche f ( 0), la somme de la série de Fourier de f est donnée par la formule : c n (f) e n i = [ f ( 0) + f (+0) ] n Z * En particulier, en un point où f est continue, f () est égal à la somme de sa série de Fourier : f () = c n (f) e n i n Z * Les fonctions de carré sommable sur une période, c'est-à-dire telles que l'intégrale vérifient la formule de Parseval-Plancherel : n Z * c n (f) = a + T f (t) dt T a a + T f (t) dt eiste, a Si le produit de convolution f g eiste, les coefficients de Fourier du produit de convolution sont donnés par : c n ( f g ) = T c n (f) c n (g) Série de Fourier d'une distribution périodique. Une distribution T sur R est dite distribution périodique de période T si elle est égale à sa translatée par T : δ T T = T Les distributions périodiques de période T s'identifient au distributions sur le cercle Γ de longueur T dans R. Elles forment une algèbre de convolution D' ( Γ ). Dans cette algèbre de convolution, l'élément unité δ est identifié à la distribution δ n T sur R ( "peigne" de Dirac ). n Z * Comme le cercle Γ est borné, toute fonction indéfiniment dérivable de l'abscisse curviligne s (définie à un multiple entier près de la période) est une fonction de base sur Γ : les fonctions e n i ω s sont des fonctions de bases sur Γ. A une distribution T de D' ( Γ ), on peut associer sa série de Fourier : Cours - 996

14 n Z * c n ( T ) e n i ω où les coefficients de Fourier de T sont donnés par la formule : c n ( T ) = T < T, e n i ω > avec ω = π T. Pour une distribution définie par une fonction périodique localement sommable, on retrouve la formule donnant les coefficients de Fourier de la fonction, l'intégrale s'étendant à un intervalle d'une période. Les séries de Fourier des distributions sur Γ possèdent les propriétés essentielles des séries de Fourier de fonctions périodiques de période T. Notamment, les coefficients de Fourier d'un produit de convolution sont donnés par : c n ( T S ) = T c n ( T ) c n ( S ) Il y a cependant des différences importantes avec les séries de Fourier de fonctions : La série de Fourier d'une distribution T sur Γ (où d'une distribution périodique sur R ) converge toujours vers cette distribution : une distribution est toujours égale à la somme de sa série de Fourier. En particulier, sur R : δ nt = T e n i ω = T e n i ω n Z * n Z * n Z * La dérivation terme à terme d'une série de Fourier de distribution de D' ( Γ ) est toujours une opération légitime : Pour qu'une série trigonométrique m d T m = n Z * n Z * c n ( T ) ( i n ω ) m e n i ω n Z * T ( i n ω ) m e n i ω n Z * δ nt ( m ) = c n e n i ω converge vers une distribution sur Γ, il faut et il suffit que la suite des c n soit majorée par une puissance de n quand n tend vers l'infini. Cours - 996

15 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance 7 TRANSFORMATION DE FOURIER Transformée de Fourier d'une fonction. La transformation de Fourier d'une fonction, telle qu'elle a été définie plus haut par la formule : F f (λ) = e i π λ t f (t) dt peut s'appliquer à toute fonction intégrable sur R. Les fonctions intégrables sur R ne sont qu'une classe particulière de fonctions localement sommables. Elles définissent donc des distributions particulières : ces distributions régulières, définies par la formule < f, ϕ > = f (t) ϕ (t) dt peuvent s'appliquer, en fait, même à des fonctions ϕ dont le support n'est pas borné : il suffit que les fonctions ϕ décroissent à l'infini plus vite que n'importe quelle puissance de t. De telles fonctions ϕ, qui ont les mêmes propriétés que les fonctions de base à l'eception du support borné, s'appellent des fonctions à décroissance rapide. Elles forment un espace vectoriel complee S contenant l'espace vectoriel D des fonctions de base. Les fonctions à décroissance rapide sont elles-mêmes des fonctions intégrables et, de ce fait, possèdent une transformée de Fourier. La transformée de Fourier F f d'une fonction f possède les propriétés suivantes :. F f (λ) f (). F f (λ) tend vers 0 si λ tend vers l'infini.. Si f est une fonction m fois continûment dérivable, on a : ( i π λ ) m F f = F f (m) i π λ m F f f(m) () 4. Si la fonction m f () est intégrable, la transformée de Fourier F f est m fois continûment dérivable et l'on a : F [ ( i π ) m f () ] = ( F f ) (m) 5. Pour tout réel k différent de 0 : F [ f (k) ] = k λ k En particulier, pour k = : F [ f ( ) ] = ( F f ) ( λ ) Il en résulte que si f est paire, F f est paire aussi, et si f est impaire, F f est impaire aussi. La transformation de Fourier conserve la parité. 6. La transformation de Fourier conjuguée F est définie par F f (λ) = e i π λ t f (t) dt. Le nombre complee F f (λ) est le conjugué du nombre complee F f (λ) si la fonction f () est réelle. 4 Cours - 996

