Méthodes numériques de résolution d équations différentielles

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1 Méthodes numériques de résolution d équations différentielles Motivation. Quelques exemples de problèmes différentiels Modèle malthusien de croissance de population Modélisation de l évolution d une population fermée P t : taille de la population à l instant t t P t : variations de la taille de la population On suppose que les nombres de naissances et de décès sont proportionnels à la taille de la population, avec un taux de natalité α et un taux de mortalité β. Taille initiale de la population : P t 0 = P 0 P t = αp t βp t = α βp t Solution P t = P 0 expα βt t 0. Modèle dit de croissance logistique Ajout d un terme de compétition entre les individus P t = ap t bp t P 0 = P 0 Equation différentielle non linéaire Calcul de la solution par séparation des variables Solution obtenue P t ap t bp t = ap bp = /a P + b/a a bp = P ap bp = P a P + bp a bp P [ ] P = bp [ ] ln P et a bp = ln a bp P t = ap 0 bp 0 + a bp 0 e at t0

2 Pendule pesant non amorti O θt l M Pendule de masse m, suspendu en O Fil OM non pesant et de longueur l. θt : position par rapport à la position d équilibre angle signé. Mouvement du pendule gouverné par la loi fondamentale de la dynamique. Equation du mouvement : θt est solution du problème différentiel : θ t = g l sinθt θ0 = θ 0, θ 0 = 0 par exemple Pendule pesant non amorti : transformation θt est solution du problème différentiel : θ t = ω sinθt équation différentielle d ordre non linéaire θ0 = θ 0, θ 0 = 0 par exemple xt Posons : xt = θt, yt = θ t et Y t = On a alors x Y t θ t t = y = t θ t = yt. θ t ω sinθt = yt ω sinxt. Pendule pesant non amorti : transformation θt Y t = θ t est solution du problème différentiel : Y t = F t, Y t Y 0 = Y 0 avec x F t, y = y ω sinx et θ0 Y 0 = 0.

3 . Forme générale d une équation différentielle Equation différentielle, problème de Cauchy On s intéresse aux équations différentielles du premier ordre de la forme y t = F t, yt avec F : I R p R p I, intervalle de R une fonction continue. Si p >, il s agit en pratique d un système différentiel. Le problème avec condition initiale est appelé problème de Cauchy : y t = F t, yt yt 0 = y 0, t 0 I, y 0 R p, Notion de solution Problème de Cauchy y t = F t, yt Solution yt 0 = y 0, t 0 I, y 0 R p, Une solution du problème de Cauchy est la donnée d un intervalle Ĩ et d une fonction ϕ C Ĩ, Rp tels que t 0 Ĩ, Ĩ I, ϕ t = F t, ϕt t Ĩ, ϕt 0 = y 0. Remarque On utilise souvent la même notation pour l inconnue dans l équation y et la solution ϕ, notée y....3 Un résultat théorique fondamental Le théorème de Cauchy-Lipschitz Théorème Considérons le problème de Cauchy : y t = F t, yt yt 0 = y 0, t 0 I, y 0 R p, avec F : t, y I R p F t, y R p. Supposons que F est continue sur I R p, F est lipschitzienne en y, uniformément en t : il existe L > 0 telle que t I, y, y V R p y0 F t, y F t, y L y y. Alors, le problème de Cauchy possède une unique solution. Cette solution est définie sur un intervalle contenant t 0. 3

4 Et le calcul effectif de la solution? Modèle malthusien : OK équa diff linéaire d ordre à coeffs constants Modèle de croissance logistique : OK équa diff d ordre, non linéaire mais à variables séparables Pendule pesant? Y t = F t, Y t x avec F t, Y 0 = Y 0 y = y ω sinx, Il s agit d un système différentiel. Le système est bien d ordre... mais il est non linéaire. Calcul numérique d une solution approchée Pas d expression explicite de la solution Calcul numérique d une solution approchée.5 θt temps t Mise au point de méthodes numériques et convergence. Principe But On suppose que le problème de Cauchy y t = F t, yt yt 0 = y 0, t 0 R, y 0 R p, admet une unique solution y définie sur I = [t 0, t 0 + T ]. 4

