1 Fonctions trigonométriques : Formules à connaître.

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1 Université de Provence Mathématiques Générales - Parcours PEI Fonctions Usuelles Fonctions trigonométriques : Formules à connaître. Formules de duplication. Pour tous x, y R, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y Pour tous x, y R tels que x, y et x + y ne soient pas de la forme π + kπ avec k Z, Pour tout x R, tan(x + y) = tan x + tan y tan x tan y. cos x = cos x = cos x sin x = sin x, sin x = sin x cos x. Pour tout x R qui n est pas de la forme π + kπ avec k Z et pas de la forme π 4 + k π avec k Z tan x = Formules de linéarisation. Pour tout x R, cos x = + cos x tan x tan x. sin x = cos x. Formules de déphasage. Pour tout x R, ( π ) ( π ) cos x = sin x sin x = cos x. Pour tout x R qui n est pas de la forme k π avec k Z, ( π ) tan x = tan x. Pour tout x R, cos(π x) = cos x, sin(π x) = sin x, cos(π + x) = cos x sin(π + x) = sin x. Pour tout x R qui n est pas de la forme π + kπ avec k Z, tan(π x) = tan x, tan(x + π) = tan x. Limites et dérivées. sin x lim x x =.

2 Les fonctions sin et cos sont dérivables sur R et, pour tout x R, sin (x) = cos x, cos (x) = sin x. Pour tout k Z, la fonction tan est dérivable sur l intervalle ] π + kπ, π + kπ[ et, pour tout x dans cet intervalle, tan (x) = cos x = + tan x. Fonctions trigonométriques réciproques.. La fonction arc sinus. Définition. [ π, π ] dans [, ]. La fonction ϕ : [ π, π ] x sin x [, ] est une bijection continue et dérivable de Pour tout élément y de [, ] il existe donc un unique x [ π, π ] tel que sin x = y. Cet élément x est appelé l arc sinus de y et on note x =arc sin y. En particulier, on a y [, ], sin(arc sin y) = y et x [ π, π ], arc sin(sin x) = x. La fonction sinus étant dérivable sur [ π, π ], et sa dérivée ne s annulant pas sur ] π, π [, on en déduit que arc sin est dérivable sur [, ] privé des points ϕ( π ) = et ϕ( π ) =. En particulier, arc sin est dérivable sur ], [, et pour tout y ], [, comme sin(arc sin y) = y, on obtient, en dérivant, arc sin (y) sin (arc sin y) =, soit encore arc sin (y) = cos(arc sin y). Or, pour y ], [, cos(arc sin y) car arc sin y ] π, [ π. On en déduit que, pour y ], [, cos(arc sin y) = sin (arc sin y) = y, donc y ], [, arc sin (y) = y.

3 D où le graphe de la fonction arc sinus :. La fonction arc cosinus. Définition. La fonction ψ : [, π] x cos x [, ] est une bijection continue et dérivable de [, π] dans [, ]. Pour tout élément y de [, ] il existe donc un unique x [, π] tel que cos x = y. Cet élément x est appelé l arc cosinus de y et on note x =arc cos y. En particulier, on a y [, ], cos(arc cos y) = y et x [, π], arc cos(cos x) = x. La fonction cosinus étant dérivable sur [, π], et sa dérivée ne s annulant pas sur ], π[, on en déduit que arc cos est dérivable sur [, ] privé des points ψ() = et ψ(π) =. En particulier, arc cos est dérivable sur ], [, et pour tout y ], [, comme cos(arc cos y) = y, on obtient, en dérivant, arc cos (y) cos (arc cos y) =, soit encore arc cos (y) = sin(arc cos y). Or, pour y ], [, sin(arc cos y) car arc cos y ], π[. On en déduit que, pour y ], [, sin(arc cos y) = cos (arc cos y) = y, donc y ], [, arc cos (y) =. y 3

4 D où le graphe de la fonction arc cosinus :.3 La fonction arc tangente. Définition. La fonction φ :] π, π [ x tan x R est une bijection continue et dérivable de ] π, π [ dans R. Pour tout élément y de R il existe donc un unique x ] π, π [ tel que tan x = y. Cet élément x est appelé l arc tangente de y et on note x =arc tan y. En particulier, on a y R, tan(arc tan y) = y et x ] π, π [, arc tan(tan x) = x. La fonction tangente étant dérivable sur ] π, π [, et sa dérivée ne s annulant pas, on en déduit que arc tan est dérivable sur R. Pour tout y R, comme tan(arc tan y) = y, on obtient, en dérivant, arc tan (y) tan (arc tan y) =, soit encore arc tan (y) = tan (arc tan y) = + tan (arc tan y). On en déduit que y R, arc tan (y) = + y. 4

