Énergie mécanique. Angry birds

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1 Exercice à rendre n o 14 mardi 1 février Langevin-Wallon, PTSI Énergie mécanique Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés. Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé. Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider. Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel. Rappelons également qu un travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d une personne recopié plusieurs fois. Angry birds Angry Birds est une application de jeu de type casse-tête développée par la société finlandaise Rovio Mobile. Lancé à l origine sur ios en décembre 9, il est par la suite disponible sur de multiples platesformes. Angry Birds a remporté un large succès grâce à sa jouabilité, son graphisme et son prix faible. Sa popularité a conduit à la création de versions pour ordinateurs, consoles de jeux, d une version en ligne, de produits dérivés, d une bande dessinée, d une série et même d un long-métrage. De multiples extensions et versions ont été et sont toujours développées, certaines étant en projet pour Dans le jeu, les joueurs utilisent un lance-pierre pour lancer des «oiseaux furieux» sur des cochons verts placés sur ou à l intérieur de différentes structures, dans l intention de détruire tous les cochons présents dans l aire de jeu. On étudie dans un premier temps la phase de lancer de l oiseau. Le mouvement de l oiseau est étudié par rapport à un référentiel galiléen lié au décor du jeu. On suppose que le mouvement est restreint au plan de l image, c est-à-dire y = Y = sur le repérage figure 1. g Y g Z z OZ butée α OY x c x z c a Vue de dessus b Vue de côté cochon Figure 1 Dispositif de lancer des Angry Birds. Version couleur sur le site de la classe, sans doute plus simple pour distinguer les différents repérages. Le lance-pierre est constitué d un élastique attaché aux deux extrémités d un manche en forme de Y. On le modélise par deux ressorts identiques raideur k, longueur fixés à une butée de masse m. Comme l élastique est tendu entre les deux extrémités du manche lorsqu il n est pas étiré, on suppose que la distance les séparant est égale à. L oiseau, de masse m, est appuyé sur la butée. Pour le lancer, et il suffit d étirer l élastique puis de le lâcher. Plusieurs hypothèses sont nécessaires pour simplifier les calculs. On suppose d abord le mouvement de l oiseau guidé par une tige le contraignant à se déplacer sans frottement le long de l axe O. Par ailleurs, on modélise l oiseau et la butée par des points matériels situés à la même abscisse. Attention cependant, ils ne sont pas équivalents : en particulier, les ressorts sont fixés à la butée, pas à l oiseau, et on note R = R e la force exercée par la butée sur l oiseau lorsqu ils sont en contact. 1. Ou comment s instruire utilement en faisant son DM de physique... vive Wikipedia : 1/ Étienne Thibierge, 7 février 17,

2 Exercice à rendre n o 14 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI On note = L < la position initiale de l oiseau et de la butée, juste avant que la butée ne soit lâchée sans vitesse initiale. 1 - Montrer que la résultante des forces exercés par les deux ressorts sur la butée s écrit F = k 1 e. + l Vérifier explicitement la cohérence de cette expression en analysant le sens de F. - Justifier que F dérive d une énergie potentielle et déterminer son expression. Il n est pas interdit d être astucieux : le calcul prend une ligne. Vérifier par un calcul explicite de dérivée qui lui prend plus d une ligne que votre expression est cohérente avec celle de la force établie à la question précédente. 3 - Par application de la loi de la quantité de mouvement à deux systèmes bien choisis, établir un système de deux équations différentielles portant sur et impliquant R. 4 - En déduire que m R = k m + m 1 + l Commenter son signe. Conclure : à quelle position d l oiseau décolle-t-il du lance pierre? 5 - Déterminer la vitesse v d de l oiseau à l instant où il quitte le lance-pierre. Si jamais cela vous tentait, sachez qu il est vain de vouloir résoudre analytiquement les équations issues de la loi de la quantité de mouvement... mais qu on a vu d autres façons de déterminer une vitesse. Compte tenu du mouvement souhaité de l oiseau, quelle hypothèse peut-on proposer pour simplifier cette expression? On s intéresse maintenant à la phase de chute libre de l oiseau une fois qu il a été lancé. Le cochon se trouve en un point de coordonnées x c, z c. 6 - En supposant la norme v d fixée, déterminer l équation que l angle α doit vérifier pour que l oiseau atteigne sa cible. L écrire sous forme d un polynôme en tan α. On pourra garder v d dans les calculs sans la remplacer par son expression. Rappel : 1 + tan u = 1/ cos u Remonte-pente Un remonte-pente est constitué d un câble auquel les skieurs s accrochent pour remonter. Déterminer la puissance du moteur qui entraîne le câble. Il est attendu que vous détailliez les différentes étapes de votre raisonnement, et que vous proposiez des valeurs numériques raisonnables au besoin. Données : Longueur totale du câble : m ; Distance séparant deux skieurs : 5 m ; Dénivelé entre les extrémités du câble : 5 m ; Vitesse du câble : 5 km h 1. Lorsque le ski glisse sur la neige, la réaction tangentielle R T du sol sur le ski est reliée à la réaction normale R N par R T = f R N avec f,1. / Étienne Thibierge, 7 février 17,