5 Subdivision de l intervalle de temps t 0 t t n t n+ t N = t 0 + T t n = t n+ t n, t = max 0 n N t n. L objectif est de calculer des valeurs Y n 0 n N, qui soient de bonnes approximations de yt n 0 n N. Lien avec l intégration numérique Intégration de l équation Approximation tn+ yt n+ yt n Y n+ Y n tn+ t n y t = F t, yt yt n+ yt n = t n F t, ytdt Formule de quadrature : tn+ t n RAG t n+ t n F t n, yt n F t, ytdt RAD t n+ t n F t n+, yt n+ Trapèzes t n+ t n F t n, yt n + F t n+, yt n+ Méthodes numériques correspondantes Méthode d Euler explicite schéma explicite Yn+ = Y n + t n+ t n F t n, Y n Y 0 = y 0 Méthode d Euler implicite schéma implicite Yn+ = Y n + t n+ t n F t n+, Y n+ Y 0 = y 0 Méthode de Crank-Nicolson Y n+ = Y n + t n+ t n F t n, Y n + F t n+, Y n+ Y 0 = y 0 schéma implicite 5

6 . Notion de convergence Introduction des notions d erreur locale/erreur globale yt solution exacte de l équation différentielle, Y n 0 n N valeurs données par le schéma numérique y app reconstruction d une solution approchée affine par mx Erreur locale e n = yt n Y n Erreur globale E t = max 0 n N e n! : N dépend de t Définition de la convergence La méthode numérique est dite convergente si E t = max e n 0. 0 n N t 0 6

7 .3 Convergence de la méthode d Euler explicite Erreur de consistance Problème de Cauchy y t = F t, yt Méthode d Euler explicite Yn+ = Y n + tf t n, Y n solution exacte : y yt 0 = y 0 Y 0 = y 0 schéma numérique : Y n Définition L erreur de consistance locale à l instant n est définie comme l erreur commise par la solution exacte dans le schéma numérique : ε n = yt n+ yt n tf t n, yt n. Estimation de l erreur de consistance Problème de Cauchy y t = F t, yt yt 0 = y 0 Méthode d Euler explicite Yn+ = Y n + tf t n, Y n Y 0 = y 0 on suppose que la solution exacte vérifie y C [t 0, t 0 + T ], R }} I Mais, yt n+ = yt n + ty t n + t y ξ n y t n = F t n, yt n D où, ε n = yt n+ yt n tf t n, yt n ε n = t y ξ n. Majoration de l erreur de consistance ε n = t y ξ n. Majoration M = sup y t = ε n M [t 0,t 0+T ] t. Remarque : lien entre y and F y t = F t, yt, y t = F t, yt t + = F t, yt t + F y t, yty t F t, ytf t, yt. y 7

8 Erreur due au schéma numérique La solution exacte et le schéma numérique vérifient : Alors, comme e n = yt n Y n, on obtient yt n+ = yt n + t F t n, yt n + ε n Y n+ = Y n + t F t n, Y n e n+ = e n + t F t n, yt n F t n, Y n + ε n. Si F est localement lipschitzienne en y uniformément en t hypothèse du thm de Cauchy-Lipschitz, on a F tn, yt n F t n, Y n L e n et Deux lemmes intermédiaires Lemme Soit θ n n 0 une suite positive vérifiant e n+ e n + L t + ε n. 0 n N, θ n+ aθ n + α, avec a 0 et α 0. Alors, n N +, n θ n a n θ 0 + α i=0 a i = a n θ 0 + α an a Lemme De plus, si a = + ρ avec ρ > 0, comme + ρ n e nρ, on a θ n e nρ θ 0 + α ρ enρ, n N +. Fin de la preuve de convergence On a, pour tout 0 n N e n+ e n + L t + ε n, e n + L t + M t. On applique le Lemme avec ρ = L t et α = M t : Mais, pour n N, n t N t = T et Ainsi, si e 0 = 0, E t M e n e nl t e 0 + M L tenl t, n N. e n e LT e 0 + M e LT t et L e LT t, n N. L lim E t = 0. t 0 8

9 Convergence du schéma d Euler explicite Théorème Soit F C I R, t 0, T tels que [t 0, t 0 + T ] I, y 0 R. On suppose qu il existe L > 0 tel que F t, z F t, z L z z t [t 0, t 0 + T ], z, z R. y est la solution exacte du problème de Cauchy et Y n 0 n N la suite obtenue par le schéma d Euler explicite. Alors, l erreur locale définie par e n = yt n Y n vérifie si e 0 = 0, le schéma est convergent : e n e LT e 0 + M e LT t, n N. L lim E t = 0 E t = max e n. t 0 0 n N.4 Cadre général des méthodes à un pas Définition On limite la présentation au cas où la subdivision t n 0 n N est régulière : t n = t 0 + n t avec t = T N. Une méthode à un pas, pour l approximation du problème de Cauchy sur une subdivision régulière, est de la forme : Yn+ = Y n + t Φ F t n, Y n, t, 0 n N Y 0 = y 0 ou une valeur approchée ỹ 0 de y 0 avec Φ F : [t 0, t 0 + T ] R p [0, k ] R p une fonction continue. Exemple : Φ F t, Y, k = F t, Y méthode d Euler explicite. Notion de consistance Problème de Cauchy y t = F t, yt hyp : y C yt 0 = y 0 Méthode à un pas Yn+ = Y n + tφ F t n, Y n, t Y 0 = y 0 hypothèse : Φ F C L erreur de consistance de la méthode à un pas est définie par ε n = yt n+ yt n tφ F t n, yt n, t La méthode est dite consistante si pour toute solution du problème de Cauchy on a N ε n = 0. lim t 0 n=0 9

