ENPC BETON ARME CALCUL DU FERRAILLAGE D UNE PLAQUE A L ELU SOMMAIRE

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1 ENPC BETON ARME CALCUL DU FERRAILLAGE D UNE PLAQUE A L ELU SOMMAIRE 1 PRESENTATION Utilisation croissante des modèles de calcul au éléments finis Efforts appliqués Objectif PLAQUE SOUMISE UNIQUEMENT A DES EFFORTS DE MEMBRANE : METHODE DE WOOD Présentation Enoncé de la méthode de Wood Justification dans le cas particulier du cisaillement simple Justification dans le cas général - Avec 3 efforts, et Justification dans le cas : Ry + < Interprétation de l équilibre acier / béton PLAQUE SOUMISE A DES EFFORTS QUELCONQUES : METHODE DE CAPRA-MAURY Présentation Méthode...1 Setec TPI - Coq_ELU_B.doc - Rédigé par M. Bué - Edité le 28/3/11 1

2 1 PRESENTATION 1.1 Utilisation croissante des modèles de calcul au éléments finis Les structures sont de plus en plus fréquemment justifiées par des calculs éléments finis -> modélisation des voiles, planchers, etc. en éléments de coques. D où la nécessité de pouvoir calculer les armatures à mettre en place dans les coques. Eemple - Bâtiment «Isoflash» de l usine Comurhe Malvési 1.2 Efforts appliqués Myy M y z M Myy 2

3 On considère un élément infiniment petit au droit d un nœud - 3 efforts de membrane :, et (en MN/ml) - 3 moments (fleion, torsion) : M, Myy et (en MN.m/ml) Elément infiniment petit => efforts opposés sur les différentes faces Application du théorème de Cauchy => cisaillements identiques sur les différentes faces Convention de signes : - F> en traction - M> s il tend la face sup (z>) - > s il crée des cisaillements > en face sup 1.3 Objectif - Plaque d épaisseur e - Objectif : déterminer les 4 nappes d armatures (en cm²/ml). y Ay sup Ay inf A sup z Ay sup cy sup A inf A A sup A c sup c inf A inf Ay inf COUPE A-A cy inf e 3

4 2 PLAQUE SOUMISE UNIQUEMENT A DES EFFORTS DE MEMBRANE : METHODE DE WOOD 2.1 Présentation Plaque d épaisseur «e» soumise uniquement à des efforts, et (à l ELU). Ay A Objectif : déterminer le ferraillage nécessaire pour résister à ces efforts ELU (en cm²/ml). 2.2 Enoncé de la méthode de Wood (i) Il faut placer des aciers équilibrant les efforts suivants (> en traction) : - dans le sens X : R = + - dans le sens Y : Ry = + On aura donc : - A = R / fyd - Ay = Ry / fyd avec fyd = fyk / γs (ii) Si l une de ces quantités est négative, les formules deviennent : 1 er cas - R < : R Ry = + ² / 2 ème cas - Ry < : Ry R = + ² / (iii) Si les 2 quantités R et Ry sont <, on adopte : R et Ry 4

5 2.3 Justification dans le cas particulier du cisaillement simple EFFORTS APPLIQUES t A - θ= CERCLE DE MOHR Compression - Traction n Facette B - θ=9 - B - θ=9 Facette A - θ= EFFORTS PRINCIPAUX Traction EFFORTS REPRIS PAR LES ARMATURES : R et Ry (MN/ml) Fissures R d d*2^.5 Bielles de béton comprimé d Compression Ry=R (par symétrie) Equilibre horizontal : R d + ( d 2 ) cos 45 => R = = Ry cqfd 2.4 Justification dans le cas général - Avec 3 efforts, et Par analogie avec ce qui précède, on calcule l effort s eerçant perpendiculairement à une facette d angle θ quelconque. 5