3 Correction de l exercice à rendre n o 14 Langevin-Wallon, PTSI Énergie mécanique Angry birds 1 Commençons par un schéma, figure, moins stylisé que ceux de l énoncé mais permettant d introduire les notations et de représenter les forces. Les ressorts y sont représentés par de simples traits. Comme ils sont étirés par hypothèse, on peut orienter les forces sans difficulté. Y u 1 u F 1 F β OZ Figure Résultante de la force exercée sur la butée. Version couleur sur le site de la classe. La résultante des forces exercées par les ressorts sur la butée vaut simplement F = F 1 + F. D après le théorème de Pythagore, les deux ressorts ont pour longueur l = + l, et ainsi F 1 = k + l l u 1 = k + l cos β e sin β e Y et de même Il reste donc F = k + l l u = k + l cos β e + sin β e Y. F = +k + l cos β e. De la trigonométrie du triangle permet d exprimer simplement ce qui conduit au résultat souhaité, cos β = + l = + l F = k 1 + l e. Comme <, alors F est dirigée selon + e, ce qui est cohérent : l élastique cherche à retrouver la situation d équilibre où il est tendu entre les deux extrémités du manche. La force F est la somme de deux forces de rappel élastique. Elle dérive donc d une énergie potentielle égale à la somme des deux énergies potentielles élastiques, qui sont égales car les ressorts sont identiques et ont même longueur. Ainsi, E p = 1 k + l l soit E p = k + l l. Un calcul direct par le travail élémentaire n est pas très difficile non plus, mais dans ce cas il ne faut pas oublier la constante d intégration. 1/5 Étienne Thibierge, 7 février 17,

4 Correction DM 14 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI Vérifions explicitement que cette expression est cohérente avec celle de la force. de p d = k + l d d + l = k + l d d + l ce qui donne bien comme attendu = k = k + l 1 + l F = de p d. + l 3 Considérons dans un premier temps l oiseau. Les forces qu il subit sont : son poids P = m g = mg e z = mg cos α e Z mg sin α e ; la force de réaction de la tige guidant l oiseau, normale à la tige car il n y a pas de frottement : N = N Z ez ; la force exercée par la butée sur l oiseau R = R e. D après la loi de la quantité de mouvement, d p ois dt = P + N + R soit compte tenu de la contrainte de mouvement à une dimension le long de l axe, m d dt d où on déduit la première équation par projection sur e, e = mg cos α e Z mg sin α e + N Z ez + R e mẍ = mg sin α + R. Considérons maintenant la butée comme deuxième système. Les forces qu elle subit sont : son poids P = m g = m g e z = m g cos α e Z m g sin α e ; la force de réaction de la tige servant de guide, normale à la tige car il n y a pas de frottement : N = N Z e Z ; la force exercée par l oiseau sur la butée, R = R = R e d après le principe des actions réciproques ; les forces exercées par chaque ressort, dont la résultante F a été déterminée précédemment. D après la loi de la quantité de mouvement, d p butée dt = P + N + R + F soit en développant les expressions des différentes forces m d e dt = m g cos α e Z m g sin α e + N Z e Z R e k 1 e. + l La deuxième équation cherchée s obtient à nouveau par projection sur e, m Ẍ = m g sin α R k 1 + l Considérer comme système l ensemble butée + oiseau est hasardeux, car il s agit d un système déformable. Les lois usuelles des solides s appliquent tant qu il y a contact, mais pas au delà. 4 Pour aboutir à l expression de R, il faut éliminer Ẍ des deux équations différentielles obtenues ci-dessus. Pour cela, multiplions la première par m, la deuxième par m et soustrayons-les l une à l autre. Cela simplifie non seulement l accélération mais aussi le poids. Il vient donc }{{} = }{{} +m + m l R + km 1 + l accél. poids /5 Étienne Thibierge, 7 février 17,