16 Des propriétés et 4, il résulte que la transformée de Fourier d'une fonction à décroissance rapide est une fonction à décroissance rapide. Transformation de Fourier des distributions. Les distributions qui sont définies sur les fonctions à décroissance rapide s'appellent les distributions tempérées. Elles forment un espace vectoriel complee S ' qui est contenu dans l'espace vectoriel D ' des distributions sur R. Eemples : Toutes les distributions à support borné sont des distributions tempérées. Les fonctions bornées sont tempérées. Les fonctions localement sommables à croissance lente sont tempérées. Le produit d'un polynôme par une distribution tempérée est une distribution tempérée. On peut définir la transformée de Fourier d'une distribution tempérée par la formule : < F T, ϕ > = < T, F ϕ > La transformation de Fourier conjuguée F est définie par la formule : < F T, ϕ > = < T, F ϕ > Propriétés de la transformation de Fourier.. F T et F T sont des distributions tempérées.. Si T est une distribution à support borné, son image F T par la transformation de Fourier est une fonction prolongeable pour les valeurs complees de λ en une fonction entière V (λ) donnée par la formule : V (λ) = < U, e i π λ >. F [ δ ] = F [ δ ' ] = i π λ F [ δ (m) ] = ( i π λ ) m F [ δ a ] = e i π λ a F k = k = δ k = δ k k = k = F [ T (m) ] = ( i π λ ) m F T F [ ( i π ) m T ] = ( F T ) (m) 4. F = F = δ 5. Formule de réciprocité : Pour toute fonction à décroissance rapide ϕ : F F ϕ = F F ϕ = ϕ Pour toute distribution tempérée T : F F T = F F T = T Corollaire : F T = 0 T = 0 6. Formule de Parseval-Plancherel : Si f et g sont des fonctions de carré intégrable, leurs images par la transformation de Fourier sont des fonctions de carré intégrable et on a : f () = F f (λ) dλ 7. Formule sommatoire de Poisson : f () g ( ) = F f (λ) Fg ( λ ) dλ Si ϕ est une fonction à décroissance rapide : k = k = ϕ (k) = F ϕ (k) k = k = 5 Cours - 996

17 Transformation de Fourier et convolution. La propriété fondamentale est que la transformation de Fourier transforme un produit de convolution en multiplication et une multiplication en produit de convolution : F ( S T ) = F S. F T F ( S T ) = F S. F T F ( S.T ) = F S F T F ( S.T ) = F S F T 6 Cours - 996

18 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance. NOMBRES COMPLEXES Eercice. Soit z l affie d un point M du plan complee. / Montrez que tous les points M d'affie z du plan complee vérifiant la relation z + = k, z où k est une constante réelle différente de, sont sur un même cercle (C k ) dont on calculera la position du centre et le rayon. / Comparez les cercles (C k ) et (C k ). / Quel est l'ensemble des points M d'affie z du plan complee vérifiant la relation z + z = / Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à 0,,,,,,. Eercice / Déterminez les nombres complees solutions de l'équation : z 4 =. / Déterminez sous forme trigonométrique les solutions de l'équation : z 4 = 8 ( i ) / Soit a = + i. Vérifiez : a 4 = 8 ( i ). En déduire sous forme algébrique les résultats du /. 4 / Des questions / et /, déduire les valeurs eactes de cos π π et sin. Eercice λ, α, β étant trois constantes données réelles ou complees, montrez que les solutions de l'équation : λ n ( z α ) n ( z β ) n = 0 sont toutes sur une même circonférence. Calculez la position du centre et le rayon de cette circonférence. CMP - 996

19 Eercice 4 Soit z C, z = + i y, (, y ) R, P ( z ) = z i z ( i ) z + + i. / Vérifiez que l'équation P ( z ) = 0 admet une solution réelle z 0 et une solution imaginaire pure z. Résoudre l'équation P ( z ) = 0. Calculez le module et l'argument des solutions z 0, z, z. / Dans le plan complee, soient M 0, M, M, les points d'affies respectives z 0, z, z. Calculez Z = z z0. Démontrez que Z =. Précisez la nature du triangle (M 0, M, M ). z z 0 Eercice 5 Soit z l affie d un point M du plan complee. / Quel est l ensemble des points M vérifiant la relation z + + z = k, k étant une constante réelle? / Quelle condition doit vérifier k pour que le problème ait une solution? / Ecrire l équation de l ensemble des points M vérifiant la relation donnée. 4 / Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à,, 4, 5. Eercice 6 Soit z l affie d un point M du plan complee. / Quel est l ensemble des points M vérifiant la relation z + z = k, k étant une constante réelle? / Quelle condition doit vérifier k pour que le problème ait une solution? / Ecrire l équation de l ensemble des points M vérifiant la relation donnée. 4 / Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à,, 0,,. Eercice 7 Soit z l affie d un point M du plan complee. / Quel est l ensemble des points M vérifiant la relation z + z = k, k étant une constante réelle? / Quelle condition doit vérifier k pour que le problème ait une solution? / Ecrire l équation de l ensemble des points M vérifiant la relation donnée. 4 / Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à 0,,,,,,. CMP - 996

