BREVET BLANC 14 Février Epreuve de mathématiques Durée : 2 heures. Partie I : Activités numériques (12,5 points)
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- Coraline Chabot
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1 BREVET BLANC 14 Février 008 Epreuve de mathématiques Durée : heures Les calculatrices sont autorisées ainsi que les instruments usuels de géométrie. Le respect de l orthographe, la qualité de la rédaction et celle de la présentation constituent des éléments d appréciation de la copie qui seront notés sur points. Partie I : Activités numériques (1,5 points) 1. Effectuer les calculs de A et B en indiquant les étapes ; donner les résultats sous forme d une fraction irréductible : A = et B = Effectuer les calculs de C et D en indiquant les étapes ; donner les résultats sous la forme a + b 5, où a et b sont deux entiers relatifs : C = et D = ( 5 + )² + ( 5-1)( 5 + 1). Exercice. On considère l expression E suivante E = (5x 7)(x 3) - (x - 3)². 1. Développer et réduire E.. Factoriser E. 3. Calculer E pour x = 0, puis pour x = 3. Exercice et 4 sont-ils premiers entre eux? Expliquer pourquoi.. Calculer le PGCD des nombres 88 et 4 en expliquant la méthode utilisée. 3. Ecrire la fraction 4 sous forme irréductible Un photographe doit réaliser une exposition en présentant ses œuvres sur des panneaux contenant chacun le même nombre de photos de paysages et le même nombre de portraits. Il dispose de 4 photos de paysage et de 88 portraits. Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos? Combien chaque panneau contient-il de paysages et de portraits?
2 Partie II : Activités géométriques (13,5 points) Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois (dessin ci-contre). 1. En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS.. Calculer les longueurs SM et SN. 3. Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol. Exercice. Soit [IJ] un segment et M un point du cercle de diamètre [IJ]. Faire une figure. 1. Que dire de l'angle IMJ? Justifier.. Construire le point K tel que MK= IM. 3. Construire le point L tel que JL= JI+ JK. 4. Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme particulier. Préciser sa nature et justifier. Exercice 3. Sur la figure ci-contre les droites (SF) et (TE) sont parallèles. Les points R, S et T sont alignés dans cet ordre. Les points R, F, E et G sont alignés dans cet ordre. SR = cm et ST = 4 cm. RF = 1,5 cm et EG = 7,5 cm. G 7,5 cm T E 4 cm S F cm R 1,5 cm 1. Démontrer que : RE = 4,5 cm.. Les droites (ES) et (TG) sont-elles parallèles? Justifier.
3 NUMERO DE CANDIDAT : FEUILLE A JOINDRE A VOTRE COPIE Partie III : Problème (1 points) Voici la répartition par âge des membres d un club d échec à Caen. Effectifs Âges (en années) 1. Compléter le tableau ci-dessous : Âges (en années) Effectifs Effectifs cumulés croissants Fréquences (en %) Angles du diagramme circulaire (en ). a. Combien de membres ont au moins 16 ans? b. Calculer le pourcentage de membres ayant un âge inférieur à 16 ans? 3. Construire un diagramme circulaire représentant la répartition des membres selon leur âge ; on prendra un rayon de 4 cm. 4. Quelle est l étendue de cette série statistique? 5. Déterminer la médiane de cette série statistique, puis traduire par une phrase ce résultat. 6. Calculer l âge moyen des membres de ce club d échec. 7. Quel âge devrait avoir un 6 ème membre pour que l âge moyen de ce club soit exactement 16 ans?