5 Correction DM 14 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI d où m R = k m + m 1 + l. Comme + l > alors le terme dans la parenthèse est positif, mais comme est négatif alors R >, ce qui signifie que la force exercée par la butée sur l oiseau est orientée dans le sens de + e, ce qui est conforme à l intuition : les ressorts cherchent à retrouver leur longueur naturelle. L oiseau décolle du lance-pierre lorsque la force R qu il subit de la part de la butée s annule : l annulation d une force de liaison est synonyme de rupture de la liaison. Ainsi, l oiseau quitte le lance-pierre lorsque 1 = soit = d + l d où l = d + l donc d = d + l 5 Appliquons le théorème de l énergie cinétique à l oiseau entre sa position initiale = < et la position où il quitte le lance pierre = d =. On a alors 1 mv d = i W i. Calculons les travaux W i des différentes forces. Le poids de l oiseau dérive de l énergie potentielle E pp = mgz + cte l axe z est orienté vers le haut, donc son travail au cours de la trajectoire vaut W P = E pp = mgz d z = +mgz = mgl sin α La force N est constamment perpendiculaire à la trajectoire et ne travaille donc pas ; La force R m est égale à m+m F et son travail peut donc se calculer à partir de Ep, Finalement, et ainsi W R = m m + m E p = + m m + m k L + l vd = gl sin α + m + m k L + l v d = gl sin α + m + m k L + l l. L objectif du lance pierre est de donner beaucoup de vitesse à l oiseau : il faut donc que le travail du poids au cours du trajet dans le lance-pierre, qui est résistant, soit aussi faible que possible. Si on décide de le négliger, l expression précédente devient k v d = m + m k L + l l soit v d = L + l m + m. 6 Une fois que l oiseau quitte le lance-pierre, il a un mouvement de chute libre à partir du point O. Sa trajectoire a pour équation celle établie en cours, à savoir qui peut s écrire aussi g zx = vd cos α x + tan α x zx = g 1 + tan vd α x + tan α x. L oiseau touche donc le cochon s il existe une valeur de α telle que le point de coordonnées x c, z c appartienne à sa trajectoire. Il faut donc que tan α soit solution de l équation du second degré g x c v d tan α + x c tan α + z c + g vd =. 3/5 Étienne Thibierge, 7 février 17,

6 Correction DM 14 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI Remonte-pente [oral CCP] La puissance du moteur doit être telle qu elle puisse entraîner tous les skieurs. L approche probablement la plus simple consiste donc à commencer par déterminer la puissance motrice nécessaire pour tirer un skieur de masse m à une vitesse constante égale à la vitesse du câble, v = 5 km h 1. Étudions le skieur dans le référentiel terrestre, considéré galiléen. Il est soumis à son poids P, à la réaction de la piste R = R N + R T et à la force de traction T du câble auquel il s attache. Ces forces sont représentées figure 3. R N T β v e y e x α R T P Figure 3 Skieur entraîné par une remontée mécanique. Calculons leur puissance. Par définition, on note P 1 = T v cos β la puissance exercée par le câble sur le skieur. Puissance développée par le poids : P P = m g v = mgv sinα Puissance développée par la réaction normale : P R N = car elle est orthogonale à v. Puissance développée par la réaction tangentielle : on ne peut que dire que P R T = R T v mais c est ensuite plus compliqué car R T est a priori inconnue. Il nous faut donc déterminer R T. Comme le mouvement du skieur est par hypothèse rectiligne uniforme, alors par application de la loi de la quantité de mouvement, P + R N + R T + T =. En la projetant sur l axe y incliné, on en déduit D après la loi de Coulomb du frottement, mg cos α + R N + + T sin β = soit R N = mg cos α T sin β. P 1 R T = fr N = fmg cos α f v cos β sin β d où on déduit la puissance développée par la force tangentielle, P R T = fmgv cos α fp 1 tan β. Comme le mouvement du skieur se fait à vitesse constante, alors la somme des puissances qu il reçoit est nulle d après le théorème de l énergie cinétique. On en déduit soit en remplaçant les puissances par leurs expressions P 1 + P P + P R N + P R T = P 1 mgv sin α + fmgv cos α fp 1 tan β = soit P 1 1 f tan β mgvsin α + f cos α =. On en déduit alors P 1 = mgvsin α + f cos α 1 f tan β Estimons numériquement sa valeur, et pour cela commençons par estimer les différents angles. L angle α se trouve grâce au dénivelé h et à la longueur totale L du câble, qui fait un aller-retour. On a donc sin α = h L/ =,5 4/5 Étienne Thibierge, 7 février 17,

7 Correction DM 14 : Énergie mécanique Langevin-Wallon, PTSI Compte tenu de la valeur numérique, on a clairement α 1 et on peut faire l approximation cos α 1. Comme cos α est en plus multiplié par f et qu on ne cherche qu un ordre de grandeur, cette approximation est tout à fait adaptée... en faisant le calcul rigoureusement on trouve cos α =,9987. Estimer l angle β ou plutôt sa tangente est beaucoup moins simple. On se contentera donc de prendre tan β 1 c est-à-dire β π/4, ce qui est sans doute une approximation grossière mais ne change à nouveau pas grand chose au résultat. Enfin, il faut également estimer la masse du skieur et de son équipement que l on prendra égale par exemple à m = 8 kg. Numériquement, on a donc 8 1 5,5 +,1 3,6 P 1 = 1 W. 1,1 C est peu, mais les frottements ne sont pas énormes et la pente pas si raide non plus. Pour déterminer la puissance totale à fournir par le moteur, on peut faire l hypothèse que les frottements internes aux mécanismes sont négligeables, si bien que toute la puissance fournie par le moteur sert à tracter les skieurs. Il y a un skieur tous les cinq mètres sur une distance totale de 1 mètres : on en déduit qu il y a skieurs à la fois sur le remonte-pente. La puissance totale du moteur qui entraîne le remonte-pente est donc égale à P = P 1 soit P = 4 kw. 5/5 Étienne Thibierge, 7 février 17,