20 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance. FONCTIONS DE VARIABLE COMPLEXE Eercice. On considère la fonction de deu variables réelles et y : P (, y ) = +. + y / Montrez que P (, y ) est la partie réelle d'une fonction analytique f (z) de la variable complee z = + i y. Calculez la fonction f (z) vérifiant f () =. z / Soit (C k ) l'ensemble des points du plan complee dont l'affie z vérifie la relation = k. Montrez que, pour k, (C k ) est un cercle dont on calculera la position du centre et le rayon. Etudiez le cas z + particulier k =. Que se passe-t-il lorsque k est égal à? Pour un point m de (C k ), on pose Z = z + z. a) Calculez Z Z + en fonction de k. b) Montrez que, lorsque le point m d'affie z parcourt (C k ), le point M d'affie Z parcourt, pour k, un cercle (D k ) dont on calculera la position du centre et le rayon? c) Montrez que le cercle (D k ) passe par le centre du cercle (C k ). Eercice. Soient a et b deu constantes réelles différentes. On considère les deu fonctions des variables réelles et y : P (, y ) = ( )( ) a b + y ( a b) y et Q (, y ) = ( b) + y ( b) + y / Montrez que P (, y ) + i Q (, y ) est une fonction analytique f (z) de la variable complee z = + i y. / Etudiez les lignes de niveau P (, y ) = constante et les lignes de champ Q (, y ) = constante du potentiel complee f (z). Représentez graphiquement les courbes correspondant au valeurs,, 0,, des constantes. CMP - 996

21 Eercice On considère la fonction : Arc tg z = i ln + iz i z. / Déterminez les points singuliers de la fonction Arc tg z. / Comment peut-on rendre uniforme la fonction Arc tg z? / La fonction Arc tg z ayant pour valeur 0 au point z 0 = 0, trouver sa valeur au point z = + i, lorsqu'on passe de z 0 à z par un chemin rectiligne. Eercice 4 On considère la fonction : Arc cos z = i ln ( z + z ). / Déterminez les points singuliers de la fonction Arc cos z. / Comment peut-on rendre uniforme la fonction Arc cos z? / La fonction Arc cos z ayant pour valeur π au point z 0 = 0, trouver sa valeur au point z =, lorsqu'on passe de z 0 à z par un demi-cercle (Γ) de centre et d'ordonnées positives. 4 CMP - 996

22 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance INTEGRATION DES FONCTIONS DE VARIABLE COMPLEXE Eercice / Calculer l'intégrale z + dz, étendue au cercle trigonométrique (C) de centre O ( 0 ; 0 ) et ( C ) z de rayon parcouru dans le sens direct. / Calculer l'intégrale z dz, étendue au cercle (C) de centre A ( ; 0 ) et de rayon parcouru ( C ) z + dans le sens direct. dz, étendue au cercle (C) de centre A ( ; 0 ) et de rayon par- / Calculer l'intégrale ( C ) couru dans le sens direct. Eercice z z + ( z+ a) e Calculer l'intégrale 4 i π ( C ) z de rayon parcouru dans le sens direct. z dz, étendue au cercle trigonométrique (C) de centre O ( 0 ; 0 ) et Eercice Calculer l'intégrale π cos 0 + cos Eercice 4 Calculer l'intégrale 0 5 ( + ) ( ) 5 CMP - 996

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24 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance 4 Eercice DISTRIBUTIONS Soit T une distribution sur R. Montrez les propriétés suivantes : / T = 0 ( c C ) ( T = c δ ) / Pour que la dérivée de T soit nulle, il faut et il suffit qu'il eiste un nombre complee c vérifiant T = c, où est la distribution définie par (ϕ) = ϕ (). Eercice Trouver la limite, quand h tend vers 0, dans l'espace D des distributions sur R, de δ h δ h. h Eercice ϒ ( ) désignant la fonction de Heaviside, calculer, au sens des distributions : / / d λ ϒ ( ) e λ d + ω ϒ( ) sinω ω m / d m m ϒ( ) pour m entier ( m )! 7 CMP - 996