10 Consistance et ordre La méthode est dite d ordre p si, pour toute solution du problème de Cauchy, il existe un réel K indépendant de t tel que N ε n K t p. n=0 En pratique, on obtient l ordre p en montrant : p = consistance. Condition nécessaire et suffisante de consistance Développement de ε n en puissances de t yt n+ = yt n + ty t n + t y ξ n y t n = F t n, yt n ε n K t p+ 0 n N. Φ F t n, yt n, t = Φ F t n, yt n, 0 + t Φ F k t n, yt n, ζ y ε n = t F t n, yt n Φ F t n, yt n, 0 + t ξ n Φ F k t n, yt n, ζ Théorème Une méthode à un pas est consistante si et seulement si t, z [t 0, t 0 + T ] R Φ F t, z, 0 = F t, z. En effet, si est satisfaite, on a ε n = O t. Erreur due au schéma numérique La solution exacte et le schéma numérique vérifient : yt n+ = yt n + t Φ F t n, yt n, t + ε n Y n+ = Y n + t Φ F t n, Y n, t Alors, comme e n = yt n Y n, on obtient : e n+ = e n + t Φ F t n, yt n, t Φ F t n, Y n, t +ε n. Si on a ΦF t n, yt n, t Φ F t n, Y n, t Λ ytn Y n, alors e n+ e n + Λ t + ε n. idem schéma d Euler explicite 0

11 Stabilité d une méthode à un pas Définition S il existe Λ > 0 tel que t [t 0, t 0 + T ], z, z R, k [0, k ], alors la méthode à un pas est dite stable. Par conséquent, si la méthode à un pas est stable, on a Φ F t, z, k Φ F t, z, k Λ z z e n+ e n + Λ t + ε n. si elle est également consistante, on prouve sa convergence de la même façon que pour le schéma d Euler explicite. stabilité + consistance = convergence Ordre et vitesse de convergence La stabilité nous donne : Si ε n K t p+, on obtient grâce au Lemme : e n+ e n + Λ t + ε n. Si e 0 = 0, on a donc e n e ΛT e 0 + K eλt t p 0 n N. Λ E t C t p. 3 Les méthodes de Runge-Kutta Premiers exemples la méthode numérique est d autant plus précise qu elle est d ordre élevé. Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes à un pas où la fonction F est évaluée plusieurs fois par intervalle de la subdivision. L objectif est bien sûr de gagner en précision en ordre... Avec la méthode des trapèzes Méthode de Heun yt n+ yt n = tn+ t n t F t, ytdt Yn, = Y n Y n, = Y n + tf t n, Y n, Y n+ = Y n + t F t n, yt n + F t n+, yt n+ F t n, Y n, + F t n+, Y n,.

12 Premiers exemples Avec les rectangles aux points milieux Méthode d Euler modifiée yt n+ yt n = Y n, = Y n, = Y n tn+ t n F t, ytdt tf t n + t, yt n + t Y n + t F t n, Y n, Y n+ = Y n + tf t n + t, Y n,. Méthodes de Runge-Kutta explicites Forme générale i s, Y n+ = Y n + t t n t n,i t n+ t n,i = t n + c i t, i Y n,i = Y n + t a ij F t n,j, Y n,j, j= s b i F t n,i, Y n,i. i= Notation avec le tableau de Butcher c c a c s a s a s 0 b b b s avec s b j =, j= s a ij = c i, i s. j= Exemples s = Euler explicite 0 0 s = Heun Euler modifié

13 Cas général α ]0, ] α α 0 α α Le fameux schéma RK Y n, = Y n 6 Y n, = Y n + t F t n,, Y n, Y n,3 = Y n + t F t n,, Y n, Y n,4 = Y n + tf t n,3, Y n,3 Y n+ = Y n + t 6 t n, t n t n+ t n, t n,3 t n,4 F t n,, Y n, + F t n,, Y n, + F t n,3, Y n,3 + F t n,4, Y n,4 Comparaison de méthodes classiques Cas test Vitesse de convergence y = y 4t y0 = = yt = e t + t +. E t = C t p. Euler explicite : p =, Heun : p =, RK4 : p = 4. 3