FICHE METHODE : THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

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1 1 FICHE METHODE : THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Ci-après figure le tableau de variations d une fonction définie sur R 1) Déterminer le nombre de solutions de l équation = 2) Déterminer le nombre de solutions de l équation = 3) Déterminer le nombre de solutions de l équation = Rappelons tout d abord que par convention, les flèches obliques d un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte monotonie d une fonction sur un intervalle. Déterminons désormais le nombre de solutions de chaque équation proposée. 1) Déterminons tout d abord le nombre de solutions de l équation =3. lim = 2 et 0 =4. Or 3 ] 2;4] donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation =3 admet une unique solution sur ] ;0]. lim = et 0 =4. Or 3 ] ;4] donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation =3 admet une unique solution sur ]0;2[. lim =+ et lim " =0. Or 3 ]0;+ [ donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation =3 admet une unique solution sur ]2;+ [. Finalement l équation =3 admet 3 solutions réelles. 2) Déterminons ensuite le nombre de solutions de l équation =0 lim = 2 et 0 =4. Or 0 ] 2;4] donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation =0 admet une unique solution sur ] ;0].

2 2 lim = et 0 =4. Or 0 ] ;4] donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation =0 admet une unique solution sur ]0;2[. lim =+ et lim " =0. Or 0 ]0;+ [, l équation =0 n admet donc pas de solution sur ]2;+ [. Finalement l équation =0 n admet que deux solutions réelles. 3) Enfin déterminons le nombre de solutions de l équation = 2 lim = 2 et 0 =4. Or 2 ] 2;4], l équation = 2 n admet donc pas de solution sur ] ;0]. lim = et 0 =4. Or 2 ] ;4] donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = 2 admet une unique solution sur ]0;2[. lim =+ et lim " =0. Or 2 ]0;+ [, l équation = 2 n admet donc pas de solution sur ]2;+ [. Finalement l équation = 2 n a donc qu une solution réelle.

3 3 On considère la fonction définie par : $ % = % + % & %+' 1) Calculer la dérivée de $ ainsi que les limites aux bornes de ( $. En déduire le tableau de variation de $ sur R. 2) Montrer que l'équation $ % = admet une unique solution ) sur R. 3) Donner un encadrement puis une valeur approchée, arrondie à * près, de. 4) Déduire des résultats précédents le signe de $ % sur R 1) Calcul de la dérivée de ainsi que les limites aux bornes de, - : La fonction est une fonction polynôme, donc elle est définie, continue et dérivable sur R, et pour tout R, = Pour connaître le sens de variation de, on étudie le signe de. On résout d'abord l'équation =0 c'est-à-dire =0 avec 0 = 3 ;1 = = 5. On calcule le discriminant : 5 = = =4+60=64 5 >0 donc cette équation admet deux solutions réelles : 9 = : < = >? et = :" < = " >? =1 = > A = > On en déduit le signe de en utilisant la règle «Un trinôme du second degré est toujours du signe de «a» à l extérieur des racines» On calcule D >0 et 1 =1>0 A Calcul des limites aux bornes de l ensemble de définition : est une fonction polynôme, ses limites en et + sont les mêmes que les limites de son terme de plus haut degré. En effet : = A + 5+4= A H1+ A 5 A + 4 AI=A J AK Or lim ± C1+ M+? ND=1 et lim A = et lim " A =+ Donc par produit des limites on obtient : lim = et lim " =+

4 4 2) Montrer que l équation =0 admet une unique solution O dans R Nous allons «découper» le domaine de définition en trois intervalles et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur chacun de ces intervalles. Sur ] ; 5/3] la fonction est continue et strictement croissante. lim = et 5/3 = Or 0 ] ;10.481], l équation =0 admet donc une unique solution sur ] ; 5/3]. Sur [ 5/3;1] la fonction est continue et strictement décroissante. 5/3 = et 1 =1. Or 0 [1;10.481] donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation =0 n admet pas de solution sur [ 5/3;1]. Sur [1;+ [ la fonction est continue et strictement croissante. 1 =1 et lim " =+. Or 0 ]1;+ [, l équation =0 n admet donc pas de solution sur [1;+ [. Finalement l équation =0 a donc une seule solution O dans R. 3) Un encadrement de O à 10 près à l aide de la calculatrice est 3.07<O < Une valeur approchée de O à 10 près est donnée par O ) Déduire des résultats précédents le signe de sur R. D après le tableau de variations de la fonction et ce qui précède, on peut déduire le signe de : Pour tout <O : <0 Pour tout >O : >0

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