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26 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance 5 Eercice CONVOLUTION Soit ϒ () la fonction de Heaviside. / Calculez le produit de convolution ϒ () e λ ϒ () e µ. / Calculez le produit de convolution ϒ () sin ϒ () sh. Eercice Soit δ la distribution de Dirac, ϒ () la fonction de Heaviside, D + l'espace des distributions sur R à support borné à gauche. Trouvez les inverses dans D + des distributions suivantes : / δ 5 δ + 6 δ / ϒ + δ / ϒ () e + δ Eercice Résoudre l'équation intégrale ( t ) cos ( t ) f ( t ) dt = g ( ), où g est une fonction donnée et f 0 une fonction inconnue, les deu ayant leur support dans l'intervalle [ 0 ; + [. Eercice 4 On désigne par f () la solution de l'équation différentielle satisfaisant au conditions initiales : y + y + y + y = 0 cos y (0) = 0, y (0) = 0 y (0) = 4 On pose F () = ϒ () f (), où ϒ () est la fonction de Heaviside. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par F () au sens des distributions. Déterminer alors F () en utilisant le calcul symbolique dans D +. 9 CMP - 996

27 0 CMP - 996

28 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance 6 SERIES DE FOURIER Eercice / Calculez la série de Fourier de la fonction f () égale à dans l'intervalle π < < π, et périodique de période π. Calculez et n. ( n + ) n= n= / Calculez la série de Fourier de la fonction g () égale à dans l'intervalle π < < π, et périodique de période π. En déduire la valeur de sin sin sin n + + ( ) n+ n +. / Montrez que l'on peut déduire les développement trouvés de celui de δ (π) sur le cercle Γ de longueur π. Eercice / Soit T une distribution périodique de période T. Montrez que sa série de Fourier peut se mettre sous la forme : n= 0 a n cos πn T avec des coefficients a n et b n que l'on eplicitera. + n= 0 b n sin πn T Dans les deu questions suivantes, on pose, pour une fonction ϕ, ϕ ( ) = ϕ ( ) / On dit qu'une distribution T est impaire si l'on a < T, ϕ > = < T, ϕ > pour toute fonction de base ϕ D. Montrez que la série de Fourier d'une distribution impaire de période T se réduit à une série de sinus. / On dit qu'une distribution T est paire si l'on a < T, ϕ > = < T, ϕ > pour toute fonction de base ϕ D. Montrez que la série de Fourier d'une distribution paire de période T se réduit à une série de cosinus. CMP - 996

29 Eercice Soient f et g deu fonctions périodiques de période T, de carré intégrable sur une période (espace L (T)). / Montrez que h ( ) = T f ( + t ) g ( t ) dt T 0 est aussi une fonction périodique de période T, de carré intégrable sur une période. / Calculez les coefficients de Fourier c n ( h ) de h en fonction des coefficients de Fourier c n ( f ) et c n ( g ) de f et g. / En admettant que pour tout, la série de Fourier de h ( ) est convergente et a pour somme h ( ), montrez les formules : c k ( f ) ck ( g ) = T k = a+t f ( ) g( ) a k = c k ( f ) = T a+t f ( ) a CMP - 996

30 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance 7 TRANSFORMATION DE FOURIER Eercice / Soient f et g deu fonctions intégrables (c'est-à-dire appartenant à l'espace L ) définie sur R. Montrez que le produit de convolution défini par : h ( ) = f g = f ( y ) g ( y ) dy est aussi dans L et que l'on a : h L f L g L, la norme de convergence en moyenne de L étant définie, pour une fonction f, par f L = f ( t ) dt. / Montrez directement la formule : F h = F f. F g, la transformée de Fourier F f d'une fonction f L étant définie par : F ( λ ) = e i π λ u f ( u ) du. Eercice Calculez la transformée de Fourier de la fonction f ( t ) définie par f ( f ) = Formule de réciprocité. pour t < pour t = 0 pour t > t Eercice Calculez l'intégrale e t cos t dt. En déduire la valeur de l'intégrale cos t 0 + t dt. CMP - 996