5 D où le graphe de la fonction arc tangente : 3 La fonction exp. Proposition. Pour tout x, et pour tout n N, e x + x! + x! + + xn n! Preuve. On le prouve par récurrence sur n N. Pour n = et pour x, nous avons donc la propriété est vraie. e x Supposons qu elle soit vraie au rang n, c est-à-dire que t, et montrons qu elle est vraie au rang n +. e t + t! + t! + + tn n!, En intégrant cette inégalité entre et x, nous avons x x ) x, e t t dx ( + + t!! + + tn dt = n! Or, comme pour k N, on a x x t k xk+ dt = k! (k + )!, 5 x t x dt +! dt + t x! dt + + t n n! dt.

6 on en déduit, comme d une part et que d autre part, x, x e t dx = e x que x x dt + t x! dt + t x! dt + + x, t n x dt = x + n!! + x3 3! + + xn+ (n + )!, e x x + x! + x3 3! + + xn+ (n + )!. Ceci montre que la propriété est vraie au rang n +. On a donc prouvé la proposition par récurrence sur n N. Proposition. Nous avons les limites suivantes : α >, e x lim x + x α = +, lim x + ln x =, lim xα x + xα ln x =. Preuve. Prouvons la première limite. Soit α > et soit n un entier strictement plus grand que α. En appliquant la proposition précédente, nous avons donc car n α >. x, x, e x + x + + xn n! xn n!, e x x α xn α n! + x + Prouvons la seconde limite. Posons β = /α. Comme β >, nous avons e u lim u + u β = +. En particulier, si on pose u = ln x, alors quand x +, on a u +. Donc (ln x) e (ln x) β = On en déduit en prenant la puissance α ième que ( x donc que ln β x x ln β x ) α = xα ln βα x = xα ln x x x α ln x x α +. x +. x + +, x + Prouvons la troisime limite. Si on pose u = /x, alors quand x +, on a u +. On en déduit que ln ( ) = x α ln x, x + et la proposition est prouvée. 6

7 4 Fonctions hyperboliques. Définition. On appelle sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique les trois fonctions notées sh, ch et th et définies sur R par x R, sh x = ex e x, ch x = ex + e x, th x = sh x ch x. On vérifie immédiatement que ces trois fonctions sont dérivables sur R et que ch = sh sh = ch th = ch. La fonction ch est paire, les fonctions sh et th sont impaires. Comme la fonction ch est à valeurs dans [, + [, on en déduit que sh est strictement croissante sur R, nulle en, que lim + sh = +, lim sh =. La fonction ch est donc strictement décroissante sur R, vaut en, et est strictement croissante sur R +. De plus lim ± ch = +. La fonction th est strictement croissante sur R, nulle en. De plus, et x R, x R, th x = sh x ch x = ex e x e x e x = + e x + e x x + + =. th x = ex e x e x + e x = ex e x + x + =. Voici le graphe de ces trois fonctions : 7

8 Formule importante. Pour tout x R, ch x sh x =. Preuve. En effet, si x R, ( e ch x sh x + e x + e x e x )( e x + e x e x + e x ) x = (ch x+sh x)(ch x sh x) = = (e x ) ( e x) =. 5 Fonctions hyperboliques réciproques. 5. La fonction argument sinus hyperbolique. Définition. La fonction ϕ : R x sh x R est une bijection continue et dérivable de R dans R. Pour tout élément y de R il existe donc un unique x R tel que sh x = y. Cet élément x est appelé l argument sinus hyperbolique de y et on note x =arg sh y. En particulier, on a y R, sh (arg sh y) = arg sh (sh y) = y. La fonction sinus hyperbolique étant dérivable sur R et sa dérivée ne s annulant pas, on en déduit que arg sh est dérivable sur R, et pour tout y ], [, comme sh (arg sh y) = y, on obtient, en dérivant, arg sh (y) sh (arg sh y) =, soit encore arg sh (y) = ch (arg sh y). Or, pour y R, ch (arg sh y). Comme ch sh =, on en déduit que, pour y R, ch (arg sh y) = + sh (arg sh y) = + y, donc y R, arg sh (y) = + y. D où le graphe de la fonction argument sinus hyperbolique : 8