6 a) Efforts s eerçant sur une facette quelconque d angle θ * 1ère méthode : équilibre d un coin => - F d cos θ F y d sin θ + N d cos θ T d sin θ cos θ T θ N n d y => - F y d cos θ F On pose C=cos θ et S=sin θ yy d sin θ + N d sin θ + T d cos θ d*sin θ On veut calculer N et éliminer T => - 1 ère équation cos θ - 2 ème équation sin θ d où N = C 2 + S 2 + 2CS * 2 ème méthode : calcul matriciel - Tenseur des efforts appliqués Dans le repère général (O, X, Y), le tenseur des efforts appliqués s écrit : (F) = - 1 ère colonne = efforts s eerçant sur la facette θ= - 2 ème colonne = efforts s eerçant sur la facette θ=9 - Changement de base Dans un repère tourné d un angle θ, on a : t cos θ sin θ C S [F(θ)] = P F P avec P = = sin θ cos θ S C C S C S C S C + S S + C => [ F( θ)] = = S C S C S C C + S S + C C² + S² + 2CS [ F( θ)] = CS ( ) + ( C² S² ) Le 1 er terme de cette matrice correspond à l effort s eerçant perpendiculairement à une facette de normale θ : F(θ)=C².+S².+2CS. θ n b) Effort résistant selon cette même facette d angle θ - Matrice dans le repère (O,,y) On fait l hypothèse que les aciers ne peuvent eercer qu un effort parallèle à leur direction. Le tenseur des efforts résistants vaut donc dans le repère général : R [ R] = Ry 6

7 - Changement de repère En appliquant les relations de changement de base précédemment établies, on aura dans un repère tourné d un angle θ : R(θ)=C².R+S².Ry c) Mise en équation La résistance de la section sera assuré si R(θ) > F(θ) soit C².R+S².Ry > C².+S².+2CS. quel que soit l angle θ. (1) Ceci soit en particulier être vrai pour θ= => C=1 et S= => R > θ=π/2 => C= et S=1 => Ry > Mais il est clair que si on prend juste R= et Ry=, la relation (1) ci-dessus ne sera pas vérifiée pour certains angles θ, par suite de la présence de. Il faut donc mettre plus d acier. d) Détermination des sections d acier nécessaires On pose D = R- Quantité d acier «à mettre en plus». Dy = Ry- L équation devient : C². D + S². Dy > 2CS. (2) Essayons de représenter graphiquement les choses. 1 C² π/2 π 1 S² D C².D+S².Dy Dy π/2 π π/2 π CS 2CS..5 π/2 π Il est clair que D = Dy = est une solution. e) Caractère optimal de cette solution On peut démontrer qu il s agit de la solution optimale, qui minimise la quantité d acier totale à mettre en place, c est-à-dire D + Dy. En effet, la relation (2) ci-dessus peut s écrire : f(θ) = C². D + S². Dy - 2CS. > Pour une valeur donnée de θ, ceci est l équation d un demi-plan limité par la droite d équation f(θ). On peut remarquer que pour θ = π/2-θ, on a : 7 cos(π/2-θ)=sin(θ) = S sin(π/2-θ)=cos(θ) = C donc l équation devient : f(θ ) = S². D + C². Dy - 2CS. >

8 La droite limitant ce demi-plan est symétrique de la précédente par rapport à la bissectrice passant par l origine ; on peut donc toujours dessiner 2 droites symétriques comme le montre le dessin cidessous, et le point représentatif de (D, Dy) doit rester du côté droit. D D (D, Dy) optimal d Dy Dy (D+Dy)/ 2 On peut maintenant remarquer que D + Dy est représenté par la projection du point (D, Dy) sur la droite 45, à un coefficient 1/ 2 près. Donc pour minimiser D + Dy, il faut choisir un couple de valeurs (D, Dy) tel que sa projection sur 45 soit «la plus à gauche possible», tout en restant du bon côté des équations de demi-plans. Il est clair que le meilleur point possible se trouve sur 45, ce qui correspond à D = Dy. On a donc bien : D = Dy = cqfd. Cette solution reste valable tant que R + > Ry + > c est-à-dire tant que les sections d acier calculées restent positives. 2.5 Justification dans le cas : Ry + < (à ne pas traiter en classe) F(θ), R(θ) 1 C².+S². F(θ)=C².+S².+2CS. π/2 π θ R(θ)=C².R+S².Ry C est un cas où la courbe R(θ) calculée selon les formules précédentes devient < ; or il est physiquement impossible de placer des aciers <. La solution consiste dans ce cas à conserver Ry= (donc on remonte la courbe en θ=π/2), ce qui modifie la valeur de R conformément au schéma ci-dessus. Il faut assurer R(θ) F(θ) quel que soit θ. On pose f(θ)=r(θ)-f(θ) Il faut assurer f(θ) > quel que soit θ, ce qui sera le cas en adoptant : f(θ) mini juste égal à zéro, cette valeur mini correspondant à f (θ)= 8