31 4 CMP - 996

32 Université Claude Bernard - LYON I e Année de Pharmacie Compléments de Mathématiques et Physique Séance. NOMBRES COMPLEXES Eercice. Soit z l affie d un point M du plan complee. / Montrez que tous les points M d'affie z du plan complee vérifiant la relation z + = k, z où k est une constante réelle différente de, sont sur un même cercle (C k ) dont on calculera la position du centre et le rayon. / Comparez les cercles (C k ) et (C k ). / Quel est l'ensemble des points M d'affie z du plan complee vérifiant la relation z + z = / Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à 0,,,,,,. Corrigé de l Eercice / Ensemble des points dont le rapport des distances à deu points fies est une constante. Comme le module d un rapport est aussi le rapport des modules du numérateur et du dénominateur, la relation z + = k z peut être écrite aussi : z + = k z Comme un module de nombre complee est un nombre positif ou nul, le problème n aura de sens que si la constante réelle k est positive ou nulle ou infinie. Condition d eistence : k 0 On sait (cours de Terminale) que l ensemble des points dont le rapport des distances à deu points fies est une constante positive est un cercle du faisceau à points limites les deu points fies. Montrons-le par le calcul. Soient et y la partie réelle et la partie imaginaire, respectivement, du nombre complee z : z = + i y Séance - 996

33 Le module d un nombre complee est la racine carrée du produit du nombre complee par le nombre complee conjugué : z = z z z + = ( + iy+ )( iy+ ) z = ( + iy )( iy ) Lorsque la constante k est positive, on a les équivalences : z + z = k ( + iy+ )( iy+ ) = k ( + iy )( iy ) ( + i y + )( i y + ) = k ( + i y )( i y ) ( + ) + y = k [ ( ) + y ] y = k [ + + y ] ( k ) ( + y + ) ( k + ) = 0 er cas : k =. Ce cas est équivalent à k =, puisque k est une constante positive. Dans ce cas, la relation précédente se réduit à : z = k 4 = 0 z + et l ensemble des points M est la droite d équation = 0, c est-à-dire l ae des y, médiatrice du segment joignant les points A d affie, et B d affie +. ème cas : k. Ce cas est équivalent à k, puisque k est une constante positive. Dans ce cas, la relation z z + s écrit : z z + = k ( k ) ( + y + ) ( k + ) = 0 = k + y + k + k = 0 k + k + + y = k k k + + y = ( ) ( ) k + k k ( k ) k + [( k + ) ( k )] [( k + ) + ( k )] + y = k ( k ) k + + y = k C est l équation d un cercle dont le centre est situé sur l ae des. 4k ( k ) z + L ensemble des points M vérifiant la relation = k est le cercle (C ; r ) : z de centre le point C de coordonnées : = k + k ; y = 0 k de rayon r = k Séance - 996

34 Pour k >, La relation suivante est vraie : k + k > 0 Cette relation signifie que le centre du cercle est du côté des positifs. Sont aussi vraies les relations : ( k ) > 0 k k + > 0 k + > k k + k > k k = k k Cette dernière relation signifie que l abscisse du centre est plus grande que le rayon, donc que tout le cercle est situé du même côté de la médiatrice du segment AB. Les points de rencontre du cercle ( C ; r ) avec l ae des déterminent un diamètre du cercle. Ils ont pour abscisses les valeurs de vérifiant l équation du cercle : k + 4k + y = k ( k ) avec y = 0 : k + 4k = k ( k ) = k + k ± k = k + k k ± k = ( k ) ± k k Les deu etrémités du diamètre sur l ae des sont donc : = k + k ; y = 0 = k k + ; y = 0 Ces points forment, avec les points ( ; 0 ) et ( + ; 0 ) ce que l on appelle une «division harmonique». Pour k <, Le rayon du cercle est : k r = = k k k L abscisse du centre est : = k + + k = k k Ces relations signifient que les cercles correspondant à des valeurs de la constante k inverses l une de l autre sont symétriques par rapport à l ae des y. Pour k = 0, On obtient : z + = 0, donc z =. Pour k infini, On obtient : z = 0, donc z =. Séance - 996

35 On peut ainsi tracer le dessin ci-contre : 0 A B Pour k = k, soit (C ) l'ensemble des points M d'affie z vérifiant z ' + z' = k. Posons z =. On obtient : z' + z z = k, soit z + z (C') est le cercle (C) correspondant à la constante k = k'. = k. Cette relation montre que l'inverse du cercle On peut d'ailleurs obtenir cet ensemble d'une autre façon : posons, en effet z = z'. On obtient : z + soit = k. Cette relation montre que les cercles correspondant au valeurs k et sont symétriques l'un z k de l'autre par rapport au point origine O. Comme l'ae des est aussi un ae de symétrie de ces cercles, ils sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'ae des y. z z + = k, Les cercles correspondants au valeurs k et k sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'ae des y. 4 Séance - 996

