PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation )

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1 PRODUIT SCLIRE I Produit scalaire : définition Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Soient et v deux vecteurs du plan. On considère trois points O, et tels que : O = u et O = v. On appelle produit scalaire du vecteur par le vecteur v le nombre réel noté u. v tel que : si = 0 ou v = 0, u. v = 0 si 0 et v 0 Soit le projeté orthogonal de sur (O) Si O et O sont de même sens :. v = O x O Si O et O sont de sens contraire :. v = - O x O v O s ( voir animation ) Soit θ l'angle O, c'est-à-dire l'angle que forment les vecteurs et v lorsqu'ils sont non nuls v v θ θ v θ O u O u O u Si θ est un angle aigu, le produit scalaire. v est positif Si θ est un angle obtus, le produit scalaire. v est négatif Si C et D sont deux points tels que CD = O, et si C' et D' sont les projetés orthogonaux de C et D sur (O), alors C'D' = O On dit que C'D' est le projeté orthogonal de CD sur (O). Configurations fondamentales O C D M P R N Q Si θ est un angle droit, le produit scalaire. v est nul ( est confondu avec O) O C' D' I J S C C D F E D O. O = O. OC = O. OD = O. O = O x O. MN =. PQ =. RS =. IJ = x IJ. CD =. EF = 0 Exercice 01 Soit CD un carré de centre O tel que = a. Déterminer en fonction de a les produits scalaires :. C ;. D ; OC. OD ; C. O ; OC. O ; D. O 1ère S Produit scalaire page 1 / 6

2 Exercice 02 On considère un triangle O avec O = 5 ; O = 3 et ( O ; O) = θ [2π] Faire une figure et calculer le produit scalaire O. O pour θ = π 3 ; θ = π 4 et θ = 5π 6 II Produit scalaire : autres expressions Propriété (voir démonstration 01) deuxième expression du produit scalaire Pour tous vecteurs et v non nuls on a :. v = v cos ( ; v ) s Rappel : et v désignent les normes (longueurs) respectives des vecteurs et v. L'expression. v = v cos ( ; v ) n'est pas vraiment fausse lorsque ou v est nul, car l'une des deux normes est nulle et le résultat est donc nul (mais l'angle ( ; v ) n'existe pas). Le produit scalaire peut aussi s'exprimer avec un angle géométrique non orienté, puisqu'il ne fait intervenir que le cosinus de l'angle (et le cosinus ne dépend pas de l'orientation). Propriété (voir démonstration 02) Pour tous vecteurs et v on a :. v = v. Exercice 03 Soit O un triangle. On considère le point ', projeté orthogonal de sur (O) et ' projeté orthogonal de sur (O). Montrer que O' x O = O x O' Si on exprime un produit scalaire projeter sur v que v sur.. v en utilisant une projection orthogonale, on peut aussi bien Exercice 04 Calculer le produit scalaire 1 ) = 3, C = 5 et C = π 6. C dans chacun des cas suivants : 2 ) = 1, C = 2 et (, C) = 2π 3 3 ) = 2, C = 2 et C = 3π 4 4 ) = 3, C = 2 et (, C) = π 4 Exercice 05 On considère un triangle équilatéral direct C tel que = a. Soit G son centre de gravité. Soient ', ', C' les milieux respectifs des segments [C],[C],[]. Calculer les produits scalaires :. C ; G. C ; G. G ; C. ' ; G'. G' Définition On dit que deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux lorsqu'ils forment un angle droit, c'est-à-dire lorsque ( ; v ) = π 2 [2π] ou ( ; v ) = - π 2 [2π]. Par convention le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs. v 1ère S Produit scalaire page 2 / 6