9 F(θ)=C².+S².+2CS. R(θ)=C².R+S².Ry => f(θ) = C². (R ) S². 2CS. On pose comme précédemment D = R, et on écrit les 2 équations voulues : f(θ) et f (θ) pour la même valeur de θ => C².D - CS.D - S². - 2CS. - CS. - (C² - S²). S C C S => S + C C D S => C = S C D = S En faisant le rapport de ces 2 équations, on obtient : 2 D = cqfd. NOTA 1 On est ici dans le cas où + < => < - => / < 1 La quantité D est donc inférieure à. 2.6 Interprétation de l équilibre acier / béton > Paradoe apparent On a vu que dans le cas R et Ry >, on doit placer des sections d acier : R = + et Ry = + Si on se place sur la facette θ=, on a une section d acier R ecédentaire pour reprendre un effort => on pourrait penser que les aciers ne travaillent pas au maimum. Or il eiste un angle θ où l acier est juste suffisant => il travaille au maimum Quelle est donc la contrainte réelle dans les aciers (forcément unique)? > Effet du cisaillement En réalité, nous avons vu que le cisaillement a pour effet de générer des bielles de béton comprimé, ainsi que de la traction dans les armatures. Ces bielles se forment à 45 quels que soient les e fforts de traction et (c est ce qu ont montré nos calcul : le maimum de la fonction 2CS conditionnant les armatures nécessaires s obtient pour un angle de 45 ). Donc les aciers X n équilibrent pas seulement, mais aussi. TRACTION DANS LES ACIERS BIELLE COMPRIMEE Notre méthode de calcul, qui ne considère que les efforts normau au facettes et non les efforts tangents, n est correcte que parce qu elle considère successivement toutes les directions de facettes possibles, donc en particulier celle correspondant au repère principal (FXY=). 9

10 3 PLAQUE SOUMISE A DES EFFORTS QUELCONQUES : METHODE DE CAPRA-MAURY 3.1 Présentation On considère cette fois une plaque soumise à des efforts de membrane (,,, en MN/ml) ainsi qu à des moments (M, Myy,, en MN.m/ml). SUP.Y INF.Y Myy INF.X M y z M SUP.X Myy On se propose de déterminer le ferraillage nécessaire à l ELU dans cette plaque : - A inf et A sup // ae X - Ay inf et Ay sup // ae Y, en cm²/ml. 3.2 Méthode Le principe consiste à considérer successivement différentes facettes de normale d angle θ. > Efforts perpendiculaires à la facette Les efforts s eerçant normalement à une facette θ valent : F(θ) = C². + S². + 2CS. M(θ) = C². M + S². Myy + 2CS. > Détermination des aciers Ainf(θ) et Asup(θ) Les aciers peuvent être déterminés dans cette facette par un calcul de type : section rectangulaire soumise à fleion composée => on peut calculer Ainf(θ) et/ou Asup(θ). Asup(θ) cs Mu(θ) Fu(θ) Ainf(θ) ci > Choi des 4 sections d acier selon X, Y Le problème consiste ensuite à choisir des sections d acier selon X et Y permettant de satisfaire la condition : C². Ai + S². Ayi Ainf (θ) quel que soit θ (i = inf ou sup). 1

11 On raisonne désormais sur une face de la section (inf ou sup), et on désigne par A et Ay les sections correspondantes. On doit déterminer A et Ay tels que : C². A + S². Ay A (θ) quel que soit θ et permettant par ailleurs de minimiser la somme A + Ay. On remarquer que chaque condition peut s interpréter de la façon suivante : le point (A, Ay) doit se trouver dans un demi-plan limité par la droite θ d équation : C². A + S². Ay = A (θ) A (A, Ay) optimal d min 45 O 45 Ay On retient ensuite le point (A, Ay) permettant de minimiser la distance «d» en projection sur la droite 45 (minimisation de A + Ay). 11