36 Eercice / Déterminez les nombres complees solutions de l'équation : z 4 =. / Déterminez sous forme trigonométrique les solutions de l'équation : z 4 = 8 ( i ) / Soit a = + i. Vérifiez : a 4 = 8 ( i ). En déduire sous forme algébrique les résultats du /. 4 / Des questions / et /, déduire les valeurs eactes de cos π π et sin. Corrigé de l'eercice. / Solutions de l'équation z 4 =. L'équation z 4 = s'écrit aussi z 4 = 0, soit ( z ) ( z + ) = 0, ou ( z ) ( z + ) ( z i ) ( z + i ) = 0. Ses solutions sont : z = z = z = i z = i / Résolution de l'équation z 4 = 8 ( i ) sous forme trigonométrique. Posons z = ρ e i θ. L'équation z 4 = 8 ( i ρ 4 = 6 e i π. Elle équivaut donc à : ) s'écrit ρ 4 e 4 i θ = 6 ( i ) = 6 ( cos π i sin π ), soit ρ 4 = 6 et e 4 i θ = e i π. Ses solutions sont données par : ρ = et θ = π + k π Ces solutions correspondent à quatre nombres complees. Pour avoir les solutions avec un argument compris entre 0 et π, il faut prendre k =, k =, k =, k = 4. D'où les solutions : z = ( cos 5 π 5 π + i sin ) z = ( cos ( 5 π π + ) + i sin ( 5 π π + ) ) = i z z = ( cos ( 5 π 5 π + π ) + i sin ( + π ) ) = z z 4 = ( cos ( 5 π π + ) + i sin ( 5 π π + ) ) = i z 5 Séance - 996

37 / Calcul du nombre complee a 4. a = = i i = = + i = ( i ) + i 6 4 a 4 = 4 ( i ) = 4 ( i + i ) = 4 ( i ) = 8 ( i ) i 6+ + i 6+ a 4 = 8 ( i ) Cette relation montre que le nombre complee a est solution de l'équation z 4 = 8 ( i ). C'est donc l'une des quatre solutions trouvées plus haut. Comme le nombre complee a possède une partie réelle positive et une partie imaginaire positive, il est situé dans le premier quadrant, c'est donc la solution z. Les solutions de l'équation z 4 = 8 ( i ) peuvent alors être écrites sous forme algébrique : z = ( cos 5 π 5 π i sin ) = a = + i z = ( cos ( 5 π π + ) + i sin ( 5 π π + ) ) = i a = i z = ( cos ( 5 π 5 π π ) + i sin ( + π ) ) = a = i z 4 = ( cos ( 5 π π + ) + i sin ( 5 π π + ) ) = i a = 6+ 6 i 4 / Valeurs eactes de certains cosinus ou sinus. La valeur de z permet d'écrire : cos 5 π 6 = 4 et sin 5 π 6+ = 4 La valeur de z permet d'écrire : cos π 6+ = 4 et sin π 6 = 4 6 Séance - 996

38 Eercice λ, α, β étant trois constantes données réelles ou complees, montrez que les solutions de l'équation : λ n ( z α ) n ( z β ) n = 0 sont toutes sur une même circonférence. Calculez la position du centre et le rayon de cette circonférence. Corrigé de l'eercice. / Les solutions sont sur un même cercle. La relation λ n ( z α ) n ( z β ) n = 0 peut s'écrire sous la forme : n z β = λ n z α Elle entraîne la relation : z β z α = λ Soient M, A, B, les points d'affies respectives z, α, β. Le rapport des distances du point M au points A et B est une constante λ. Tous les points M vérifiant cette relation sont sur un cercle du faisceau à points limites A et B. Ce cercle dégénère en médiatrice du segment AB lorsque λ est égal à. / Position du centre et circonférence du cercle. Posons : La relation précédente s'écrit : α = a + i b β = c + i d z = + i y ( c) + ( y d) = λ ( a ) + ( y b ) ( - c ) + ( y d ) = λ [ ( a ) + ( y b ) ( λ ) ( + y ) ( c a λ ) ( d b λ ) y + c a λ + d b λ = 0 Pour λ = La relation ( λ ) ( + y ) ( c a λ ) ( d b λ ) y + c a λ + d b λ = 0 se réduit à : ( c a ) + ( d b ) y = c a + d b ( c a ) ( a+ c ) + ( d b ) ( y d + b ) = 0 Si l'on appelle A le point de coordonnées (a ; b), B le point de coordonnées (c ; d), M le point de coordonnées ( ; y ), I le milieu du segment AB, la relation précédente eprime que le produit scalaire des vecteurs IM et AB est nul : c'est l'équation de la médiatrice du segment AB. Pour λ La relation 7 Séance - 996