9 5. La fonction argument cosinus hyperbolique. Définition. La fonction ψ : R + x ch x [, + [ est une bijection continue et dérivable de R + dans [, + [. Pour tout élément y de [, + [ il existe donc un unique x R + tel que ch x = y. Cet élément x est appelé l argument cosinus hyperbolique de y et on note x =arg ch y. En particulier, on a et y [, + [, x R +, ch (arg ch y) = y arg ch (ch x) = y La fonction cosinus hyperbolique étant dérivable sur R et sa dérivée ne s annulant pas, hormis en, on en déduit que arg ch est dérivable sur [, + [ privé de ψ() =, et pour tout y ], + [, comme ch (arg ch y) = y, on obtient, en dérivant, arg ch (y) ch (arg ch y) =, soit encore arg ch (y) = sh (arg ch y). Or, pour y ], + [, sh (arg ch y). Comme ch sh =, on en déduit que, pour y ], + [, sh (arg ch y) = ch (arg sh y) = y, donc y ], + [, arg ch (y) = y. D où le graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique : 9

10 5.3 Expressions explicites des fonctions hyperboliques réciproques. Proposition. y R, y R, ( arg sh y = ln y + ) y + ( arg ch y = ln y + ) y Preuve. En effet, si y et x dans R sont tels que e x e x = y, en posant X = e x, on a X /X = y, ce qui équivaut après multiplication par X > à La résolution des équations de degré montre que X yx =. X = y y + ou bien X = y + y +. Or la première solution est strictement négative car, pour tout y R, y < y +. Comme X doit être strictement positif et que la seconde solution l est car y + > y, on en déduit que X = y + y +, donc que x = ln X = ln(y + y + ). Ceci achève la preuve du premier point. Pour le second point, si y [, + [ et x R + sont tels que e x + e x = y, en posant X = e x, on a X + /X = y, ce qui équivaut après multiplication par X > à La résolution des équations de degré montre que X yx + =. X = y y ou bien X = y + y. Supposons y >. Comme x >, on en déduit que X = e x >. Il faut donc voir laquelle des deux solutions est strictement plus grande que. Or la première solution est, pour y >, strictement inférieure à. En effet, si ce n est pas le cas, on a alors y y y y (y ) y (car y > ) ce qui est absurde. y y + y y y Par contre, la seconde solution est, pour y >, strictement supérieure à car y + y y >. On en déduit que X = y + ( y, donc que x = ln X = ln y + ) y. Ceci achève la preuve du second point.

11 5.4 Fonction argument tangente hyperbolique. Définition. La fonction θ : R x th x ], [ est une bijection continue et dérivable de R dans ], [. Pour tout élément y de [, [ il existe donc un unique x R tel que th x = y. Cet élément x est appelé l argument tangente hyperbolique de y et on note x =arg th y. En particulier, on a et y ], [, x R, th (arg th y) = y arg th (th x) = y La fonction tangente hyperbolique étant dérivable sur R et sa dérivée ne s annulant pas, on en déduit que arg th est dérivable sur ], [, et pour tout y ], + [, comme th (arg th y) = y, on obtient, en dérivant, arg th (y) th (arg th y) =, soit encore arg th (y) = ch ch (arg th y) (arg th y) = ch (arg th y) sh (arg th y) = th (arg th y) = y. D où le graphe de la fonction argument tangente hyperbolique :

12 Proposition. y R, arg th y = ( ) + y ln. y Preuve. En effet, si y et x dans R sont tels que e x e x e x = y, + e x en posant X = e x, on a X /X = y, ce qui équivaut après multiplication par X > en haut et en bas X + /X à X X + = y soit encore à X = yx + y X ( y) = + y X = + y y. Comme X >, nous obtenons donc puis X = + y y, x = ln X = ( ) + y ln. y 5.5 Formules de duplication. Nous avons les formules suivantes, valables pour tous x, y R : e x = ch x + sh x e x = ch x sh x ch x sh x = ch (x + y) = ch xch y + sh xsh y ch (x y) = ch xch y sh xsh y Pour tous réels p et q : sh (x + y) = sh xch y + ch xsh y th (x + y) = th x + th y + th xth y sh (x y) = sh xch y ch xsh y th (x y) = th x th y th xth y ch (x) = ch x + sh x = ch x = + sh x. sh (x) = ch xsh x th x = th x + th x ch p + ch q = ch p + q ch p q ch p ch q = sh p + q sh p q sh p + sh q = sh p + q ch p q sh p sh q = sh p q ch p + q. Formule de Moivre : Pour tout entier naturel n et pour tout réel x : (ch x + sh x) n = ch nx + sh nx (ch x sh x) n = ch nx sh nx.