3 Propriété (voir démonstration 03) Deux vecteurs et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. c'est-à-dire : v u. v = 0 Propriété (voir démonstration 04) Pour tout vecteur, on a :. = 2 Notation : le produit scalaire de par est noté 2. On a donc 2 = 2 Propriétés (voir démonstration 05) Pour tous vecteurs, ', v, v' et pour tous réels α, α', β, β', on a : (α ). v =.(α v ) = α (. v ).( v + v' ) =. v +. v' (α + β v )(α' ' + β' v' ) = αα'. ' + αβ'. v' + βα' v. ' + ββ' v. v' En utilisant la propriété précédente, on peut justifier que :.(- v ) = (- ). v = - (. v ) ( + v ) 2 = 2 + v v ; ( - v ) 2 = 2 + v 2-2. v ; ( + v )( - v ) = 2 - v 2 Propriété (voir démonstration 06) troisième expression du produit scalaire Pour tous vecteurs et v on a :. v = 1 2 u + v v 2 Exercice 06 On considère un triangle C tel que = 7 ; C = 5 et C = 6. 1 ) Donner la valeur du produit scalaire. C. En déduire celle de. C 2 ) Soit le projeté orthogonal de C sur (). Déterminer la valeur de. 3 ) Déterminer une valeur approchée de la mesure en degrés de l'angle C. 4 ) Vérifier les résultats des deux questions pécédentes en faisant une figure avec GeoGebra. Exercice 07 - v v 2 = -. v. 1 ) Justifier que pour tous vecteurs et v on a : ) En déduire que dans un parallélogramme la somme des carrés des deux diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés. s On peut aussi justifier que. v = 1 2 Si (O ; i, j ) est un repère orthonormé du plan, on a : i. i = i 2 = i 2 = 1 ; 2 + v v 2 = v v 2 j. j = j 2 = j 2 = 1 ; i. j = 0 et j. i = 0 Propriété (voir démonstration 07) quatrième expression du produit scalaire Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j ). Soient u (x ; y) et v (x' ; y'). On a : u. v = xx' + yy' En appliquant la relation précédente au produit scalaire 2 =., on retrouve l'expression = x 2 + y 2 ; x et y étant les coordonnées de dans un repère orthonormé. 1ère S Produit scalaire page 3 / 6

4 Exercice 08 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j ). On considère les points (-3 ; -1) ; (2 ; 1) et C(1 ; 4). 1 ) Calculer. C. En déduire une valeur approchée de la mesure en degrés de l'angle C. 2 ) Déterminer de même des valeurs approchées des mesures en degrés des angles C et C. Vérifier en calculant la somme des mesures des trois angles. Propriété (voir démonstration 08) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j ). Soient (x ; y) et v (x' ; y'). et v sont orthogonaux si et seulement si : xx' + yy' = 0. Ne pas confondre avec la condition de colinéarité : xy' - yx' = 0. Exercice 09 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j ). Soient (2 ; 1) v (3 ; -6) w (1 ; 3) 1 ) Calculer. v que peut-on en déduire pour les vecteurs et v? 2 ) Calculer. w ; ; w. Que peut-on en déduire pour l'angle ( ; w )? Exercice 10 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j ). On considère les points (1 ; -1) ; (3 ; 3) ; C(-4 ; 4) et D(2 ; 1). Montrer que les droites () et (CD) sont perpendiculaires. Exercice 11 Le plan est rapporté à un repère orthonormé. k est un réel. Soit (k ;-5) et v (2k- 1 ; k + 4). Existe-t-il des valeurs du réel k pour lesquelles u v? III pplications Exercice 12 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j ). On considère le vecteur de coordonnées (2 ;-3) et le point de coordonnées (1 ; 2). 1 ) Faire un dessin. Représenter l'ensemble d des points M du plan tels que M 2 ) Démontrer que d est une droite dont on donnera une équation.(on dit que est un vecteur normal à D) Définition On appelle vecteur normal à une droite d, tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de d. n n d Si n est un vecteur normal à d, alors l'ensemble des vecteurs normaux à d est l'ensemble des vecteurs non nuls colinéaires à n. 1ère S Produit scalaire page 4 / 6

5 Propriété (voir démonstration 09) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ). La droite d passant par (x ; y ) et ayant pour vecteur normal le vecteur n (a ; b) est l'ensemble des points M(x ; y) tels que M. n = 0. Elle a pour équation a(x - x ) + b(y - y ) = 0. Une droite d ayant pour vecteur normal le vecteur n (a ; b) a une équation de la forme ax + by + c = 0. Une droite d ayant une équation de la forme ax + by + c = 0 a pour vecteur normal le vecteur n (a ; b). Exercice 13 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ). 1 ) On considère le point (2 ; -3) et le vecteur n (3 ; 5). Soit M un point de coordonnées (x ; y). Déterminer les coordonnées du vecteur M. En déduire l'équation de la droite d 1 passant par et de vecteur normal n. 2 ) Déterminer l'équation de la droite d 2 passant par (3 ; 2) et de vecteur normal v (1 ; -3). 3 ) Déterminer l'équation de la droite d 3 passant par C(-1 ; 4) et de vecteur directeur (4 ; 2). Exercice 14 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ), on considère la droite d d'équation 2x + 3y - 5 = 0 1 ) Déterminer les coordonnées d'un vecteur n normal à d. 2 ) Déterminer les coordonnées de deux points et de d. 3 ) Calculer le produit scalaire n.. Exercice 15 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j ), on considère (1 ; 3) ; (2 ; 0) et C(-3 ; 1). 1 ) Déterminer une équation de la hauteur issue de du triangle C. 2 ) Déterminer une équation de la hauteur issue de du triangle C. En déduire les coordonnées de l'orthocentre du triangle C. 3 ) Vérifier le résultat en utilisant le logiciel GeoGebra. Propriété Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ) le cercle de centre Ω(α ; β) et de rayon r est l'ensemble des points M tels que ΩM = r ou encore ΩM 2 = r 2 Cette égalité permet de trouver son équation : (x- α) 2 + (y- β) 2 = r 2 le cercle de diamètre [] est l'ensemble des points M tels que M. M = 0. Cette égalité permet de trouver son équation : (x- x )(x- x ) + (y- y )(y- y ) = 0 r Ω M Exercice 16 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ), on considère les points (1 ; 2) et (4 ;-2). 1 ) Déterminer l'équation du cercle de diamètre []. Justifier que ce cercle passe par O. 2 ) En écrivant la forme canonique de x 2-5x, déduire de la question précédente que le cercle de diamètre [] a pour équation : x y 2 = ) Retrouver ce résultat en déterminant la distance et les coordonnées du milieu de []. Exercice 17 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ). 1 ) Déterminer l'équation du cercle (C) de centre Ω(1 ; 2) et de rayon R = ) Montrer que (5 ; 4) est sur le cercle (C). 3 ) Déterminer une équation cartésienne de la tangente au cercle (C) en. 4 ) Faire une figure avec GeoGebra. 1ère S Produit scalaire page 5 / 6