39 ( λ ) ( + y ) ( c a λ ) ( d b λ ) y + c a λ + d b λ = 0 s'écrit : c a λ λ + y d b λ c a λ = c a λ λ λ λ d b λ + d b λ λ λ = c ac a 4 c a λ + λ ( λ )( λ ) ( λ ) + d bd b 4 d b λ + λ ( λ )( λ ) ( λ ) ( c a) λ ( d b) λ = + λ λ c a λ λ + y d b λ λ = ( c a) +( d b) λ λ C'est l'équation d'un cercle de Centre : c = c a λ λ Rayon : r = ( c a) +( d b) y c = d b λ λ λ λ Le centre du cercle a pour affie γ = c + i y c = c a λ + i d b λ = β α λ λ λ λ Le centre du cercle est sur la droite AB : en effet, on a : c a λ c a a c a λ λ c a CA = = yc b = d b λ d b = = AB b λ d b λ λ λ c a λ c a c c c λ λ λ λ c a λ CB = = yc d = d b λ d b = = d λ λ d b λ λ λ CB = λ CA AB CA CB = 0 8 Séance - 996

40 / Résolution de l'équation λ n ( z α ) n ( z β ) n = 0 Posons Z = z β n. L'équation s'écrit Z = z α Les n solutions sont données par : ρ = λ λ n. Avec λ = λ e i θ 0 et Z = ρ e i θ, elle devient ρ n e n i θ = λ n e niθ 0 θ = θ 0 + k n π, k = 0,,, n Z = z β z α β donne alors z = α Z Z Z = λ e = β αλ e λ e k π i θ0 + n ikπ n ikπ n = λ e ikπ n z = β αλ e λ e ikπ n ikπ n k = 0,,, n Posons γ = β α λ, nous obtenons : λ λ γ α = ( β α ) et γ β = ( β α ) = λ ( γ α ) λ λ ikπ z γ = β αλ e n β α λ = ( β α ) ikπ ikπ λ λ e n λ e n ikπ λ e n z γ = ( β α ) λ λ ikπ z γ = ( β α ) λ e n λ λ z γ = ( γ α ) λ e ik π n = ( γ α ) Z k = 0,,, n Ces relations montrent que si z est solution de l'équation, alors z γ est toujours le même, quelle que soit la solution considérée et l'on a : λ z γ = β α = γ α λ λ On retrouve ainsi le fait que toutes les solutions sont sur un même cercle de centre le point d'affie γ λ de rayon β α λ 9 Séance - 996

41 0 Séance - 996

42 Eercice 4 Soit z C, z = + i y, (, y ) R, P ( z ) = z i z ( i ) z + + i. / Vérifiez que l'équation P ( z ) = 0 admet une solution réelle z 0 et une solution imaginaire pure z. Résoudre l'équation P ( z ) = 0. Calculez le module et l'argument des solutions z 0, z, z. / Dans le plan complee, soient M 0, M, M, les points d'affies respectives z 0, z, z. Calculez Z = z z0. Démontrez que Z =. Précisez la nature du triangle (M 0, M, M ). z z 0 Corrigé de l'eercice 4 / Solutions de l'équation P (z) = 0. Le polynôme P (z) peut être écrit : P (z) = ( z z + ) + i ( z + z + ) Sous cette forme, on voit tout de suite que z = est racine des deu polynômes ( z z + ) et ( z + z + ). Le polynôme P (z) admet donc la racine réelle z 0 = Si z est imaginaire pur, la partie réelle de P (z) = ( + i z ) + ( z i z z + i ) est + i z; Elle ne peut être nulle que pour z = i. Pour cette valeur de z, on a : z i z z + i = 8 i + i 6 i + i = 0 la partie imaginaire de P (z) est nulle elle aussi, donc P (z) = 0 et P (z) admet la racine imaginaire pure z = i On peut alors faire la division euclidienne de P (z) par le polynôme ( z z 0 ) ( z z ) = ( z ) ( z i ) = z ( + i ) z + i z i z ( i ) z + + i z ( + i ) z + i z + ( + i ) z i z z + ( i) 0 + ( i ) z ( + i) z + + i D'où : ( i ) z + ( i)( + i) z i ( i ) Et sous cette forme les trois racines apparaissent : P (z) = ( z ) ( z i ) ( z ( i ) ) z = de module et d'argument 0 z = i de module et d'argument π z = i de module et d'argument 4 π Séance - 996

43 / Points d'affies z 0, z, z Z = z z z 0 z 0 = i i = i i = ( i )( i ) ( i )( i ) Z = = = + 4 i i+ 4 + = 4 + i 5 Z = Cette relation montre que l'on a : z z 0 = z z 0 M 0 M = M M Le triangle M 0 M M est donc isocèle de sommet M 0. 0 Séance - 996

