2 Produit scalaire - Exercices

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1 6 Edton / DELM Géométre métrqe Prodt scalare - Exercces Les exercces dont le nméro content la lettre A, par exemple -A1, sont des exercces complémentares destnés ax élèves d nvea avancé. Lens hypertextes Cors correspondant de nvea avancé: Cors de nvea standard: Exercces de nvea standard: Spports de cors de mathématqes, nvea secondare II (page mère): Norme d'n vecter, vecter ntare - 1 On donne les coordonnées des ponts A, B, C dans n repère orthonormé O,, j. Calclez le pérmètre d trangle ABC. a) A1;, B; 0, C; 1; b) A;, B 7 ; 11, C10;. - Dans n repère orthonormé O,, j, on donne A;, B6;, C7;. Calclez l'are d trangle ABC. - La base, j est orthonormée. Calclez les normes des vecters svants: a j, b j, c 4 j, d a c, e c b, f 4 a b c, c, 7 c, k c où k. - 4 Par rapport à la base orthonormée, j, on donne a, b 6, c, d a b. Détermnez les composantes des vecters ntares lnéarement dépendants de chacn des vecters donnés.

2 7. Prodt scalare de dex vecters Dans les exercces q svent, le plan est mn d'n repère orthonormé O,, j q est orthonormé. - On donne le polygone ABCDEF. E F B D A C Représentez graphqement les angles svants: Α 1 AB, BC, Α BC, CD, Α CD, DE, Α 4 EF, CD, Α AF, BC, Α 6 FA, AB. Por chaqe angle, ndqez s'l est ag, drot o obts. - 6 Calclez le prodt scalare v dans les cas svants: a), v 7,, v 60. b) 8, v,, v 1. c), v 6. d) 8, v a) On donne 1, v et v 10. Calclez, v. b) On donne, v 10, v et v 0. Calclez. c) On donne, v 78, et v 0. Calclez v. d) On donne v et v 0. Calclez et, v. e) On donne, v y et v. Calclez y.

3 8-8 Le trangle ABC est tel qe c, a et BA BC. Calclez la mesre de l'angle Β ans qe la longer d côté b. - 9 ABC est n trangle socèle où AC BC cm et AB 8 cm. Calclez les prodts scalares CA CB et BC BA ABCD est n carré de côté a et de centre O. Calclez les prodts scalares AB AD, AB CD, AB AC et OB CO Démontrez la proposton svante: 1 v v v. Indcaton: développez le carré scalare v v... Drectve Dans les exercces q svent, a le de fare appel a théorème d cosns, tlsez les proprétés d prodt scalare. - A 1 Un trangle ABC est tel qe c, a et Β 1. Calclez les prodts scalares BA BC, AB BC, AB AC et CA CB. - A Les vecters a, b, c sont tels qe a, b 4 et c. De pls a, b 60, a, c 180 et c, b 10. Calclez le prodt scalare v dans chacn des cas svants: a) a b, v a b ; b) 9a 1b, v b c ; c) a b, v b c ; d) a b 4 c, v a b c. - A ABC est n trangle éqlatéral de côté 1. Les ponts O, D, E sont défns par BO 1 AB, AD 1 AC, CE 1 BC. Calclez les prodts scalares OD BC, OE CA, DE AB et AB OE.

4 9 - A 4 ABC est n trangle éqlatéral de côté a a 0. Les ponts O, D, E sont défns par BO 1 AB, CD 1 AC, BE k BC où k Ε. 4 a) Exprmez, en foncton de k, le prodt scalare EO ED. b) Calclez les valers de k por lesqelles l'angle OED est drot. c) Par la méthode d cercle de Thalès, détermnez graphqement les ponts E d'où l'on vot le segment OD sos n angle drot. - A On donne le trapèze ABCD tel qe AB 14, AD 6, DC 1 et AD AB. Détermnez la poston d'n pont P de AB tel qe le trangle DPC sot rectangle en P. - A 6 ABCD est n rectangle. On pose AB a et AD b. Détermnez l'ensemble des ponts P sr la drote DC tels qe l'angle APB est drot. Dsctez en foncton des données a, b. - A 7 Démontrez les propostons svantes (négaltés de Cachy-Schwarz): a) v v 0. Indcaton: écrvez en composantes ps développez. b) v v v. Indcaton: tlsez la défnton d prodt scalare. - A 8 Par ne méthode algébrqe, démontrez la proposton svante (négalté d trangle): v v v. Indcaton: tlsez les propostons des exercces -A7b et A 9 Sot 4. Détermnez les vecters v, w por qe v w et v w 0. Représentez graphqement la staton. - A 10, v, w sont tels qe, v, w 1, v et w 6. Qelles sont les valers possbles por v w? Représentez graphqement la staton. Indcaton: tlsez ne base orthonormée dont le premer vecter est n mltple de. - 1 Dans chacn des cas svants, dtes s les dex vecters sont orthogonax. Snon, calclez l'angle entre les vecters:

5 10 a) 4 j et v j. b) 1 et v 4. c) et v Sot, v 1, w 4 1, z 1. a) Calclez les prodts scalares v, v w, w z. b) Calclez v w, v w z, v z. c) Calclez les angles, v, v, w, w, z, v, w Détermnez, dans chacn des cas, la o les valers de x por qe les vecters et v soent orthogonax: a) 1 et v 6 1 x. b) x 1 x et v x. c) x 1 et v x x On donne a b, v 1. Détermnez a, b por qe 8 et v. Représentez graphqement la staton a) On donne a b, v. Détermnez a, b afn qe, v soent lnéarement dépendants et. b) On donne a b, v. Détermnez a, b afn qe, v soent orthogonax et Soent A6; 8, B; 4, C9; les sommets d'n trangle. G est le centre de gravté d trangle. a) Détermnez les coordonnées de G. b) Vérfez l'égalté GA GC GA GB GA. c) Calclez la mesre de l'angle AGB.

6 11-18 Par rapport à la base orthonormée, j, on donne le vecter j. Détermnez ne novelle base orthonormée a, b telle qe a at la même drecton et le même sens qe et b sot l'mage de a par ne rotaton de 90 dans le sens drect.. Projectons orthogonales - A 11 Dans la base orthonormée, j, on donne le vecter v j. a) Calclez P v, P j v, P j v et représentez graphqement la staton. b) Sot n vecter ntare mltple de v. Dédsez de la parte a) les projectons P, P j, P j. - A 1 Dans chacne des statons svantes, représentez graphqement et calclez P v : a) 1, v ; por la parte a), l est demandé d'établr la formle tlsée. b) 1, v 1. c), v. d) 1 1, v. - A 1 On donne, v 4 7. Le vecter w est n mltple de et sa projecton orthogonale dans la drecton de v est 1 v. Qel est ce vecter w? - A 14 Sot, v 4 7. Détermnez le vecter w tel qe P w 1 et P v w 4 v. - A 1 Sot 1. a) Détermnez l'ensemble des vecters v tels qe v 1 et P v 1 4. b) Exste-t-l n vecter v tel qe v 1 et P v?

7 1 - A 16 Sot 1. a) Détermnez l'ensemble des vecters v tels qe P v v. b) Détermnez l'ensemble des vecters v tels qe P v. Exercces dvers - A 17 Démontrez qe la somme des carrés des longers des côtés d'n parallélogramme est égale à la somme des carrés des longers des dagonales. Indcaton: Reformler le problème sos forme vectorelle Hypothèses : AB DC et AD BC Conclson : AB AD AC BD - A 18 Appelons "cerf-volant" n qadrlatère ABCD tel qe AB AD et CB CD. Démontrez qe les dagonales d'n cerf-volant se copent à angle drot. Indcaton: 1) Reformler le problème sos forme vectorelle Hypothèses : AB AD et CB CD Conclson : AC BD 0 ) Utlser les hypothèses, c'est-à-dre développer AC BD de manère à fare apparaître AB fare apparaître CB qe l'on remplace par CD. qe l'on remplace par AD ; ) Smplfer l'expresson, c'est-à-dre la rédre à zéro o à la forme k AC BD avec k 1. - A 19 Démontrez qe les tros haters d'n trangle ABC sont concorantes. Indcaton : Sot K le pont d'ntersecton des haters sses de A et de B. Il fat montrer qe K appartent à la hater sse de C, ce q'on pet reformler sos forme vectorelle Hypothèses : KA BC et KB AC Conclson : KC AB - A 0 Démontrez le théorème de la hater : Sot ABC n trangle rectangle en A; notons D le ped de la hater sse de A. On a alors la relaton AD BD DC. Indcaton : Reformlez d'abord le théorème sos forme vectorelle Hypothèses : AB AC et AD BC Conclson : AD BD DC 0