6 Propriété (voir démonstration 10) Soient et deux points et I le milieu du segment []. Pour tout point M on a : M 2 + M 2 = 2 MI Exercice 18 Deux points et sont tels que = 4. 1 ) Déterminer l'ensemble des points M tels que : M 2 + M 2 = 26 2 ) Donner, suivant les valeurs du réel k, l'ensemble des points M tels que : M 2 + M 2 = k. I M Exercice 19 pplication à la trigonométrie : Démonstration des formules d'addition Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; i, j ). Soient a et b deux nombres réels. On considère et deux points du cercle trigonométrique images respectives des deux réels a et b. On a ainsi ( i ; O) = a [2π] et ( i ; O) = b [2π]. 1 ) Déterminer en fonction de a et b une mesure de l'angle ( O ; O). En déduire en fonction de a et b, le produit scalaire O. O. 2 ) Donner dans le repère (O ; i, j ) les coordonnées de et. En déduire une autre expression de O. O 3 ) En comparant les deux expressions du produit scalaire obtenues, démontrer que : cos (a- b) = cos a cos b + sin a sin b 4 ) En déduire que cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b et sin (a- b) = sin a cos b - cos a sin b Exercice 20 1 ) On considère un triangle C. En écrivant = C + C, démontrer la relation : 2 = C 2 + C 2-2 C x C x cos C Cette relation appelée "formule d'l-kashi" peut aussi être écrite sous la forme : c 2 = a 2 + b 2-2ab cos γ en notant a, b, c les côtés du triangle et α, β, γ les angles opposés respectifs. Elle reste valable lorsque l'on échange les côtés c'est-à-dire que l'on peut aussi écrire : b 2 = a 2 + c 2-2ac cos β et a 2 = b 2 + c 2-2bc cos α 2 ) Que donne la formule d'l-kashi dans le cas d'un angle droit? La formule d'l-kashi est parfois appelée théorème de Pythagore généralisé. 3 ) C est un triangle tel que = 3 ; C = 8 et C = 22. Donner une valeur approchée de C. En déduire des valeurs approchées des autres angles du triangle. Retrouver ces valeurs en utilisant le logiciel GeoGebra. Exercice 21 Soit C un triangle. On note : C = a ; C = b ; = c ; C = α ; C = β ; C = γ 1 ) Soit le pied de la hauteur issue de dans le triangle C. Justifier que = x sin α. En déduire que l'aire du triangle C est donnée par: = 1 bc sin α. 2 Justifier que l'on a aussi = 1 2 ac sin β = 1 ab sin γ. En déduire l'égalité sin 2 (Cette égalité est connue sous le nom de "relation des sinus" ) 2 ) C est un triangle tel que = 3 ; C = 22 et C = 43. Donner une valeur approchée de C et de C. α a = sin β b = sin γ c Exercice 22 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ). Soient (1 ; 1) et (3 ; 5). 1 ) Déterminer une équation du cercle C de diamètre []. 2 ) Déterminer une équation de la droite d passant par D(6 ; 0) et perpendiculaire à []. 3 ) Déterminer le nombre de points d'intersection de d et de C et détermienr les valeurs exactes des coordonnées de ces points. 4 ) Faire une figure avec GeoGebra. 1ère S Produit scalaire page 6 / 6