44 Eercice 5 Soit z l affie d un point M du plan complee. / Quel est l ensemble des points M vérifiant la relation z + + z = k, k étant une constante réelle? / Quelle condition doit vérifier k pour que le problème ait une solution? / Ecrire l équation de l ensemble des points M vérifiant la relation donnée. 4 / Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à,, 4, 5. Corrigé de l Eercice 5. / Ensemble des points dont la somme des distances à deu points fies est une constante. Il est bien connu qu un tel ensemble de points est une ellipse dont les foyers sont les deu points fies. Nous allons le montrer par le calcul. La relation z + + z = k, n a de solution que si k est une constante réelle positive supérieure ou égale à la distance des deu points fies A d affie et B d affie +. La somme des longueurs de deu côtés d un triangle est supérieure ou égale à la longueur du troisième côté (inégalité du triangle). Condition d eistence : k z + = ( + iy+ ) ( iy+ ) z = ( + iy ) ( iy ) z + + z = k ( + iy+ ) ( iy+ ) + ( + iy ) ( iy ) = k ( ( + iy+ ) ( iy+ ) + ( + iy ) ( iy ) ) = k [ ( + ) + y ] + [ ( ) + y ] + ( + iy+ ) ( iy+ ) ( + iy ) ( iy ) = k ( + y + ) + ( + y + ) ( + y + + ) = k 4 [ ( + y + ) 4 ] = [ k ( + y + ) ] 4 ( + y + ) 6 = 4 ( + y + ) + k 4 4 k ( + y + ) 4 ( k 4 ) + 4 k y = k ( k 4 ) Posons a = k, ou k = a. z + + z = k 6 ( a ) + 6 a y = 6 a ( a ) ( a ) + a y = a ( a ) Comme k est somme de deu nombres positifs dont l un au moins est différent de 0, d où a > 0. La relation a = 0 est alors équivalente à : a = Pour a =, on a : k =. z + + z = y = 0 et + + = Si, on a + = et = ; + + = = =. Si < < +, on a + = + et = ; + + = pour tout. Séance - 996

45 Si, on a + = + et = ; + + = = =. L ensemble des points M tels que + + = est donc le segment de droite joignant les points A ( ) et B (+). Pour a >, on a k >. Dans ce cas, la relation est équivalente à : ( a ) + a y = a ( a ) a + y a = C est l équation canonique : soit ellipse de demi-aes a et a si a >, ce qui est le cas ici. soit d une hyperbole de demi-aes a et a si a <. L ensemble des points M (z) vérifiant z + + z = k (k constante réelle supérieure ou égale à ) est d une ellipse : de foyers A ( ) et B (+) de demi-grand ae a = k sur l ae des de demi-petit ae b = a = k 4 Les coordonnées des points d intersection avec les aes sont : sur le grand ae (ae des ) : y = 0 et = ± a = ± k sur le petit ae (ae des y ) : = 0 et y = ± a = ± k 4 / Eemples. On peut alors tracer le dessin suivant : Séance - 996

46 Eercice 6 Soit z l affie d un point M du plan complee. / Quel est l ensemble des points M vérifiant la relation z + z = k, k étant une constante réelle? / Quelle condition doit vérifier k pour que le problème ait une solution? / Ecrire l équation de l ensemble des points M vérifiant la relation donnée. 4 / Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à,, 0,,. Corrigé de l eercice 6. / Ensemble des points dont les différences des distances à deu points fies est une constante. Il est bien connu qu un tel ensemble est une branche d hyperbole puisque cette propriété peut servir de définition de l hyperbole. Nous allons le montrer par le calcul. La relation : z + z = k est équivalente à : ( + iy+ ) ( iy+ ) ( + iy ) ( iy ) = k ( + ) + y ( ) + y = k L inégalité du triangle nous indique que la valeur absolue de la différence des longueurs de deu côtés d un triangle est inférieure ou égale à la longueur du troisième côté. On en déduit la condition suivante : Condition d eistence : k On peut supposer k 0, car si k est négatif, en posant k = k, on obtient : z z + = k soit, avec z = z : z + z = k On est ramené à l étude des points M (z ) dont la différence des distances au points A ( ) et B (+) est une constante positive k, et l on revient au points M (z) par symétrie par rapport au point O (0). Pour k 0, on a ( + ) + y ( ) + y et, sous ces restrictions, la relation : ( + ) + y ( ) + y = k est équivalente à la relation obtenue par passage au carrés : [ ( + ) + y ] + [ ( ) + y ] ( + ) + y ( ) + y = k ( + y + ) ( + ) + y ( ) + y = k relation équivalente à : ( + y + ) k et 4 ( + y + ) 6 = [ k ( + y + ) ] ( + y + ) k et 4 ( + y + ) 6 = 4 ( + y + ) + k 4 4 k ( + y + ) ( + y + ) k et 4 k ( + y + ) 6 = k 4 ( + y + ) k et 4 ( k 4 ) + 4 k y = k ( k 4 ) Pour k = 0, La solution est donnée par = 0 et y quelconque : c est l ae des y. Pour k =, 5 Séance - 996