4 CORRECTION DU BREVET BLANC DU 14 FEVRIER 008 Partie I : Activités numériques ( 1,5 points) 1. A = = = = = 8 = 1 14 B = = = = 10-3-(-) = 10-1 = 10 = 1 5. C = = = C = = D = ( 5 + )² + ( 5-1)( 5 + 1) = ( 5)² ² + ( 5)²- 1² D = = Exercice. 1. E = (5x 7)(x 3) - (x - 3)²=(10x² - 15x 14x + 1) (4x²- 1x + 9) E = 10x² - 9x + 1 4x² + 1x 9 = 6x²- 17x + 1. E = (5x 7)(x 3) - (x - 3)² = (x 3) [(5x 7) (x 3)] E = (x 3) (5x 7 x + 3) = = (x 3) ( 3x 4) 3. Pour x = 0, E = 6 0² = 1. Pour x = 3, E = ( 3-3) (3 3-4) = (3 3) ( 9-4) = 0 ( 9-4) = 0. Exercice et 4 sont deux nombres pairs ; ils sont donc divisibles par. On en déduit que 88 et 4 ne sont pas premiers entre eux.. Pour calculer le PGCD(88 ; 4), on peut utiliser l algorithme d Euclide. 88 = < 4 4 = < 64 Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé, 64 = < 3 donc PGCD(88 ; 4) = On simplifie la fraction par PGCD(88 ; 4) ; 4 88 = = Comme PGCD(88 ; 4) = 3, le photographe peut réaliser au maximum 3 panneaux. De plus 4 : 3 = 7 et 8 : 3 = 9 ; sur chaque panneau, il y aura 7 photos de paysage et 9 photos de portrait.
5 Partie II : Activités géométriques ( 13,5 points) 1. Le triangle ABS est rectangle en B. D après le théorème de Pythagore, on a : AS² = AB² + BS² ; AS² =,5² + 6² ; AS² = 6,5 + 36; AS² = 4,5; AS = 4,5 ; AS = 6,5 m.. SM = AS AM = 6,5 1,95 = 4,55 m et SN = BS BN = 6 1,8 = 4, m. 3. Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en S. Les points S, M, A d une part et les points S, N, B d autre part sont alignés dans le même ordre. SM SA = 4,55 6,5 = 0,7 et SN SB = 4, SM = 0,7 donc 6 SA = SN SB. D après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles. Donc [MN] est bien parallèle au sol. Exercice.. et M est un point du cercle de diamètre [IJ] donc l angle IMJ est droit. 4. JL = JI + JK ; d après la règle du parallélogramme, IJKL est un parallélogramme. K est tel que MK = IM donc M est le milieu de [IK]. Comme les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu, on en déduit que les diagonales de IJKL se coupent en M. D après 1., IMJ est droit donc les diagonales du parallélogramme IJKL sont perpendiculaires. Donc IJKL est un losange. Exercice Les droites (TS) et (EF) sont sécantes en R. Les droites (SF) et (TE) sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a : RS RT = RF RE = SF d où TE On obtient RE = 6 1,5 = 4,5 cm. 6 = 1,5 RE = SF TE.. Les droites (TS) et (GE) sont sécantes en R. Les points T, S, R d une part et les points G, E, R d autre part sont alignés dans le même ordre. RS RT = 6 = 1 3 et RE RG = 4,5 1 = = 3 8 donc RS RT RE RG. Donc, d après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (ES) et (TG) ne sont pas parallèles.
6 Partie III : Problème (1 points) 1. Âges (en années) Effectifs Effectifs cumulés croissants Fréquences (en %) Angles du diagramme circulaire (en ) 43, 7 43, 100,8 7 8,8. a. Il y a 14 membres du club qui ont au moins 16 ans. b = 44 ; 44 % des membres ont un âge inférieur à 16 ans. 3. Répartition par âge des membres d'un club d'échec à Caen 13 ans 14 ans 15 ans 16 ans 17 ans 18 ans 4. L étendue de cette série statistique est de 5 années. 5. L effectif total est de 5. La médiane est la valeur du 13 ème effectif. D après le tableau, l âge médian est de 16 ans ; ce qui signifie que la moitié des membres du club ont 16 ans ou moins et que l autre moitié à 16 ans ou plus. 6. M = L âge moyen est de 15,48 ans. = = 15, Si l âge moyen de ce club est de 16 ans pour 6 membres, alors ils ont à eux tous 16 6 = 416 ans. D après le 6. les 5 membres du club cumulent un total de 387 années = 9. Donc, le 6 ème membre doit avoir 9 ans pour que l âge moyen de ce club soit exactement 16 ans.
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